книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

Ограничимся рассмотрением неограниченного упругого про­ странства. В этом случае решением системы связанных урав­ нений (53) — (55) будут функции

Теперь исключим функции ф, ф из уравнения (59). Получим уравнение

(66)

Функцию ф найдем из уравнения (65)2, а функцию ф— из уравнения (62) ь Наконец, функции и и Р определим из урав­ нений (57). Другой путь решения следующий. Применим к

122 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина

уравнениям (63) и (66) оператор Лапласа и воспользуемся уравнением теплопроводности (56). Получим уравнения

помощи функции типа Галёркина. Если из уравнений (58) —

(71)rfnV2V 4 + V2(&nV2— й)%= r)V20.

Выразим функции ф, % через функции Qi, Q2 следующим об­ разом:

Подставляя (72), (73) в (70) и (71), приходим к двум урав­ нениям для функций Qi, Q2:

Из этих уравнений определяются функции Qi, й2. Подста­ новка их в соотношения (72) и (73) приводит к определению функций ф, %.

Рассмотрим ограниченное односвязное тело, подверженное действию температурного и электромагнитного полей.’ Поло­ жим, что в теле отсутствуют массовые силы (Xi = 0) и что поверхность тела свободна от нагрузок (р,- = 0). В этом слу­ чае уравнение равновесия примет вид

Помножим это уравнение на xi и проинтегрируем по области тела. Имеем

Теперь видно, что изменение объема тела.мы получим, про­ изведя интегрирование функций 0 и div Р по объему тела. Если эффект пьезоэлектричества отсутствует, то Р/, / = 0 и остается интеграл

в

известный из теории термоупругости изотропного тела. Рассмотрим еще динамическую задачу термоупругости

диэлектриков. Ограничим рассмотрение неограниченным упругим пространством. Здесь мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений

т. е. рассматривая только продольные волны, получим сле­ дующую простую систему волновых уравнений:

124 . Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

Исключая ф из равенств (88) и (89), получим уравнение

Затем из равенств (87) и (91) исключим последовательно функции %и ф. Получим следующие уравнения:

(92) Г ^ 2- ( 1 + ^ ? a<)v2 + T ? d fb =

= ^ 7 [Y (6 i. V 2 - d ) - n r f „ V 2ie,

(93) p y v 2- ( i + - ^ d 2) v 2 + 4 a 2l x =

~ йсп I1! (cii^i — р^|) — Y^u]

Эти уравнения удается легко решить в предположении, что поле деформаций и электрическое поле имеют пренебрежимое влияние на изменение температуры. При этом предпо­ ложении в уравнении теплопроводности (85) исчезнет член

vV2ij)-f- T)V2%. Воспользуемся, следовательно, классическим уравнением Фурье

Из этого уравнения с учетом заданных краевого и началь­ ного условий найдем функцию 0 и подставим ее в правую часть уравнений (92) и (93). Знание функций ф и %позво­ ляет определить перемещение и и поляризацию Р по фор­ мулам (86). Функцию ф определим следующим образом. Представим уравнение (84) в виде

Уравнение (95) i дает функцию р, а уравнение (95) 3 — функ­ цию ф.

Рассмотрим случай связанного уравнения теплопроводно­ сти. Исключая ф из уравнений (88) и (89), приходим к си­ стеме уравнений

(97)duV2V2Ф Н- V2 (&nV2 — й) %= ^V20,

(98) (&V2 — cBdt) 0 = Г0 (уУ2ф + nV2x).

Здесь принято, что W = 0.

Рассмотрим классическое уравнение теплопроводности

(99) (v 2 — -- G (х, х', /) — — 6 ^х — х') 6 (/), и = k/c9.

В правую часть этого уравнения входит сосредоточенный по месту и времени источник тепла. Решением уравнения (99) будет функция

При использовании функции Грина (100) решение уравнения (98), в котором правая часть трактуется как источник тепла, примет следующий вид:

(101) 6(х, 0 = ал312кЩ° $ * '$ (< - < ') 3,2<iXP ( _ 4* ( ( - ( ') ) Х

Ов

X -fir [уу2ф (х', о + rjV2x (х', /')] do (х').

Определенную таким образом функцию 0 можно подставить в правую часть дифференциальных уравнений (96) и (97). Получим систему двух интегродифференциальных уравнений, из которых можно определить функции ф и %. Зная эти функ­ ции, можно определить температуру из интегрального урав­ нения (101).

Глава 3

ТЕОРИЯ МАГНИТОУПРУГОСТИ

3.1. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МАГНИТОУПРУГОСТИ

В последнее десятилетие развилась новая область — тео­ рия магнитоупругости, в которой исследуется взаимное воздей­ ствие поля деформаций и электромагнитного поля в твердом упругом теле. Эта теория в основном является продол­ жением линейной теории упругости и линейной электроди­ намики свободно перемещающихся сред. Если тело, находя­ щееся в сильном первоначальном магнитном поле, привести в движение внешней нагрузкой, то вместе с полем деформа­ ций возникнет электромагнитное поле. Оба поля связаны, действуя одно на другое.

Причинами к рассмотрению магнитоупругости были ее возможные приложения в геофизике, в некоторых разделах акустики, в исследованиях по затуханию акустических волн в магнитном поле и т. п. Первой работой в этой области была работа Киопоффа [26], в которой автор исследовал распространение упругих волн при наличии магнитного поля Земли. Заслуживают также внимания работы Баиоса [3] и Чедвика 17]. Важными для развития магнитоупругости были работы Кадисского и Петыкевича [23, 24]. Проблема маг­ нитоупругости несколько иным образом была поднята в ра­ боте Данкина и Эрингена [17].

Рассмотрим твердое упругое тело, находящееся в сильном первоначальном магнитном поле. Механические причины (удар) и температурные (например, тепловой удар) создают в теле поле деформаций и связанное с ним электромагнитное поле. Во всех вышеупомянутых работах принято, что дей­ ствие электромагнитного поля на поле деформаций проис­ ходит посредством сил Лоренца, которые появляются в урав­ нениях движения. В законе Ома возникает член, отвечающий приращению плотности электрического тока и зависящий от скорости материальных частиц, перемещающихся в магнит­ ном поле.

Используя такую упрощенную модель, Киопофф показал, что магнитоупругие воздействия на распространение упругих волн в магнитном поле Земли играют лишь незначительную роль. Однако существует ряд конструкций, работающих в сильном первичном магнитном поле. В' этих случаях, как экспериментально показали Алерс и Флёри [1], влияние маг­ нитоупругих воздействий значительно,

Рассмотрим однородную и изотропную упругую среду, характеризуемую большой электропроводностью. Предполо-. жим сначала, что мы не имеем дело с взаимодействием элек­ тромагнитного поля с полем деформаций (среда находится в состоянии покоя). В этом случае справедливы уравнения Максвелла

(1) r o tH = j + D, rot Е = — В, divD = pe, divB = 0.

Здесь векторы Е, Н, D, В, j соответственно означают напря­ женность электрического поля, напряженность магнитного поля, электрическое смещение, магнитную индукцию и плот­ ность электрического тока. Через ре обозначена плотность электрических зарядов. Величины Е, Н, D, В, j, рв наблю­ даются в неподвижной системе отсчета.

Рассмотрим теперь точку х тела, перемещающегося во внешнем электрическом или магнитном поле [46]. Матери­ альная точка х в момент времени t, отнесенная к лаборатор­ ной системе координат, имеет скорость v. Введем в окрест­ ности точки х новую систему координат {x'itt'}, связанную

с материальной точкой х, такую, что относительно этой си­ стемы точка х находится в покое. В системе х', if снова спра­ ведливы уравнения Максвелла для состояния покоя

Здесь материальные постоянные е, ре, а отличны от постоян­ ных для вакуума. Величины е, ре последовательно означают электрическую и магнитную проницаемости, а а является ко­ эффициентом электрической проводимости. Обычно магнит­ ная проницаемость обозначается через р; здесь, однако, вве­ дем обозначение р* для того, чтобы отличить эту величину от постоянной Ламе, которую обозначим через р. Постоянные е, рв имеют те же значения, что и в случае, когда тело на­ ходится в состоянии покоя. Обозначения di*v rot и производ­ ная по времени относятся к системе со штрихами.

Уравнения (2) справедливы также в лабораторной систе­ ме отсчета. Опустим в них штрих ввиду основных свойств электромагнитного поля, а именно его инвариантности отно­ сительно преобразования Лоренца. В то же время опреде­ ляющие соотношения (3), отнесенные к лабораторной системе отсчета, принимают иной вид. Для малых скоростей v = <?u/d/, где и — вектор перемещения деформируемого тела, справед­

Подставим соотношения (4) в определяющие уравнения (3). После простых преобразований, в которых пренебрегаем чле­ нами порядка v2/c2 и выше, получим следующие определяю­ щие уравнения [17]:

Таким образом, мы получили комплект уравнений электро­ динамики для свободно перемещающихся сред. Это — урав­ нения Максвелла (1) и определяющие соотношения (5) и (6) для линейной и изотропной среды. Уравнение (6) является модифицированным законом Ома. В этом законе появляется член, отражающий влияние скорости частиц, перемещающих­ ся в магнитном поле, на плотность электрического тока.

Если твердое тело соприкасается с вакуумом, то для ва­ куума должны быть учтены определяющие соотношения

Здесь ео, ро — проницаемости для вакуума. Для вакуума справедливы уравнения (1) в предположении, что j = 0. Из этих уравнений с учетом соотношений (7) получим следую­ щие волновые уравнения:

Перейдем к уравнениям движения деформирующейся среды. Предположим, что единственным механическим эффектом электромагнитного поля является сила Лоренца [46, 48]:

Так поступают во всех работах, касающихся магнитоупруго­ сти (упомянутых в § 3.1). Подставим объемную силу f в урав­ нение принципа сохранения импульса. Получим уравнение

Послеприменения преобразования Гаусса приходим к ло­ кальному равенству