книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf2.3. Изотропные диэлектрики |
91 |
Здесь введем обозначения
□5=v2- - H ,
С1 |
Ьис |
- d l |
|
|
а = а - 1-э0-1, 1\ = |
> 0 . |
|||
lrii |
и |
|||
|
сий |
|
||
Подобным же образом преобразуем систему уравнений (18), (19). Получим уравнения
(28) [ ф - - * ( 1 + ^ ) + £ а « ] „ -
= — ЬА4(V2 — а) РП1.
(29)[j^-v(i+^)+£ф=^и.у*ч-е„а5ц.
Здесь введены обозначения
U \ ^ V 2- - J |
dl С2 |
= ( - ^ - ) 1/2« |
^44 = 6 4 4 + ^ 7 » |
/? = |
(644 + |
bn) с44 ~ rf44 |
Q |
* |
|
ciAa |
> |
Порядок действий при решении уравнений (25) — (29) следую щий. Определим функции источников ф, т, т|, £ из формул (21) — (24) и функцию р из решения уравнения Пуассона (27), при этом
(30)Р(Ж .0—
|
V |
Решение уравнений |
(25) — (29) приводит к функциям ф, |
Н, К. Электрический потенциал найдем из уравнения |
|
(31) |
<р=э0-Чх — р). |
По формулам (13) определим перемещение и и поляризацию Р. Наконец, определяющие соотношения (2) — (4) дают воз можность находить величины aijt Ei}, Е\.
Перейдем к статическому решению. Основные уравнения (15) — (19) подвергаются значительному упрощению — в них исчезают производные по времени от функций ф и Hi
(32) |
cuV 4 + dnV2X = -p ft> |
||
(33) |
<*цУ2Ф + (&nV2 — a)% — <p= — T, |
||
(34) |
v2( x - 9 0<p) = |
pe, |
|
(36) |
c44V2H + d44V2K = |
- |
РП. |
(36) |
rf44V2H + (544V2 - a ) К = |
- |
£. |
92 |
Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина |
|
Для |
разрешения системы уравнений (32) — (36) |
можно |
было бы использовать формулы (25) — (29), отбросив |
в них |
|
члены с производной по времени. Однако более простым бу> дет путь, предложенный ниже. Введем две функции, опреде ленные следующим образом:
(37) |
« = с,,ф + rfnx, |
р = х — э0ф. |
|
|
|
||
Используя их, приведем уравнения (32) |
и (34) |
к виду |
|
||||
(38) |
у2а = |
— рф, |
|
|
|
|
|
(39) |
V2P = |
Ре. |
|
|
|
|
|
Исключая функции ф и ф из уравнений |
(32) и |
(33), |
прихо |
||||
дим к равенству |
|
|
|
|
|
|
|
<4 °) |
|
|
+ |
|
|
|
|
В правую часть |
равенства (40) |
входят |
источники т |
и |
а |
||
также функция р, являющаяся решением уравнения (39). Ре шение уравнений (38) — (40) приводит к определению функ ций х, а, р, что позволяет найти функции ф и ф из соотно шений (37). Заметим еще, что равенство (40) можно получить непосредственно из уравнения (26).
Подобным |
же образом решим систему уравнений (35), |
(36). Введем векторную функцию |
|
(41) |
L = O44H -M 44K |
(42) |
V2L=—рп- |
и решим уравнение Пуассона
Затем, исключая из уравнений (35) и (36) функцию Н, мы приходим к уравнению
(Это уравнение можно также получить непосредственно из уравнения (29), отбросив в нем производные по времени.) Далее решим уравнения (42) и (43). Знание функций L и К позволит теперь определить функцию Н. Подстановкой функ ций ф, х. Н, К в формулы разложения (13) решение задачи будет завершено.
2.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНДЛИНА
Рассмотрим статическую задачу. Для определения фунда ментальных решений применим способ, представленный в пре дыдущем параграфе (уравнения (37) — (43)).
2.4. Фундаментальные решения уравнений Миндлина |
93 |
(а) Сначала положим, что единственной причиной возник новения поля является сосредоточенный единичный заряд ре = б (х). В этом случае следует принять
(1) |
0 = 0, л = |
0, |
т = |
0, £ = |
0, рв= б (х), |
что влечет за собой соотношения |
|
||||
(2) |
|
L = |
О, |
К = 0. |
|
Уравнения |
(38) — (40) |
предыдущего |
параграфа примут вид |
||
(3) |
V2« = |
0, |
= |
б (х), |
|
Комбинируя уравнения (4) и (3)2, получим
(б) |
у2( ’ ! - | ) х = - ^ 6(х)- |
Решениями уравнений (3) и (5) являются функции
(6)а = 0, р ------ *{*-. х =
Учитывая соотношения |
|
|
|
||
(7) |
а = сиф + <*,1Х, |
ф = (1/э0)(х — Р), |
|||
находим |
ф = |
__“И___ L (е-щи — |
|
||
|
1). |
||||
(8) |
|
4я<2э0Сц |
R 4 |
|
|
|
1 |
1 ( |
e~Rltl - 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
4лэ0 |
"?Г V |
йэ0 |
|
Функции Грина для перемещения и и поляризации Р получим из формул
(9) |
u = gradtl), P = gradx* |
Величины a l}, Eijt Е\ находятся из определяющих соотноше ний (2) — (4) § 2.3.
(б) Рассмотрим случай, в котором в начале системы коор динат действует сосредоточенная сила, параллельная оси а*ь Тогда
(10) X, = 6„6(x), Ъ ф О , г\ф О , ЕЧ = 0, т = 0, &= 0.
94 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
В результате р = 0. |
Остается |
решить |
урайнения |
|
|
||||||
(11) |
V2a = |
— pft, |
|
V2L t = |
— РЛг» |
|
|
||||
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
V |
|
Ч ) |
|
си а12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Величины ^ и г), определим по формулам |
(21) и |
(22) |
§ 2.3: |
||||||||
(14) |
й = ~ ~ Ё ф дПГ' |
|
11 = |
"4яр" ( 0> |
Т * |
— |
|
|
|||
|
|
|
|
R = |
{XiXi)m. |
|
|
|
|
||
Подставляя эти источники в правые части уравнений |
(11)—• |
||||||||||
(13), получим следующие решения: |
|
|
|
|
|
||||||
<15> |
L' = |
|
°- |
|
|
8я |
|
|
|
||
(1в) |
х = |
— |
Ml |
|
R |
|
|
|
|
||
4ясцй |
1 |
,-R!h |
|
|
|||||||
(17) |
«1 = 0, |
« , = |
|
4и |
|
|
|
||||
~------ |
|
R |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Апас4412 |
|
|
||||
|
Кз = |
~ |
— ^ ~ Y d2 |
e-W* - l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
По формулам |
|
|
4nac44l2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(18) |
u = grad ф + |
rot H, |
P = grad %-f- rot К |
|
|
||||||
определим перемещение u и поляризацию Р. Так как |
р = 0 |
||||||||||
и Li = |
0, то (р = эо’1х. |
Н\ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
(в) |
Пусть в начале координат действует единичное сосре |
||||||||||
доточенное поле Е], |
направленное параллельно оси х\. Тогда |
||||||||||
(19) |
£j = 6i;6(x), |
Xj = 0, |
fl = |
0, |
11= |
0, ре= |
0. |
|
|||
В нашем распоряжении находятся уравнения |
|
|
|||||||||
(20) |
а = |
0, |
р = |
0, |
L{ — 0, |
|
|
|
|||
(21) |
(V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( v2 - i ) K = - - 4 « |
|
|
По формулам (23) и (24) определим величины |
|
|
• ^ 1 |
* (n а 1 |
х \ |
|
|
|
2.4. Фундаментальные решения уравнений Миндлина |
96 |
Подставим их в уравнения (21) и (22), решения которых имеют вид
(24) |
|
1 |
л |
R |
' |
|
^ |
4яя |
1 |
|
|||
|
|
|||||
(25) |
/Ci= о , /е2= — |
1 - |
|
- 1 » |
|
|
|
|
|
4яа |
|
У? |
|
|
|
|
e-RHi _ |
1 |
|
|
|
' Ь - Н Г (?2 |
R |
|
|
||
Из уравнений (20) находим |
|
|
|
|
||
(26) |
*Ф= — |
{Р = |
эо1х, |
Ht = — |
|
|
Перемещение и |
поляризацию |
Рполучим по формулам |
||||
(18). Функции сг,/, £,/, |
Е\ находим |
из |
определяющих |
соотно |
||
шений |
(2) —(4) § 2.3 •> [45]. Поскольку причинами, |
влияю |
||||
щими на движение тела, являются массовые силы, внешнее электрическое поле и электрические заряды, то в определяю щих уравнениях следует положить 6° = 0.
Займемся динамическими задачами. Рассмотрим только случай, в котором причиной, вызывающей движение тела, яв ляется электрический заряд
(27) Рв(х, t)¥=0, Х = 0, Е° = 0.
Беглый взгляд на уравнения (25) — (29) § 2.3 позволяет утвер
(28) |
ф ф 0, %Ф 0, ф Ф 0, Н=0, К=0. |
ждать, что |
|
В нашем распоряжении остаются уравнения
(29)[*;v<- ( 1 + £ И )
(30) |
Н -^ -а ? ) V + ^ - a ? ] * — |
(31) |
V2P = pe. |
Исключим из равенств (29) и (30) функцию |3. Получим урав* нения
(32) [ ^ - ( i + ^ a ^ + ^ a j ] , - ^ * .
(33) v’ p ?v ' - ( i + ^ ) V + - J - a j ] * — J J- D K
'> Аналогичное решение, используя функции Папковича, нашел Шварц
[46].
96 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
Путь решения рассматриваемой задачи следующий. Решаем уравнения (31) — (33), затем определяем функцию ф по фор муле
(34) |
ф = (1/э0)(зс— Р)- |
Рассмотрим |
частный случай плотности заряда ре(х, £) = |
= б (х) е~ш , т. е. сосредоточенного заряда, изменяющегося во времени по гармоническому закону. В результате получим
(35) Ф (х, () = ф*(х) е~ ш , х (х, t) = х* (х) е~ ш ,
Р(х, t) = р*(х)е_<®#.
Вэтом частном случае уравнения (31) — (33) принимают вид
(37) |
|
|
|
[/?vM.(r,_i)v2(I2]t-=^i_6(x), |
|
|||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
V2P* = 6 (х), |
|
|
|
||
(38) V![;y+(Л-1)V2-о?]*•=- |
(v2+®?)6 (*)• |
|||||||||||
При |
этом |
введены |
следующие обозначения: rj = о)2Ьи/(йс*), |
|||||||||
Gi = |
со/С\. |
Уравнения (37) и (38) можно представить в ином |
||||||||||
виде, более удобном для дальнейших выкладок: |
|
|
||||||||||
(39) (v2+fc?)(v2+A2)V=-^V6to- |
|
|
||||||||||
(40) |
|
(V+ (V+ |
---Ш[Э0 |
(V+а?)в(х). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“спэом |
|
|
|
|
|
г |
|
2 |
k\) |
2 |
Щ) X |
|
4 - |
2 |
|
|
Здесь k\, |
k\ — корни уравнения |
|
|
|
||||||||
(41) |
|
|
|
|
Л4/ ? + # ( 1 |
— ri) — а® = 0. |
|
|
||||
Легко |
проверить, что |
величины k\, Щ являются веществен |
||||||||||
ными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(42) |
|
|
|
*?k\ } = |
^ г [ л - 1 ± У (0 |
- +1)24о-?(|]. |
|
|||||
Дискриминант А= |
(Л — I)2 + 4сг?/? > 0 |
и д/А > |
г| — 1. |
Сле |
||||||||
довательно, |
k\ > 0 , |
k\ < 0. |
Решением |
уравнения (39) |
будет |
|||||||
функция |
|
|
d\\ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(e ik'R— е-и/г), |
%= —ik2 > 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^ ^ |
^ |
|
ЙС| |э0/2 4 я (А2 — ft2)R |
|
|
|
||||||
Довольно сложным является решение уравнения (40): |
|
|||||||||||
(44) |
|
|
х’= |
1 |
|
1 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&l\э0 4я (ft2 — ft2) R |
|
|
|
|
|||
X £егА,/? — e~KJi -f- |
(62в~ий — h\eikxR+ k\ — kf) j . |
|
2.5. Монохроматические плоские волны |
97 |
Решение уравнения (36) имеет вид |
|
|
(45) |
|Г = -1 /(4 я Я ). |
|
Найденные функции ф*, %*, р* подставляются в выражение (35). При дальнейших рассмотрениях нас будут интересовать вещественные части этих функций. Дальнейший ход действий состоит в использовании разложений (18).
2.5.МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим сначала монохроматическую плоскую волну, перемещающуюся в направлении оси х\. Полагая, что все функции, как механические, так и электрические, зависят только от переменных Х\ и /, получим из уравнений (8)— (10) § 2.3 три следующие независимые системы уравнений:
|
|
с,1 |
|
- |
j r |
а<) «1 + |
d ndlp i = |
0. |
|||
|
dnd\ax+ |
( bndJ — |
а) Р , |
— |
д,<р = |
|
0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
— э0д*ф + |
д1Р {= |
0, |
|||
|
’ с« ( з : - |
- j i з ?) “2+ |
dHd \p t = |
|
|||||||
|
|
|
d u d \u .2 + ( 644^1 — а ) Р г = 0 , |
||||||||
(3) |
{ С" |
( д ' |
~ |
" ? |
д ‘) “ 3 + d i ,d ' ? 3 = |
° ’ |
|||||
Здесь |
I |
dudfu3 + |
(bud? — а) Рз = |
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С, = |
( - у - у /2, |
С2 = |
( |
^ |
) |
1/2* |
^ = « |
+ |
Э0 1* |
|
544 = И4 + б77. |
Уравнение (1) представляет продольную волну, модифициро
ванную электрическим полем, уравнения (2) |
и (3)— модифи |
||
цированные |
поперечные |
волны. В частном |
случае Р\ = 0, |
Pi — 0, Р3= |
0 волны (l)i, |
(2)i и (3) 1 становятся чисто упру |
|
гими волнами.
Ввиду предполагаемой монохроматичности волн, распро страняющихся в направлении оси х\, имеем
и( = и°{ ехр (— Ш + |
ikx{), Р( = |
ехр (— Ш + lkx{), |
(4) |
/ = 1 , 2 , 3 , |
|
Ф = |
Ф° ехр (— Ш + |
ik x 1), |
где со — частота колебаний и v — a/k — фазовая скорость. Подставляя (4) в уравнения (1), (2), получаем системы
98 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
алгебраических уравнений |
|
|||
|
|
с\\ (а? ~ ^2) и?— diXk2P\ — О, |
||
(5) |
. — d nk2u\ — (bnk2+ а) Я} — ikф°= О, |
|||
|
|
— &2э0ф° + ikP\ — О, |
||
(6) |
Г |
o44{ o \ - k 2) u \ - d 44k2P\ = |
О, |
|
l - d4ik2u l - {b « b 2 + a)Pl = |
0, |
|||
|
||||
где |
Oj = co/ci, |
<T2 — ®/с2* |
|
|
Займемся сначала продольной волной (1), (5). Приравни вание к нулю определителя системы уравнений (5) приводит к биквадратному уравнению
(7) |
l2k ^ + ( l - ^ ) k 2- o 2 = О, |
||
где |
&ii0_ |
|
спЬи — d11 > 0 . |
|
ч - |
||
|
йс? |
ас11 |
|
Из уравнения (7) получаем
Поскольку А= (,п1— I)2 + 4а2/2 > 0, то k2> 0, k\ < 0. При
дальнейших рассуждениях примем во внимание только веще ственные корни, так как только они приводят к вещественным фазовым скоростям:
(9),,= ± * ; A = - 7U [ ( л , - l ) + ((л1- l ) 2 + 4aй ),,■],,'•
Решением системы уравнений (1) являются, следовательно, функции
(10) |
щ(хи t) = |
A exp [— «о (f — |
|
Яехр[— *°> ( / + |
77) } |
|
(11) |
Pi (х,, t) = |
lex p [— m (j — ■— )] + B exp [— i(o (j + |
~J -)], |
|||
(12) |
(f{xu t) = ^ p i(xu t), |
= |
|
|
||
Подставляя (10) — (12) |
в уравнение |
(5), найдем зависимости |
||||
(13) |
А = |
кА, |
В = %В, |
|
|
|
Аналогично поступим с поперечной волной ич. Приравнивая нулю определитель системы уравнений (6), получим биквад-
2.6. Поверхностные волны Рэлея |
99 |
ратное уравнение |
|
|
|
|
|
|||
(14) |
|
|
|
(1 — т^) А:2 — 02= О, |
|
|
||
где |
|
644ш2 |
|
Ь ллСлц — Л |
|
|
||
|
|
® |
- |
|
||||
(15) |
|
Vi |
|
or, = |
/2 __ w44t 44 “ “ 44 |
|
||
|
de* |
— , |
Н — ------------- > 0 . |
|
||||
|
|
|
|
с2 |
асн |
|
|
|
Принимая во внимание только вещественные кор'ни |
|
|||||||
(16) |
^ |
j = ± 6 ; |
k = y |
l ^ [% — 1 + ((% ~ I)2Ч~ 4/1ег|)/а] /,> |
||||
получим решение уравнений (2) в виде |
|
|
||||||
(17) |
и2(х„ t) = |
С exp [— to (/ — |
+ D exp [—to |
+ |
— )], |
|||
(18) |
Р2 (xlt t) *= йС ехр_[— to |
— |р )]+ й £ )ехр [— to (/ + |
■£-)], |
|||||
где |
v2 = |
(njk, |
й = |
[с<4(о-! — fe2)]/(/e2^44)- Для системы уравне |
||||
ний |
(3) |
получим |
решения, |
аналогичные (17) и |
(18). Заме |
|||
тим, что все рассматриваемые волны подвержены дисперсии.
2.6.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЭЛЕЯ
Рассмотрим плоское деформированное состояние в пред* положении,.что
u = |
(aIt 2, 0), P = (Pi, Р2>°)‘> |
при этом функции |
иРзависят от переменных х\, Х2» t Ос |
новная система дифференциальных уравнений значительно упрощается. В нашем распоряжении остается пять дифферен циальных уравнений:
( 1) |
^44^ 1^1 |
(^12 |
^44) ^1 (^ 1^1 |
^2^2) ~Ь |
|
|
||
|
|
+ |
d A |
^ \ P i + |
(<*,2 + d u ) д 1 ( д 1 Р 1 + д А ) |
= |
Р«1. |
|
(2 ) |
C44V JW2 “h |
( с [2 ~Ь ^44) ^2 ( ? l Ul “1“ ^ 2^2) “Ь |
|
|
||||
|
|
4* d\$ \P2 + |
(^12~Ь ^44) ^2 (^1^1 "Ь d 'lP i ) |
= |
Р^2» |
|||
(3) |
с?44Л2м, + |
(dl2 + |
^44) &\ (^1W+ |
d2u2) “Ь |
|
|
||
+ ( 6 44 4- Ь17) V JP J + ( Ь{2 + |
^44 |
^77) d \ (^1^*1 “Ь ^2^2) |
^ tq>=0, |
|||||
(4) |
d44v2w2 + (dl2 + |
du) d2(a,tfj + |
|
<э2ц2) + |
|
+(^44 + |
bv ) V?P2 + (bl2 + b4 - b 17) |
д2 (д{Р{+ д 2Р2) - а Р 2- д 2ф =0, |
|||
(5) |
|
— э0У2<р + |
dlPl + d2Pa = |
0, Vr = ^ + 4 |
|
100 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
Эта сложная система уравнений поддается разделению путем разложения векторов и и Р:
(6) |
щ = |
+ д2Я, |
и2= д2ф — д\Н, |
||
Р,=д,% + д2К, |
Рг= д2Х-д,К- |
||||
Подставляя (6) |
в систему уравнений |
(1) — (5), получим две |
|||
|
|
| |
С„□M>+dV?X=0,11 |
||
независимые системы уравнений |
|
||||
(7) |
|
| |
-3„Vft+V?X=0, |
||
|
I |
(6„v; — а) X - |
ф о, |
||
|
( |
с„ П|Д+d ^ K |
=0, |
||
(8) |
|
|
+ |
|
0, |
где v? = a? + 4 |
□ |
5= v ; - ( i/ c f ) a j, □ |
i = v ? - ( i / c g a | , с , = |
||
= |
(Cn/p)Vj> Со = |
( c jp ) 'l\ |
|
|
|
|
Исключение соответствующих функций в системе уравне |
||||
ний (7) приводит к уравнениям более высокого порядка |
|||||
(9) |
v ; p f v i - ( i |
|
|
х, ф )= о, |
|
а исключение соответствующих функций в системе уравнений
(8)— к уравнениям
(Ю) + + ю=о.
Рассмотрим монохроматические волны, распространяю щиеся в направлении оси х% с фазовой скоростью v = <a/k. Положим
(11) (Ф, Ъ Ф, Н, /0 = (ф*(х,), %{х{), Ф*(*,), Я * ^ ), Г (л :,)) X
X ехр (— Ш + ikx2).
Подставляя (11) в уравнения (9) и (10), получим обыкновен ные дифференциальные уравнения
(12) ( а ? - ^ ) [ / ; ( ^ - А ; 2) 2+ ( л 1) ( a j — л *)— о«] |
ф * ) = о , |
(13)[7| (af — А2)2 + (л2 — 1) (а? — ft2) — cri] (//•, 0 = 0 .
Здесь введены обозначения |
|
|
|
|
|
|
4i = |
Ьц1й2 |
2 ’ |
о |
сг2— |
со |
. |
йс2х |
0\ = — , |
ct |
||||
|
ас\ |
Cj |
|
|
||