Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 322 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ВВЕДЕНИЕ

В этой книге мы будем	им еть дело с внеш не различны м и объ
ектами: 1) с м атрицам и (или	прям оугольны м и таблицам и из чисел),

2) с алгебраическим и ф орм ам и, вклю чаю щ им и в себя так назы ваем ы е линейны е, билинейны е и квадрати чн ы е ф орм ы , 3) с так назы ваем ы м и линейны м и (и, в частности, евклидовы м и) пространствам и и с линей ными преобразованиям и в таких пространствах.

Э лементарны е представления об этих объектах читатель имеет из курса аналитической геометрии. В самом деле, в курсе аналитической геом етрии изучались квадратн ы е м атрицы второго и третьего п оряд ков и отвечаю щ ие этим м атрицам определители . Л инейная и к в ад р а ти чн ая ф орм ы представляю т собой соответственно однородную линей ную и однородную квадрати чн ую ф ункции нескольких независимы х переменны х (например, координат в е к то р а). П римером линейного про стран ства м ож ет служ и ть совокупность всех геом етрических векторов на плоскости (или в пространстве) с заданны м и операциям и слож ения этих векторов или ум нож ения их на числа. Если д л я совокупности та ких векторов задано еще и скалярное произведение, то мы придем к понятию евклидова пространства. П рим ером линейного преобразова ния в таком пространстве м ож ет служ и ть переход от одного декартова прям оугольного базиса к другому.

Н есм отря на внеш нее различие, перечисленны е совокупности объ ектов тесно связаны м еж ду собой: больш инство утверж дений допуска ют равносильную ф орм улировку д л я каж дой из этих совокупностей. Н аиболее отчетливо эта связь вы является при изучении произвольны х линейны х и евклидовы х пространств (и линейны х преобразований в таких п ростран ствах).

О днако более конкретная, м атри ч н ая тр акто вка результатов непо средственно связан а с ф акти ч ески м и вы числениям и (и, в частости, с реш ением линейны х систем уравн ен и й ). И менно поэтом у мы начинаем наш е рассм отрение с изучения м атриц и неоднократно возвращ аем ся впоследствии к м атричной трактовке результатов.

Г Л А В А 1

М А Т Р И Ц Ы И О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И

В этой главе изучаю тся таблицы из чисел, назы ваем ы е м а т р и ц а м и

и играю щ ие в дальнейш ем важ нейш ую роль. Здесь вводятся основные операции н ад м атрицам и и детально изучаю тся свойства так н азы вае м ы х определит елей, являю щ ихся основной числовой характеристикой

квад р атн ы х м атриц.
§	1. М а т р и ц ы
1. П о н я т и е м а т р и ц ы .	М а т р и ц ей назы вается п рям оугольная

таблица из чисел, содерж ащ ая некоторое количество т строк и неко

торое количество п столбцов.

Ч и сла ш и п назы ваю тся порядкам и м атрицы . В случае, если т = = п, м атри ц а назы вается квадрат н ой, а число т = п — ее порядком .

В дальнейш ем д л я записи м атрицы будут прим еняться либо сдво

енные черточки, либо круглы е скобки:

а ц	ai2	&1п	/	а ц	ai2	&1п	\
^21	a22	&2п	ИЛИ	^21	022	&2п
			ИЛИ
а т1	а т2	&тп	\	Q"ml	а т2	&тп	/

Впрочем, д л я краткого обозначения м атрицы часто будет использо ваться либо одна больш ая лати н ская буква (наприм ер, А ), либо символ

\|\|а^-\|\|,	а иногда и с разъяснением : А = \|\|а^-\|\| = (а ^ ) (г = 1, 2, ... , ш ;
3 = 1,	2,	п).
Ч и сла dij,		входящ ие в состав данной м атрицы , назы ваю тся ее эле

м ен т а м и . В записи aij первы й индекс г означает номер строки, а вто рой индекс j — номер столбца.

В случае квадратн ой м атрицы
а ц	ai2	&1п
^21	a22	&2п

Q"nl ^n2

®>пп

1. МАТРИЦЫ

вводятся понятия главной и побочной диагоналей . Г лавной диагона

лью

м атрицы

(1.1) назы вается ди агон аль сд 1

*2 2

2 - - - «Пп, идущ ая из ле

вого

верхнего угла

этой

м атрицы

правы й

ниж ний ее

угол. П обоч

ной

диагональю

той ж е

м атрицы

назы вается ди агон аль

a nia ( n _ i)2 - - -

. . . a i n , идущ ая из левого ниж него угла в правы й верхний угол.

О с н о в н ы е о п е р а ц и и н а д м а т р и ц а м и и и х с в о й с т в а . П р еж

де всего договорим ся считать две м атрицы равны м и, если эти м атрицы

имею т одинаковы е порядки и все их соответствую щ ие элем енты

сов

падаю т.

П ерейдем к определению основны х операций н ад м атрицам и .

а)

С л о ж е н и е

м а т р и ц .

С ум м ой

двух

м атриц

||а ^ ||

(г =

1, 2,

. .

то; j

. .

п)

||ЬУ ||

(г

1, 2, . .

т ;

= 1 , 2 , . . . ,

п) одних и тех ж е порядков ш и п

назы вается м атри ц а С

\ ы \

1 , 2 , . . . ,

ш; j

1 , 2 , . . . , п)

тех

ж е

порядков

ш и п ,

элем енты C{j

которой равны

°ij

= aij

+ bij

= 1 , 2 , . . . ,

ш;

1 , 2 , . . . , n).

(1.2)

Д л я обозначения суммы двух м атриц используется запись С

А + В .

О перация

составления

суммы

м атриц

назы вается

их

слож ением .

И так, по определению

«12

« 1п

Ь ц

Ь\ 2

•

„

«21

«22

«2п

Ь2

^22

•

ъ2п

« m l

« m 2 • -

& т п

Ь т1

Ьт 2

• • •

Ьт п

(а ц

Ь ц)

(«12

Ь ц)

(«1п

“Ь

bln)

(«21

^21)

(«22

^22)

(«2п

Ь2п)

(«ml

“Ь

^ml)

(«m2

Ьт2 )

. . .

(«mn

Н"

Ьт п)

И з определения

суммы м атриц , а точнее, из

ф орм улы (1.2), непо

средственно

вы текает, что операция слож ения м атриц обладает

те

ми ж е

свойствами, что и операция

слож ения вещ ественны х

чисел, а

именно:

1) переместительны м

свойством:

= В

А;

2) сочетательны м свойством: (А

В )

+ С = А +

(В +

С ).

Эти

свойства позволяю т не заботиться о порядке следования сла

гаемы х м атриц при слож ении двух или больш его числа м атриц.

б)

У м н о ж е н и е

м а т р и ц ы

и а

ч и с л о . П роизведением м а т р и

цы

А =

\\aij\\ (г

1, 2,

. .. , ш; j

1, 2, ... ,

п)

на вещ ественноечис

ло

Л назы вается

м атри ц а

= \\cij\\

(г= 1 , 2 , . . . ,

ш;

j =

1 , 2 , . . . ,

п),

ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

элем енты с^- которой равны

Cij

= X d i j

(г

1 , 2 , . . ш;

Д = 1

, 2 , . . п).

(1.3)

Д л я обозначения произведения м атрицы на число используется за

пись С

= ЛА или С = АЛ. О перация составления произведения м ат

рицы на число назы вается ум н о ж ен и ем м атрицы на это число.

Н епосредственно из ф орм улы (1.3) ясно, что ум нож ение м атрицы

на число обладает следую щ ими свойствами:

1) сочетательны м

свойством

относительно

числового м нож ителя:

(Ац)А

= Л(цА);

распределительны м

свойством

относительно

сум м ы

м атриц:

А(А +

В ) = ЛА + ЛВ ;

3) распределительны м свойством относительно сум м ы чисел: (Л +

Н- д)А

= ЛА Н- ц А .

З а м е ч а н и е . Разностью

двух

м атриц А

ж В одинаковы х

поряд

ков т и п

естественно н азвать такую

м атрицу

С тех ж е порядков т

и п, которая в сумме с м атрицей В

дает м атрицу А. Д л я обозначения

разности двух м атриц используется

естественная запись: С

А — В .

О чень легко убедиться в том, что разность

С двух м атриц

А и В

м ож ет бы ть получена по правилу С

А +

(— 1)В .

в)

П е р е м н о ж е н и е

м а т р и ц .

П роизведением м атрицы А =

\\aij\\ (г

1 , 2, . .. , т ;

1 ,

2, ... ,

п),

имею щ ей

порядки, соот

ветственно

равны е т

и п,

на

м атрицу

||Ь^-|| (г

1, 2, . .. ,

n; j =

1, 2,

... , р), имею щ ую порядки, соответственно равны е п и р , н азы

вается

м атри ц а С = НоД

(г

1, 2, . .. ,

ш;

j =

1, 2, ... , р),

им ею щ ая

порядки, соответственно равны е п

и р, и элем енты

щ д определяем ы е

ф орм улой

c i j =

2 a i k b k i

2’

• • •’

т ;

•?’

2’

• •

•’ р ) -

(!-4)

к = 1

Д л я обозначения произведения м атрицы А на м атрицу В использу

ют запись С =

А В . О перация составления произведения м атрицы А

на м атрицу В

назы вается перем нож ением этих м атриц.

И з

сф орм улированного

вы ш е определения

вы текает, что м а т р и

цу А м ож но ум н о ж и т ь не на всякую м а т р и ц у В: необходимо, чтобы число столбцов м атрицы А бы ло равно числу строк м атрицы В .

В частности, оба произведения А - В и В -А мож но определить лиш ь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В , а число строк А совпадает с числом столбцов В . П ри этом обе м атрицы

А - В и В • А будут квадратн ы м и , но порядки их будут, вообщ е говоря,

1. МАТРИЦЫ	15
различны м и . Д л я того чтобы оба произведения А • В	и В • А не толь

ко бы ли определены , но и имели одинаковы й порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе м атрицы Аж В бы ли квадратн ы м и м атрицам и

одного и того ж е порядка.

Ф орм ула (1.4) представляет собой правило составления элементов

м атрицы

(7, являю щ ейся произведением

м атрицы

на м атрицу В .

Это правило мож но сф орм улировать и словесно: элем ен т

сц ,

ст оя

щ ий на пересечении i -й ст роки

и j -го

ст олбца м ат рицы

А • В ,

равен

сум м е попарны х

произведений

соот вет ст вую щ их

элем ент ов

i -й ст роки м ат рицы А

и j -го ст олбца м ат рицы В .

В качестве прим ера прим енения указанного п рави ла приведем ф о р

м улу перемнож ения квад р атн ы х м атриц второго порядка

а ц

<212

Ъ ц

bi2

( а ц Ь ц

a 12b2i)

(a n 5i2

^ 1 2 ^2 2 )

&21

а 22

Ь21

^22

(a2i5 n

H22^2l)

(a2i5i2

« 2 2 ^2 2 )

И з

ф орм улы

(1.4)

вы текаю т

следую щ ие

свойства произведения

м атрицы А

на м атрицу В:

1) сочетательное свойство: (А В ) С =

А ( В С );

2) распределительное относительно сумм ы м атриц свойство: (А +

В )С

= А С +

В С

или А (В +

С)

А В +

А С .

Р аспределительное свойство сразу вы текает из ф орм ул (1.4) и (1.2),

д л я

доказательства сочетательного свойства

достаточно

зам етить,

что если

||а у ||

(г

1 ,2 , .

т;

, 2

, . . п ), В

\\bj k \\

. .. , п;

1, 2, . .

р),

\\сы \\

(к

... ,

р; I =

= 1 , 2 , . . . ,

г),

то

элем ент

м атрицы

(Л В )С

в силу

(1.4)

равен

da = E 2 = i ( E ? = 1 a ijb jk jS • см,

элемент d!u

м атрицы

(A B ) C

равен

d'u =

Y lj = i aij

= i bjkCki) , но

тогда

равенство dit

d'u вы тека

ет из возм ож ности изм енения порядка сум м ирования относительно j

и к.
Вопрос	о перестановочном свойстве	произведения м атрицы	А	на
м атрицу В	имеет смысл ставить лиш ь	д л я квад р атн ы х м атриц	А	и

В одинакового порядка (ибо, как указы валось выш е, только д л я таких м атриц Аж В оба произведения А В жВ А определены и являю тся м ат

рицам и одинаковы х порядков). Э лем ентарны е прим еры						показы ваю т,
что произведение		двух квадрат ны х		м а т р и ц	одинакового		порядка не
обладает , вообще		говоря, перест ановочны м			свойст вом .	В	самом	де
		О	1	0	о	=	1	0
ле, если полож ить А			,В	=	то А В	=	0	0
		О	О	1	о		0	0
0	0
а В А =	1
0	1

16 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Здесь мы укаж ем , однако, важ н ы е частны е случаи, в которы х спра

ведливо перестановочное свойство *).

С реди квад р атн ы х м атриц	вы делим класс так назы ваем ы х диаго
н а л ь н ы х м атриц, у каж дой из	которы х элем енты , располож енны е вне

главной диагонали, равны нулю . К а ж д а я		ди агон альн ая м атри ц а по
р яд ка п имеет вид
di	0 . ..	0
0	d2 . ..	0
D =
0	0 .	dn

где d i, б?2 , ... , dn — какие угодно числа. Л егко видеть, что если все эти

числа равны м еж ду собой, т. е. d\ — d2 — . .. =	dn = d, то д л я лю бой
квадратн ой м атрицы А порядка п справедливо	равенство A D = D A .

В самом деле, обозначим символами с^- и с - элем енты , стоящ ие на пе

ресечении г-й строки и j - го столбца м атриц A D	и D A соответственно.
Тогда из равенства (1.4) и из вида м атрицы D получим, что
Cij — ct'ij d j — d i j d , ^ij — d%a^2	— d d i j ,	( 1.6)

T. e. d j = c'ij.

С реди всех диагональны х м атриц (1.5) с совпадаю щ им и элемента

ми d\ — d2 = . .. = dn особо важ ную	роль	играю т две	м атрицы .
П ервая из этих м атриц получается при d	— 1,	назы вается	единичной

м а т рицей п -го порядка и обозначается символом Е . В торая м атрица

получается при d — 0, назы вается				нулевой м а т рицей п -го порядка и
обозначается символом О. Таким образом,
i	0 ....		0		0	0	....	0
0	1 ....		0	О =	0	0	....	0
Е =			,	О =
0	0	.,..	1		0	0	.,..	0
В силу доказанного вы ш е А Е				= Е А	и А О	=	О А . Более того, из
ф орм ул (1.6) очевидно, что
А Е	=	Е А	= Л,	А О	= О А	=	О.	(1.7)

П ервая из ф орм ул (1.7) характеризует особою роль единичной м ат рицы Е , аналогичную той роли, которую играет число 1 при пере м нож ении вещ ественны х чисел. Ч то ж е касается особой роли нулевой1

1) Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято назы вать коммутирующими.

1. МАТРИЦЫ				17
м атрицы О, то ее вы явл яет не только	вторая	из	ф орм ул	(1.7), но и
элементарно проверяем ое равенство 2)	А + О	=	О + А =	А .

В заклю чение зам етим , что понятие нулевой м атрицы м ож но вво

дить и д л я н еквадратн ы х м атриц (нулевой н азы ваю т лю бую матрицу,

все элем енты которой равны нулю ).
3.	Б л о ч н ы е м а т р и ц ы . П редполож им , что некоторая м атри ц а
А =	\\aij\\ при помощ и горизонтальны х и вертикальны х прям ы х р аз

бита на отдельны е прям оугольны е клетки, к аж д ая из которы х пред ставляет собой м атрицу меньш их разм еров и назы вается блоком ис

ходной м атрицы . В таком случае возникает возм ож ность рассм отрения

исходной м атрицы А как некоторой новой						(так назы ваем ой		блочной)
м атрицы А =	\|\|Асщ\|\|, элементами А ар которой служ ат указанны е бло
ки. У казанны е	элем енты	мы	обозначаем		больш ой латинской буквой,
чтобы подчеркнуть, что они являю тся, вообщ е говоря, м атрицам и,									а
не числам и и (как обы чны е числовы е элем енты )							снабж аем двум я ин
дексам и, первы й из которы х			указы вает		номер		«блочной»	строки,	а
второй — номер «блочного» столбца. Н априм ер, м атрицу
	а ц	«12	«13	<214	:	а 15	«16
	«21	«22	«23	«24	•	«25	«26
	«31	«32	«33	«34	:	«35	«36
	«41	«42	«43	<244	:	<245	«46
	«51	«52	«53	«54	:	«55	«56

м ож но рассм атри вать как блочную м атрицу А

м ентами которой служ ат следую щ ие блоки:

_	«11	«12	«13	«14	,	А 1 2	—
	«21	«22	«23	«24	,	А 1 2	—
	«21	«22	«23	«24
	«31	«32	«33	«34
=	«41	«42	«43	<244	,	А 2 2	=
	«51	«52	«53	«54

А и	А\2	эле-
А21	А 22

«15 «16 «25 «26

«35 «36 «45 «46 «55 «56

Зам ечательн ы м явл яется тот ф акт, что основные операции с блоч ными м атрицам и соверш аю тся по тем ж е правилам , по которы м они

2) Это равенство является прямым следствием формулы (1.2).

2 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к

18 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

соверш аю тся с обы чны ми числовы м и м атрицам и, только в роли эле

м ентов вы ступаю т блоки.

В самом деле, элементарно проверяется, что если м атри ц а А =

= \\cLij\\ явл яется блочной и имеет блочны е элем енты А а/з, то при том ж е разбиении на блоки м атрице ЛА = ||А а^|| отвечаю т блочны е эле м енты \ А ар 3) .

С толь ж е элементарно проверяется, что если м атрицы Аж В име ют одинаковы е порядки и одинаковы м образом разби ты на блоки, то

сумме м атриц А ж В отвечает блочная м атри ц а с элементами				С ар =
= A afз +	B afз (здесь А ар жВ ар — блочны е элем енты м атриц А			ж В ).
П усть,	наконец,	А ж В — две блочны е	м атрицы такие, что	число
столбцов	каж дого блока А ар равно числу		строк блока В ар (так что
при лю бы х а , /? и д		определено произведение м атриц А ар В р 7). Тогда
произведение С =		А В представляет собой м атрицу с элементами С а 7 ,
определяем ы м и ф орм улой

^ ^ A afi В . /з

Д л я доказательства этой ф орм улы достаточно расписать левую и п ра вую ее части в терм инах обы чны х (числовых) элем ентов м атриц Аж В

(предоставляем это сделать читателю ).

В качестве прим ера прим енения блочны х м атриц остановимся на

понятии так назы ваем ой прям ой сум м ы квад р атн ы х м атриц.

П рям ой сум м ой двух квад р атн ы х м атриц А ж В порядков ш и п соответственно назы вается к в ад р атн ая блочная м атри ц а С порядка

А	О
т + п, р ав н ая С	. Д л я обозначения прям ой сум м ы м ат
О	В
риц А жВ используется запись С =		А ® В .
И з определения прям ой суммы		м атриц А ж В очевидно, что эта
сумма, вообщ е говоря, не обладает перестановочны м свойством. О дна
ко элементарно проверяется справедливость сочетательного свойства:

(А 0 В ) 0 С = А 0 (В 0 С ).

С помощ ью свойств операций н ад блочны м и м атрицам и легко про веряю тся следую щ ие ф орм улы , устанавливаю щ ие связь м еж ду опера

цией прям ого сум м ирования и операциям и			обы чного слож ения и пе
рем нож ения матриц:
	(А т 0 А п ) + (В т 0 В п ) — (А т	+	В т ) 0 (А п + В п),
	(А т 0 И п) (В т 0 В п) =	А ШВ Ш 0 А пВ п
3)	При этом блочные элементы \ А а р	сами вычисляю тся по правилу умноже
ния матрицы А а р на число Л.

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

(в этих ф орм улах А ш и В т — произвольны е квадратн ы е м атрицы по ряд ка ш , а А п и ^ — произвольны е квадратн ы е м атрицы порядка п). П роверку этих ф орм ул мы предоставляем читателю .

§2. О п р е д е л и т е л и

Целью настоящ его п ар а гр аф а явл яется построение теории опреде лителей лю бого порядка п. Х отя читатель (из курса аналитической

геометрии) уж е знаком с определителям и второго и третьего поряд

ков, мы будем вести излож ение так, чтобы избеж ать каких-либо ссы лок. Знаком ство с определителям и второго и третьего порядков разве лиш ь облегчит восприятие излагаем ого ниж е м атериала.

1. П о н я т и е о п р е д е л и т е л я . Рассм отрим произвольную к в ад р ат

ную м атрицу лю бого порядка п :
	а ц	«12	«1п
А =	«21	«22	«2п
А =
	«п1	«п2	• • • «пп

С каж дой такой м атрицей свяж ем вполне определенную численную характеристику, назы ваем ую определителем , соответствую щ им этой м атрице. Если порядок п м атрицы (1.8) равен единице, то эта м атри ц а состоит из одного элемента а ц и определителем первого порядка, со ответствую щ им такой м атрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п м атрицы (1.8) равен двум, т. е. если эта м атри ц а имеет вид

			Д _		«11	«1 2	(1.9)
					«21	а 22

то определителем		второго порядка, соответствую щ им такой м атрице,
назовем число, равное щ 1 * 2 2 2				— *2 1 2 « 2		1 и обозначаемое одним из сим-
волов 4) Д =	det А =		<2п	«12	. И так, по определению
			«21	«2 2

Д	=	det И		« 1 1	a i 2	— ^ца22 —ai2a2i-	(1. 10)
				«21	&22

Ф орм ула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствую щ ей ему м атрицы . С ловес

4) В отличие от матрицы для обозначения определителя употребляю т не сдво енные, а одинарные черточки.

20 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

н ая ф орм улировка этого п рави ла такова: определитель второго поряд

ка, соответствую щ ий м атрице (1.9), равен разности произведения эле ментов, стоящ их на главной диагонали этой м атрицы , и произведения элементов, стоящ их на побочной ее диагонали 5) .

В дальнейш ем излож ении мы будем говорить об элементах, стро ках или столбцах определителя, подразум евая под этим и терм инам и

соответственно элементы , строки или столбцы отвечаю щ ей этому опре

делителю м атрицы .

П ерейдем теперь к вы яснению понятия определителя лю бого по р яд ка п , где п ^ 2. П онятие такого определителя мы введем и ндуктив

но, считая, что нами уж е введено понятие определителя порядка п —1,


соответствую щ его произвольной квад ратн ой		м атрице порядка п — 1.
Д оговорим ся	назы ват ь м инором любого	элем ент а ац м а т р и
цы п - го порядка (1.8) определит ель порядка п — 1,			соот вет ст вую щ ий
т ой м а т р и ц е , которая получает ся из м ат рицы			(1.8) в результ а т е
вы черкивания i -й	ст роки и j -го ст олбца (той	строки и того столбца,

на пересечении которы х стоит элем ент а ц ). М инор элемента ац будем

обозначать символом М j . В этом обозначении верхний индекс обозна чает номер строки, ниж ний — номер столбца, а черта н ад М означает, что указанны е строка и столбец вы черкиваю тся.

О пределит елем порядка п, соот вет ст вую щ им м ат рице (1.8), на

зовем	ч исло , равное			I ) 11+ i a i j M j		и обозначаемое сим волом
				«11	«12	. . .	«1п
		Д =	det А =	«21	«22	. . .	CL2n
		Д =	det А =				( l . i i )
				«п1	«п2	• • •	^nn
И так, по определению
		a n	«12	«1п
Д	= detH =	«21	<222	«2п	=	5 3	( - 1 ) 1 + ja i j M ) . (1.12)
Д	= detH =				=	5 3	( - 1 ) 1 + ja i j M ) . (1.12)
		«nl	«п2	• • • «пп		3 = 1
		«nl	«п2	• • • «пп

Ф орм ула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка п по элементам первой строки соответствую щ ей ему м атрицы

5)Напомним, что главной диагональю квадратной матрицы называется диа

гональ, идущ ая из левого верхнего в правый нижний угол (т. е. в случае матри цы (1.9) — 0-110-22), а побочной —диагональ, идущ ая из левого нижнего в правый верхний угол (т. е. в случае матрицы (1.9) — 021012)-

<<< < Предыдущая 12 / 322 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf