книги / Линейная алгебра.-1

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

141

Т ак как оператор А самосопряж енны й, то

скалярны е произведения

(A x i, Х2) и (xi,

АХ2) равны , и поэтому из

последних соотнош ений

путем вы читания получаем равенство

(А2 -

Ai ) (xb х 2) =

0 .

П оскольку А2

ф Ai, то

из последнего

равенства следует равен ­

ственны х векторов x i

и Х2

- Теорема доказана.

3. Н орм а линейного

оператора. П усть А — линейны й опера­

тор, отображ аю щ ий евклидово пространство V в это ж е пространство.

Введем понятие норм ы оператора А.

О п р едел ен и е 3. Н орм ой

||А|| линейного оператора А н азы вается

число, определяемое соотнош ением 12)

II А||

=

sup

|| А х||.

(5.53)

1 1 *1 1 = 1

И з определения норм ы линейного оператора вы текает

следую щ ее

очевидное неравенство:

1|Ах К

| | А | | | | х ||

(5.54)

(для доказательства

достаточно

воспользоваться соотнош ени­

ем А х

=

^ А -—1|^ ||х||).

И з

соотнош ения

(5.54) следует,

что если

11А || = 0, то оператор А явл яется

н улевы м .

Н орму самосопряж енного оператора А мож но определить и другим

способом. Именно, справедливо у т вер ж д ен и е:

Е сли

А

— сам осопряж енны й

операт ор, то введенная

выш е нор­

м а 11А||

оператора А равна sup||x|| = 1 1(Ах,

х)|:

sup

|(А х, х ) |

= ||А ||.

(5.55)

11*11 = 1

то (x i, А х 2) = A2(X I , х 2) = A2(X I , х 2).

12) Напомним, что ||Ах|| = лф(Ах, А х ) . Отсю да

следует, что ||Ах|| представ­

ляет собой непрерывную функцию х , которая на

замкнутом множестве ||х|| = 1

достигает конечного наибольшего значения.

142

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я лю бого х из V

справедливо неравенство

К ош и -Б ун яковского

(см. п. 2 § 3 гл. 4)

1(Ах,

х )|

«С

||А х ||

11х11.

И з него

и

из неравенства (5.54)

получаем

следую щ ее

неравенство:

|(А х , х )|

^

11А|| ||х ||2. П оэтом у

число

/I —

sup

|(А х ,

х )|

(5.56)

1 1 * 1 1 = 1

удовлетворяет соотнош ению

ЦА||.

(5.57)

О тметим, что из

равенства (A z, z) =

( А — - ,

-т—т]

||z ||2, z / 0 и

определения числа fi

V

llzll

llzll/

(см. (5.56)) вы текает следую щ ее неравенство:

l ( A

z , z ) | ^ ||z ||2.

(5.58)

4 Re (А х, у) =

(А (х

+ у), х + у)

- (А (х - у), х -

у)

(в

этом тож дестве

символ

Re (А х, у) обозначает

действительную

часть комплексного

числа

(А х, у),

само

тож дество

легко

вы текает

из

свойств скалярного произведения,

см.

п. 1 § 3 гл. 4). Б ер я

левую и

4|R e (А х , у )|

^

| | х

+

у ||2

+ м1|х -

у ||2 = 2

М( ||х ||2

+

||у ||2).

О тсю да при ||х ||

=

||у||

=

1

получаем неравенство

|Re (А х, у)| ^

li.

П олагая в этом неравенстве у = А х /||А х || (очевидно, ||у||

= 1

) и учи ­

ты вая, что число

(А х, А х)

=

||А х||2 явл яется вещ ественны м

(поэто­

му Re (А х, А х) =

(А х,

А х)

=

||А х||2),

получим

||Ах||

^

щ ||х|| = 1 .

О тсю да, согласно неравенству

(5.53), найдем ||А||

^ ц.

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

143

ратор А м ож ет бы ть представлен в виде

А =

А д

+ гА /, где А д и

А / — сам осопряж енны е операторы . П оэтому

(А х, х) = (А дх, х) +

г ( А /х ,

х),

ной и мнимой частям комплексного числа (А х,

х):

Re (А х, х) = (А дх, х), Im (А х, х)

= (А /х , х).

этому Im (А х,

х)

= 0. Н еобходимость условия теорем ы доказана.

Д окаж ем достаточность условия теоремы .

П усть

Im (А х,

х)

= (А /х ,

х)

=

0. О тсю да следует, что ||А /|| =

= 0, т. е.

А /

=

О.

П оэтому

А

=

А д , где А д — сам осопряж енны й

ственны х значений сам осопряж енны х операторов.

Л ем м а . Любое собст венное зн ачение А произвольного

ли н е й н о ­

го сам осопряж енного оператора А в евклидовом прост ранст ве равно

скалярном у произведению

(А х, х), где х — некот оры й вект ор, удовле­

т воряю щ ий условию ||х ||

= 1 :

А

=

(А х, х), ||х || = 1 .

(5.59)

14)

Символ I m (A x , х)

обозначает мнимую часть комплексного числа (А х , х ).

144

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как

Л — собственное значение операто­

р а А , то сущ ествует такой ненулевой вектор z, что

A z

= Az.

(5.60)

П олагая х = z /||z ||

(очевидно,

||z|| =

1), перепиш ем

(5.60) следу­

ющ им образом: А х

=

Ах,

||х||

=

1 . О тсю да получаем

соотнош ения

(А х , х) = А(х, х) =

А ||х ||2

=

А, т. е. (5.59) имеет место. Л ем м а дока­

зана.

С л е д с т в и е . П уст ь

А — сам осопряж енны й

оператор

и А — любое

собст венное зн ачение эт ого оператора. П уст ь

далее

т =

inf (А х , х),

М —

sup

(А х , х).

(5.61)

1Х1—1

1X 1= 1

т

^ Х ^ М .

(5.62)

З а м е ч а н и е

1.

Т ак как

скалярное

произведение

(А х , х)

пред­

ставляет собой

непреры вную

ф ункцию

от

х, то на зам кнутом

мно­

ж естве ||х|| = 1

эта

ф ун кц и я

ограничена

и достигает

своих точны х

граней т и М .

З а м е ч а н и е

2 . С огласно

теореме 5.16

собственны е

значения са­

ного произведения

(А х , х). П оэтом у неравенства (5.62) справедливы .

М ы

докаж ем ,

что числа

т

и

М , определенны е соотнош ения­

ми (5.61) являю тся соответственно

на и м ен ьш и м и наибольш им соб­

ственны ми значениям и самосопряж енного

оператора А . П редвари ­

тельно убедимся в справедливости следую щ его утверж дения.

Т е о р е м а

5 .1 9 . П уст ь А

— сам осопряж енны й

оператор и, кроме

т ого, (А х , х)

^ 0

для любого х .

Тогда ||А ||

равна

наибольш ем у соб­

ст венн ом у значению эт ого оператора 15) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . М ы

уж е

отм ечали

(см. утверж дение

преды ­

дущ его

пункта), что 11А||

=

sup||x || = 1

|(А х ,

х )|. Т ак как

(А х ,

х) ^ 0,

то 11А||

= sup||x || _ Д А х ,

х).

Согласно

зам ечанию 1

этого

пункта дл я

146

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Т ак как В = А

— ml, то B XQ = A XQ — mlxo = A XQ — mxo. П од­

ставляя это вы раж ение B XQ в левую часть равенства

(5.63), получим

после неслож ны х преобразований соотнош ение A XQ

= М хоТаким

образом, М — собственное значение оператора А.

нием оператора А.

Рассм отрим

сам осопряж енны й оператор В

= — А. О чевидно, что

— т — sup||x|= 1(Вх, х). Согласно только что

проведенному д ок аза­

тельству число

— т представляет собой собственное значение операто­

р а В. Т ак как В

= — А, то т будет явл яться собственны м значением

оператора А. Теорема доказана.

В следую щ ей теореме вы ясняется важ ное

свойство собственны х

векторов самосопряж енного оператора.

С ледовательно, Ах — элемент Vi, и

поэтому V\ — инвариантное под­

пространство оператора А. Это дает нам право рассм атри вать опера­

тор А в подпространстве V\. В этом

подпространстве А будет пред­

ставлять

собой сам осопряж енны й оператор. С ледовательно,

имеется

м аксим альное собственное значение А2

этого оператора, которое м ож ­

но найти с помощ ью соотнош ения 18)

А2

=

ш ах

(Ах, х).

||х = 11|, xJ_ei

17)

М ы

использовали

свойство самосопряженности

оператора

(А х , еД =

= (х, А е Д

и то

обстоятельство,

что e i — собственный вектор

оператора: A e i =

150

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

И з соотнош ений

(5.68), (5.69)

и (5.70) получаем

следую щ ие вы р а­

ж ен и я д л я х и А х :

п

X

=

Р ,х ,

(5.71)

к = 1

п

А х

=

УУ А ,Р ,х .

(5-72)

к = 1

И з равенства (5.71) следует, что оператор Y lk = i

явл яется т ож ­

дест венны м :

п

I

=

У ] Pfc-

(5.73)

к = 1

А =

Y

,

(5-74)

k = 1

И з свойств 1 °) и 2 °) проекторов и из соотнош ения

(5.74) вы текает

следую щ ее вы раж ение д л я А 2:

п

А 2 =

У ^ А Д , .

к = 1

О чевидно, вообщ е д л я лю бого целого полож ительного s

п

А 8 =

У ] А Д , .

(5.75)

к = 1

Рассм отрим произвольны й полином р (Л) =

<дА\ По опреде­

лению считаю т р (А ) =

! CkА к . О бращ аясь к соотнош ению (5.75),

легко получить следую щ ее вы раж ение д л я р (А ):

т

Р (А ) =

y > ( A i ) P i .

(5.76)

2 = 1

Д окаж ем следую щ ую теорему.

Т е о р е м а 5 .2 3 .(теорема

Г ам и льтон а-К эли ). Е сли

А — самосопря­

ж енны й оператор и р { А)

=

d et(A

— AI) — характ ерист ический м н о ­

гочлен эт ого оператора,

то

Р (А )

= 0.