книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

Способ преобразования коэффициентов сцм, еы], эц при из­ менении системы координат приведен в руководствах по тео­ рии упругости и кристаллографии. Здесь укажем только окончательный вид формул преобразования при повороте си­ стемы координат.

Обозначив материальные константы в системе координат

Здесь через /г,а, ... обозначены косинусы углов между осями х\ и ха, приведенные в нижеследующей таблице:

Коэффициенты Сцм, э,-/ с учетом соотношений симметрии

(3) представлены в виде следующих матриц:

Выписаны только члены, расположенные выше главной диа­ гонали матрицы; члены ниже главной диагонали относитель­ но нее симметричны. Представим также матрицу коэффи-

Мы видим, что в матрицах (8) содержатся 21 независимая константа Сцы и 6 независимых констант эц. В матрице (9)

мы имеем дело с 18 независи­ мыми константами е*//. Такое \ число постоянных отвечает

кристаллам триклинной систе­ мы класса 1. Это кристалли­ ческая решетка с наименьшей симметрией. Прямые векторы решетки различны между со­ бой; не равны и каждые два угла, заключенные между ними (рис. 1).

жет остаться искаженной или неискаженной при инверсии относительно точки. Преобразование относительно центра

электрика, должны быть в случае инверсии такими же, как до преобразования. Это условие не выполняется для пьезо­ электрических коэффициентов еьц, так как, принимая во вни­ мание (5), имеем

Поэтому кристаллы, имеющие центр симметрии (централь­ но-симметричные), не проявляют пьезоэлектрического эффек­ та. В дальнейшем мы будем рассматривать кристаллы без центра симметрии.

Значительное уменьшение числа независимых материаль­ ных постоянных получаем для кристаллов, имеющих двукрат­ ную ось симметрии. Говорят, что кристалл имеет ось сим­ метрии л-го порядка, если внутренняя энергия и напряжения остаются неизменными при.каждом повороте вокруг этой оси на угол 2п/п. В случае двукратной оси симметрии при ка­ ждом повороте системы координат вокруг этой оси на угол 180° число постоянных, отличных от нуля, в повернутой си­ стеме координат должно быть тем же самым. Примем, что ось х\ является двукратной осью симметрии.

Рассматриваемая система называется моноклинной (кри­ сталлического класса 2). В матрицах (8) остается 13 коэф­ фициентов сцм и 4 коэффициента эц. Матрицы (8) прини­ мают здесь вид

СШ2

Вычисляя коэффициенты е**/ для рассматриваемого моно­ клинного кристалла, получим матрицу

Имеем в этом случае 8 независимых пьезоэлектрических по­ стоянных ekif.

Рассмотрим моноклинную систему в предположении, что двукратная ось симметрии параллельна оси х$. Тогда полу-

2 Зон. 516

34 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

чим следующие матрицы:

В случае когда двукратной осью симметрии является ось д'2, имеем матрицы

Рассмотрим моноклинную систему класса т, когда пло­ скость х\хъ является плоскостью симметрии. Произведя пре­ образования тензора сцм, виц и э,/ согласно формулам (4)— (6), получим следующие матрицы коэффициентов:

Имеем здесь 13 независимых коэффициентов сцм> 10 неза­ висимых коэффициентов Скц и 4 независимых коэффициента ъц. Заметим, что коэффициенты сцм и эц имеют вид, иден­ тичный классу 2 с двукратной осью симметрии, параллель­

ной оси *2.

Рассмотрим моноклинную систему класса m с плоскостью симметрии A'2*3. Матрицы с//**, а также э,;- те же, что и в слу­ чае (13). Отличны только коэффициенты efel/:

Перейдем к ромбической системе, характеризуемой взаим­ но перпендикулярными осями поворота. Рассмотрим ромби­ ческую систему класса 222 — систему с тремя взаимно пер­

пендикулярными осями, являющимися двукратными осями симметрии. Такая система должна отвечать двум моноклин­ ным системам класса 2 : одной — с двукратной осью симмет­

рии, параллельной оси х2, и другой — с двукратной осью сим­ метрии, параллельной оси лг3. Материальные постоянные должны определяться обеими упомянутыми моноклинными системами. Это условие приводит к уменьшению числа по­ стоянных.

Приведем матрицу коэффициентов ромбической системы класса 2 2 2 :

В этом случае имеем дело с 9 коэффициентами сцы, с 3 ко­ эффициентами ekij и с 3 коэффициентами эц.

Рассмотрим ромбическую систему класса mm2. Здесь

имеем дело с двум я взаимно перпендикулярными плоскостя­ ми симметрии (плоскостями х \Х г и а2а'з) и с двукратной осью

Матрицы коэффициентов сцм и эц не отличаются от ко­ эффициентов класса 2 2 2 ; отличной будет матрица коэффи­

циентов екц:

Перейдем к тетрагональной системе, характеризующейся четырехкратной осью поворота. Рассмотрим сначала тетра­

2*

40 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

система класса 3 имеет трехкратную ось, параллельную оси

Л'з. Производя аналогичные действия, что и в случае гекса­ гональной системы, приходим к следующим матрицам:

Тригональная система класса 32 с трехкратной осью, па­ раллельной оси л'з, имеет в то же время черты, характерные для моноклинной системы с двукратной осью, параллельной оси х\. В этом случае коэффициенты должны удовлетворять условиям симметрии обеих систем; отсюда следует возмож­ ность сокращения числа коэффициентов. Матрица коэффи­ циентов э// принимает вид матрицы (33)з. Остальные матри­ цы имеют вид

Тригональная система класса Згп имеет трехкратную ось, параллельную оси хз, и черты, характерные для моноклинной системы с плоскостью симметрии х2х3. После сокращения

материальных коэффициентов матрица сцм имеет вид (34) i, а матрица коэффициентов эц — вид (33) 3. Отличной будет матрица коэффициентов е«/, которую приводим ниже: