книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

ограничивающими движение тела. На части ограничивающей тело поверхности, на которой заданы перемещения, следует принять бщ = 0, а на части ограничивающей тело поверхно­ сти, на которой заданы нагрузки, следует положить бщ Ф 0. Другой величиной, которая испытывает вариации, является вектор D

Принцип виртуальных работ ( 1) справедлив для произ­ вольных определяющих соотношений. Ограничиваясь теорией пьезоэлектричества, подставим в (1) соотношения

Уравнение (7) выражает принцип виртуальных работ для пьезоэлектрической среды.

Рассмотрим специальный вид виртуальных приращений Ьщ, bDi, а именно случай действительных приращений пере-

п В § 1.5 принято, что изменения перемещении М/ н потенциала ср не­ зависимы. Поэтому следовало бы при конструировании принципа виртуаль­ ных работ задать виртуальные приращения бш и бф. Однако удобней опе­ рировать виртуальным приращением бEi (где £/ = —ф,<) или же виртуальным приращением б В е л и ч и н ы £? и Di связаны между собой опре­ деляющим соотношением (4) § 1.5.

ВTil)г* г,иг,

Принимая во внимание однородность уравнений (15) и крае­ вых условий (16), получим

Постоянная должна быть равна нулю в силу начальных усло­ вий (17), так как, ввиду того что й* = 0, й* = 0, Et = 0 при t = 0, имеем также Ж = 0, W — 0, 8 = 0. Следовательно,

В

Но работа деформаций, а также кинетическая энергия не могут принимать отрицательных значений. Выражение 1/zBijEiEj должно быть положительно определенной квадра­ тичной функцией. Необходимо только положить, что

26 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

тальпию Н внутренней энергией и примем, что а = 0; тогда

1.8.ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ

Рассмотрим две независимые друг от друга системы при­ чин и следствий. Причинами здесь будут массовые силы, за­ данные краевые перемещения и нагрузки, приложенные элек­ трический потенциал и заряд на поверхности дВ и, наконец, заданные начальные условия. Следствиями будут перемеще­ ния щ и электрический потенциал ср внутри тела. Другую систему причин и следствий обозначим штрихами.

Отправным пунктом рассуждений будут уравнения дви­ жения для обеих систем причин и следствий

К этим уравнениям применим одностороннее интегральное преобразование Лапласа, определенное следующим образом:

Здесь предполагалось, что начальные условия для перемеще­ ний однородны:

(6) и( (х, 0) = й{(х, 0) =«0, и'(х, 0)*=й'Дх, 0) = 0 на В.

Конечно, ничто не мешает задаться неоднородными началь­ ными условиями, но при этом усложнятся конечные уравне­ ния. Умножим уравнение (4) на й'., уравнение (5) на й/,

затем вычтем из так помноженного равенства (4) соответ­ ствующее равенство (5) и результат проинтегрируем по об­

Применим к этим уравнениям интегральное преобразование Лапласа и рассмотрим выражение

Заметим, что в правые части уравнений (10) и (14) входят одинаковые члены. Исключая их, получаем уравнение

28 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Уравнение (16) представляет собой теорему взаимности ра­ бот, обобщенную на теорию пьезоэлектричества. В частном случае отсутствия пьезоэлектрического эффекта (ф = О, Di = 0) равенство (16) переходит в уравнение Граффи [19])

Рассмотрим частный случай колебаний, изменяющихся во времени гармонически;

Повторяя все операции, произведенные ранее для изобра­ жений, приходим к следующему результату;

30 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Преобразуем уравнение (3) и воспользуемся определяющими

Ранее предполагалось, что краевые условия однородны. Так как pi = 0 на Гг, щ = 0 на Гь а также ф = 0 на Гз и ritDi = = 0 на Г4, то из уравнения (9) следует

Поскольку частоты различны, ©,« ф ©„, то

в

Таким образом, мы приходим к выводу, что собственные пье­ зоэлектрические колебания ортогональны.

Здесь Сцы— тензорная величина четвертого порядка, екц — тензор третьего порядка и э«•/ — тензор второго порядка. Эти тензоры удовлетворяют следующим условиям симметрии:3