книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

Это уравнение справедливо при произвольных вариациях 67, удовлетворяющих условиям (5) 3, 4. Из равенства (11) полу­ чаем уравнение баланса энтропии

Гамильтона, приведенный в форме уравнения (4), содержит два частных случая. Для адиабатического процесса получаем

ДЛЯ СВЯЗАННОЙ ТЕОРИИ ТЕРМОПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА

Займемся теперь обобщением теоремы взаимности работ § 1.8 на теорию термопьезоэлектричества. Как и прежде, рас­ смотрим две независимые друг от друга системы причин и следствий; отправным пунктом и здесь послужат уравнения движения, над которыми произведем преобразование Ла­ пласа. Справедливо следующее тождество (см. уравнение

(8) § 1.8):

Здесь

00

О

Принимая во внимание определяющие уравнения

64 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Заметим, что для температурных полей справедлива следую­ щая теорема взаимности:

Наконец, исключим из уравнений (15) и (19) одинаковые члены. Таким образом,. приходим к следующему виду тео­ ремы взаимности:

+ ^ §k Ek 0£^) dv.

в

Равенство (13), справедливое для нестационарных процес­ сов, распадается в случае стационарных процессов на два независимых друг от друга равенства (20) и (17), т. е. сво­ дится к двум независимым теоремам взаимности.

Поступая аналогично тому, как это сделано в термоупру­ гости, можно рассмотреть действие сосредоточенных во вре­ мени сил и движущихся источников и распространить на тер­ мопьезоэлектричество формулы Сомильяны, Грина и т. д.

1.16. ТЕРМОУПРУГОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ твл

В § 1.12 обсуждался способ вывода определяющих соот­ ношений и дифференциальных уравнений теории термопьезо­ электричества. Рассмотрим теперь случай отсутствия пьезо­ электрического эффекта; займемся термоупругостыо анизо­ тропных тел.

При отсутствии пьезоэлектрического эффекта электриче­ ская энтальпия Н переходит в свободную энергию F. Опре*

Разложим свободную энергию в ряд в окрестности есте­ ственного состояния (е// = 0, Т = Г0) :

(2)F {ец, T) = F{0, Г0) + ~ сш вчвк1—-^г- —Y//8//B.

Выведенные здесь соотношения можно получить как част­ ные случаи теории термопьезоэлектричества, рассмотренной в § 1.12. Достаточно положить ецк = 0, э,/ = 0, g ,= 0. Из равенств (1) получим определяющие соотношения

Равенства (3) представляют собой соотношения Дюгамеля — Неймана, а уравнение (4) — энтропию как функцию вц, 0. Тензор ci/ki обладает следующими свойствами симметрии:

Первое соотношение симметрии следует из симметрии тен­ зора напряжений а,/, второе — из симметрии тензора дефор­ маций е,/, последнее соотношение есть следствие зависимости

Эти соотношения сокращают число независимых материаль­ ных постоянных с 81 до 21 для самого случая анизотропии. Справедливо соотношение симметрии

вытекающее из симметрии напряжения ац. Разрешим урав­ нения (3) относительно деформаций

Для величин sijki выполняются следующие условия симмет­ рии:

Рассмотрим бесконечно малый элемент объема тела, свобод­ ный от напряжений на своей поверхности. Согласно (8), по­ лучим

Это соотношение описывает физическую зависимость, заклю­ чающуюся в пропорциональности деформаций приращения

66 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

температуры 0. Величины а*/ являются коэффициентами ли­ нейного расширения. Из симметрии тензора е,-/ следует, что а,•/ является симметричным тензором. Из соотношений (3),

(4) и (8) получаем

дац \

Полную систему дифференциальных уравнений можно по­ лучить, если к уравнению (12) добавить уравнение движения. Подстановка определяющих соотношений (3) в уравнение движения дает

(13) c i ] k i u k , i } + % i — PWf + Y i/9./* к е б , / > 0.

Уравнения (12) и (13) между собой связаны.

Термоупругость объединяет динамическую теорию упру­ гости и классическую теорию теплопроводности. Предполо­ жим, что в теле отсутствует источник тепла и не наблюдается обмен тепла между отдельными элементами тела. Поскольку

Это уравнение заменяет уравнение теплопроводности. Под­ ставляя (14) в (13), получим

Величины {Cijki)s являются механическими постоянными, из­ меренными в адиабатических условиях. Определяющие соот­ ношения (3) и (4) после подстановки (14) приобретают вид

В теории температурных напряжений, в которой учитывается только влияние нагрева тела на его деформации, в уравне­ нии теплопроводности можно опустить член 7VY//6*/. Полу-

Температура 0 определяется из уравнения (18) и как извест­ ная функция подставляется в уравнение (17). В случае ста­ ционарного притока тепла из (12) и (13) получаем несвязан­ ную систему уравнений

Уделим некоторое внимание общим теоремам термоупругости в анизотропных телах. Получим их как частные случаи тео­ рии термопьезоэлектричества. Начнем с основного энергети­ ческого уравнения

5С0=т Нв 9'*0 ,/^*

Из этого уравнения легко вывести теорему о единственности

решений.

Приведем еще теорему о взаимности работ для термо­ упругости анизотропных тел. Согласно этой теореме, полу­ ченной Иоиеску-Казимиром [22], имеем

^ ^ ( W * Q ' — W, *B)dv + kii S(0,*е./— 0 * 0 ',)^ ^ ,

70 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Для решения только что рассмотренных задач достаточно было бы использовать две функции, а именно функции %з и %4* Так как в выражения для перемещений и,- входит один и тот же оператор p2v2 4“ д|, введем новые функции

Нетрудно сообразить, что функцию <р можно трактовать как функцию Галёркина для случая поперечной изотропии [20, 42]. В случае осесимметричной задачи воспользуемся системой цилиндрических координат. Заменяя в уравнениях (11) и (12) оператор V2 через d2/dr2-f- (1/г) д/дг = Vj и производную д\