Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

11.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

i . l l . Уравнения и соотношения теории пьезоэлектричества

1.11. УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ

ТЕОРИИ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА В НОВОЙ ЗАПИСИ

В некоторых частных задачах удобно ввести новые обо значения. Пару индексов (ij), относительно которых тензоры симметричны, заменим одним индексом р, принимающим зна чения от 1 до 6. Упорядочение здесь следующее:

(И )—> 1,

(22) -* 2 ,

(ЗЗ)-^З,

(23) —>4,

(31)-*5,

(12)->6,

Cijkl == Cpqt

•

Определяющие соотношения (4)

и (5) § 1.4 примут вид

(2)

Тр =

CpqSg

ekpEk,

2, ...»

6»

/?=

1 , 2 , 3 , р, cj =

(3)

Di =

eiqSq-\- 3ikE k,

где

(4)

&il =

Sp,

i =

/»

p =

2ef/ — Spy

i Ф />

p =

В определяющих уравнениях имеем

Г, =

(Тц,

Г2 =

СТ22,

7’з =

ОГ3з,

7'4 =

СГ23,

Г5 = СГз1,

Гб— ^12»

5i =

в| 1=

«1, 1, 52= е22=

н2,2, 53=

833=

и3,3,

5 4=

2823 = М2, 3 +

«3. 2»

^5 =

2е31 == W3. 1+

«1.*»

5 6= 2е12= Щ. 2+ м2. 1-

Определяющие соотношения

(2)

и (3)

запишем в матричной

форме

~тГ

« J 3

« 1 4

Cl 5

c i 6

■

^ 1

"*«11

«21

«31

«32

£J

т2

« 2 3

« 2 4

с 25

«26

5 2

«12

«22

(5)

«33

« 3 4

С3 5

с зб

5 3

«13

*2 3

«33

Ег

«14 « 2 4

«34

т*

«34

« 4 4

С45

с 4 б

$ 4

Еу

Т5

« з з

« 4 5

CSS

c 5 6

$ з

«13

«25

«35

* 3 6

_Т6_

«36

« 4 6

С56

Сбб _

- « 1 6

«26

s r

	EL	«13	« 1 4	« 13	« 1 б 1	S2		h i	Э12	Э13
						S i	+		Э22	Э23
(6)	Г>г	с 23	^24	« i s	«26	5 .		3 21
									332	Э зз.
	D,	*3 3	* 3 4	« з з «Зб_

					w	■Se	H
						v

Ег

42 Га. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Первые уравнения в системах (5) и (6) имеют вид

(7) Т\ — сиии ! + Ci2w2,2 4~ Ci3tt3i 3 4- Сц (и2,з + «з, г) 4*

+ С15 («3. J 4" Щ, з) 4“ ^ 1 6 { и и 2 4" «2. l) 4" виф, 1 4- е21ф, 2 4~ ЗиФ. 3»

(8)D\ = е\\Щ, 14" e12W. 2 4* е13М3, 3 4" 014 (И2. 3 4" М3, 2 ) 4 “

4 015 («3. 14” Щ.з) 4“ 016 (и1, 24“ М2, 1 ) — Эцф. 1— Э 12 Ф, 2— Э13ф, 3.

Имеем, следовательно, 21 упругую постоянную cpq, 6 диэлек трических постоянных Э// и 18 пьезоэлектрических постоянных ekP. Всего получается 45 независимых постоянных.

В предыдущем параграфе рассматривались упрощения,, вытекающие из существования в кристаллах осей симметрии. Теперь в новой матричной записи приведем соотношения для одноосного кристалла, в котором ось х\ служит осью сим метрии.

	Tt	c n		C12	C13	C14	0	0
	T2	C12		C22	023	C24	0	0
(9)	T3	CJ3		C23	C33	C34	0	0
(9)	n	CJ3		C23	C33	C34	0	0
	n	CJ4		C24	C34	C44	0	0
	Ts		0	0	0	0	c 55	056
	-Те,	.	0	0	0	0	0J6	066 _
(Ю)	01		011	012	013	ei 4	0	o '
(Ю)	1>2		0	0	0	0	025	026
	U>3.	_	0	0	0	0	035	03 6_

51		elt	0	0
52		012	0	0	Ex
		0i3	о	0
					E2
		el4	0	0
					L£.J
S6A		0	e25 e3$
		. 0	e26 036_
‘St
s 2		эХ1	0	0	Ex
Si
	4	О	э22	э23	E2
-54
•S’*		, 0	0	э33_ IEK

Sej

Запишем ее определяющие соотношения для кристалла клас са 6mm:

	Т1	cu	0J2	0J3	0	0	0		51	0	0		031
	Т2	012	0Ц	01 s	0	0	О		52	0	0		03i	%
(И)	Т3	013	C13	033	0	0	0		53	0	0		033	%
	Т4	0	0	0	044	0	0		54	0	013		0	E2
	Т3	0	0	0	0	044	О		Ss	0J 3	0		0	E3J
	Jc.	0	0	0	0	0
		0	0	0	0	О 066 _			E6_I	0	0		0
						О 066 _			E6_I	0	0		0
							*1	s r
	Г01	0	0	0	0	013	*1	S',		эа	0	0		V
	Г01	0	0	0	0	013		s.		эа	0	0		V
(12)	D 2	0	0	0	015	0		*->3	4	0 эх1		0		E2
(12)	D 2	0	0	0	015	0		SA	4	0 эх1		0		E2
	D3_	;31	03i	033	0	0		Si		0	0			E3-
								Si

- E6_

44 Гл. 1. Основы линейной теории пьеаоэлектричества

Изучим еще случай тригональной системы. Матрицы [cpq\ , [еАр] и [э,й] этой системы заданы формулами (33) предыду щего параграфа. Рассмотрим распространение плоской волны в направлении оси х\. Получаем следующий определитель системы уравнений:

	0		0	— э
— рс2	0		0	Сн
(25) А=	С\\—С\2	2	0	с1в
0	2	РС	0	с1в
0	Си		с44 — Рс2	0

Определитель А распадается на два определителя: Aj, Д2. Из первого определителя получаем

(26)

ci = (^II/ P)1^»

= сп “Ь е\\!э \\'

Здесь С\ связана с продольной волной. Из определителя Д2 получаем

(27) с2, з= 4^" (cii "Ь ^ с 44 ci2 ^ [(сп "Ь 2с44 с12)2

— 8 (с44си — c4lc12 2с^4)]1/2}.

Скорости с2, сз связаны с поперечной волной; однако они не связаны с пьезоэлектрическим эффектом.

Вернемся к уравнениям (18) и (21) для моноклинной си стемы:

(28)	^66^1, 22 +	е26ф, 22—
(29)	&2&Щ, 22	Э22ф, 22==

Рассмотрим вынужденные колебания в слое толщиной 2h, вызванные электрическим потенциалом

(30)	ф= d= %е~ш ,
приложенным на краях х2 =		zth. Кроме того, полагаем, что
края Х2 =	± h свободны от напряжений:
(31)	ff2i = TQ= {с^щ + е26ф), 2 = 0.
Подставляя в уравнения (28)		и (29)
(32)	2)е~ш ,	Ф =	Ф(х2) т - ^ ,
получаем
(33)	(д2 + г]2) [/, =		0,

	1.11. Уравнения и Соотношения teopuu Пьезоэлектричества			45
Решением этих уравнений являются функции
(35)	U{ =	A cos У)х2 +	Я sin г\х2,
(36)	Ф =	Dx{ -f С +	—

Краевое условие (30) показывает, что функция Ф(х2) не четна. Следовательно, А — С = 0. Краевое условие (30) при водит к равенству

(37)			Фо =	—	В sin ф +		Dh.
Учет краевого			условия	(31) приводит			к соотношению
(38)			^ ц В с о з ф			+ й ^ О .
Исключая из равенств (37) и (38) константу D, получим
постоянную В:				Фое2в
(39)	В =		-				Я = T)/z.

			с66Я cos Я — (<?2б/э2г) s‘n Я '
Из равенства			(37) определяется			постоянная D. В результате
перемещение щ принимает вид
(40)	их(х2, t) = —				е ш ще2б sin

				с66Я cos Я — (е2б/э_)2) sin Я
Теперь видно, что в случае
(41)			*еЯ =		(£06/е26)э 22Я
получаем явление неустойчивости						(резонанс!).
Рассмотрим тот же случай, но в предположении, что
имеем	дело	с	кристаллом		класса m моноклинной			системы
с плоскостью		симметрии		х^х3. В		случае одномерной		задачи,

в которой все функции зависят только от переменной х\ и времени t, имеют место следующие определяющие соотно шения:

Т\ — С\\ИХч1, T2 = cX2Ui%i, Т3 = С\3щ, I,

(42) Г 5 =	C5 5 W3 , I	"Г" ^56^2. 1 4~	е1бФ. 1 »
^	е15нз. 1 +	ei6H2 .1 — э	иф. \|,

—	1	4" с66м2. 1 4" е1бф. 1 »
D 2 =	e 2 i U X t X t	£>з = ез1 « 1 . 1 .

Подставляя эти функции в уравнения движения и в равен ство Di, i = 0, получим следующую, систему уравнений:

(43)		С\\Щ,и =	рмь
(44)	^5GM3. II	4" с 6 й и 2 . 11 4 “е1 бФ. 11 =	р#2>
(45)	С 5 5 Щ , ,,	+ С5СИ2, 11 4 - 615Ф. 11 =	Р«з»

(46)	el5u3i и 4-в\|б«2.п — Эмф. 1 1 = 0.

46 Га. i. Основы линейной теории Пьезоэлектричества

Первое из этих уравнений не зависит от остальных и пред* ставляет волну, распространяющуюся со скоростью с =* = (сц/р)1/2. В дальнейшем займемся системой уравнений (44) — (46). Решением уравнения (46) будет функция

(47)	<р =	*41 (е^щ +			е^и2) +		Щ~Ь о2х 1•
Подставляя функцию ф из формулы							(47) в уравнения (44)
и (45), получаем систему двух уравнений
(48)		Сбб«2. п +			с5бМз. п =		рй2,
(49)		с5би2, п +			С55Ц3, п =		рй3,
	2					2			BicCfC
где	ВIо	,	г55= С55+			6it	с56= с56+
	с6б = c66-f —					-г -,			—-— .
	^11					а11			^11
Рассмотрим гармонические возмущенные колебания
(60)	и28= «И *1) е",“<»					из = из(х \)е~Ш-
Подставляя (50) в уравнения (48) и (49), получим
(51)	(с66д2+			рю2) и\ + с^д\и\ =				0,
(62)	с^д\и\ +			(с55<Э2 +		Р©2) и\ =		0.
После исключения перемещения и2 или и3 имеем									«;) _ о.
(53)	[(г^а2+	Рю2) (г55а2+				р®2) -	г2^	] («;,
Положим теперь, что
(54)	и\ (Xj) =		u\eikx\			«3 (^j) = u\eikXl.

Подставляя (54) в (53), приходим к характеристическому уравнению

(55)	или	(рю2- кЧ№) (рю2- *2£в) -		с	=	О,
	или	(х —cm) (х -	ги) — г2в=	о,	я= р (ю г/&2).
Корнями этого уравнения будут
(56)	2 =	V2(^бв "Ь ^65) ^	V2((^66 "Ь ^5б)2		4 (д66С55		с\|б))^2“
		= 7а { с т “Ь ^5 5 ) =Ь 7г ( ( ^ 6 6				^5 5 ) 2	Н“ 4 ^ 6) 1/2-

Получились вещественные и к тому же положительные корни Хь %2. Следовательно,


(57)	£2 2=		Рш2А ,(2.
Общее решение уравнений			(53)	имеет вид
(58)	и\ (*,) «= A lelk,Xl +	A2elklX> +		A^e~ikiXl -f A4e~iktX\
(59)	u\ (*,) = Bxeik'x' +	B2eik^ +		Вге~1к'х' + B,{e - ikiX\

1.11. Уравнения и соотношения теории пьезоэлектричества

Подставляя (58) и (59) в систему уравнений (51), (52), по лучаем дополнительные соотношения между постоянными

В\, ..., В4 и А\, . . . , А4.

(р©?

^Сбб)

^56^1^1»

(р®2

^1^6б) Л ==

^60

(р®2 — ^ с66) Л2 =

съьЩВ2,

c^k\B4.

Таким

образом, в

решения

(58) и

(59)

входят

только че

тыре постоянные интегрирования.

Для дальнейших рассуждений удобно использовать ре

шения

уравнений

(53)

следующей

тригонометрической

форме:

(61)

и2*(*,) — С, cos k {x { +

С2 cos k2xl 4- C3 sin k{x{+

C4 sin k^cv

(62)

H* (A:,) =

Dj cos k{x { +

D2 cos k2x{ 4

D3 sin klxl-{-D4 sin k2xv

При этом должны выполняться соотношения

(рш2 -

k\cm) С, =

c^k\Dv

с56А*2£)з,

(63

(Р®2- ^ 6 б ) С2 =

% ^ 2*

(р®2- ^ б б ) C4 =

^ 2 D4*

Рассмотрим упругий слой толщиной 2h (—h ^ x i ^ h ) . На краях xi = ± h задаются условия

(«*)	< f\^ ± „ = ± v . T , ^ m±k- 0. r , u . * » - o .

Первое краевое условие указывает, что функция <р антисим метрична относительно плоскости x i — 0. То же относится к функциям м2, щ, на что указывают уравнения'(44) и (45). Следовательно,

(65)	и\ = С3 sin kxxx4	С4 sin
(66)	и\ — D9 sin klxl 4	D4 sin kpep

Исходя из вида этих решений и принимая во внимание соотношения (42) 4, (42) 5 и краевое условие (64), приходим к системе трех неоднородных алгебраических уравнений. Из решения этой системы уравнений, принимая во внимание со отношения (63), определяют постоянные Cj, С3, С4 и £>3, D4. Знание этих постоянных позволяет затем определить пере мещения «2, ыз и потенциал ср. Приравнивание к нулю опре делителя системы однородных уравнений (70) приводит к уравнению, из которого соответственно определяются частоты ©а (а = 1, 2, ...) в случае резонанса.

Ряд случаев, относящихся к собственным и возмущенным колебаниям, решен Тирстеном. Распространение поверхност ных волн Рэлея обсуждается в работах [4, 5, 14, 15, 50, 5Ц.

48Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

1.12.ТЕОРИЯ ТЕРМОПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

ИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ f33l

Впредыдущем анализе предполагалось, что мы имеем дело с адиабатическим процессом. В настоящем параграфе мы освободимся от этого ограничения. Предположим, что внутри тела действуют источники тепла интенсивности W, отнесенной к единице объема и к единице времени. Через по верхность дВ в тело проникает поток тепла q, отнесенный к единице площади поверхности и к единице времени. Под влиянием нагрузок, воздействия электрического поля и на

грева	тела возникает прирост	температуры 0 =	Г — Т0, где
Т > 0	является действительной	температурой, а	Т0— темпе

ратурой естественного состояния по шкале Кельвина. Напо мним, что естественное состояние характеризуется отсут ствием деформаций и напряжений.

Отправным пунктом наших рассуждений будет уравне ние баланса энергии, дополненное температурным членом:

(1) f t J (ypO iоi + U)dv =	$ (Xtv, + E,D, +	W) dv +
в	в
	+	\ (p&i — qtnt) da
и неравенство Клаузиуса — Дюгема		dB
и неравенство Клаузиуса — Дюгема

Уравнение баланса энергии дополнено электродинамической

мощностью Е-D, притоком				тепла q через поверхность	тела
и	энергией	W, вызванной		генерацией тепла внутри	тела.
(В неравенстве (2) S означает энтропию, отнесенную к еди
нице объема тела.)
	Выражая в (1)		контактные силы через напряжения		(pi —
— Ojini) и преобразовывая				поверхностные интегралы в объ
емные, приходим к равенству
(10	^ 0 dv =	^	j + Xi — pt)j) Vi + GjiVi, j -f-

вв

TT				+ w	- g t . i + E jb t]dv.
Используя уравнение движения
(3)		of/*, / +	X i =	p v i
и симметрию тензора напряжений				(<т/,-=	а,-/), упростим ра
венство	(К) к виду
(1")	$ 0 dv =	5 (о„г„ +	Г	+ £,£>,) dv,
	9	9

	1.12. Теория термопьезоэлектричества		49
Это равенство	справедливо	для произвольного' объема	тела,
и потому справедливо локальное уравнение
(4)	U = Gijbij +	EiDi — qu \| + W.
В дальнейшем введем свободную энергию F и электрическую
энтальпию Я:
(5)	F — U — ST,	Н — F — EiDi

и представим уравнение баланса энергии (4) в терминах сво бодной энергии и электрической энтальпии. Исключая функ ции U и F из равенств (4) и (5), приходим к уравнению баланса энергии в новой форме

(6)Я = ОцВЧ - DtEt - ST - ST - qu t + W.

Исключая	из неравенства	(2) и равенства (6) источник теп
ла, приходим к неравенству
(7)	+
Положим, что энтальпия		Я	есть функция переменных 8»•/, Ei,
Т, Т, г. Я =	Я (et-/, Eit Т, Т, ,).		Тогда

Комбинируя (7) и (8), найдем
(9)	Т -
дН .	q.T	,
____ гр	r I	I t
дТ , 1	Т
»»

Это неравенство должно выполняться при любых скоростях. Следовательно, должны отсутствовать коэффициенты при этих переменных. Поэтому

( 10)	D, = -	дН	дН	дН	__
		dEt ’	дТ '	дТ	t

Таким образом, энтальпия Я не зависит от градиента тем пературы. В (9) осталось неравенство

(11)	- q tT ,i/T > 0,
которое выполнимо, если принять, что
(12)	Qi — — ЬцТ,1.
Это — закон Фурье для	анизотропных тел. Величина Q =
•= —qiT^ i должна быть	положительно определенной квадра

50	Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
тичной формой:
((13)	Q = *i/7\ iT,}.

При этом должны выполняться ограничения (вытекающие из теоремы Сильвестра) для коэффициентов теплопроводности

k i j — kji.

Разложим электрическую энтальпию Я в ряд Тейлора в окрестности естественного состояния (е,-/ = 0, Я,- = 0, Г = 7о). Имеем, следовательно,

(14)	Н (е„, Е„ Т) — Н (0,				0, Г„) +	ое11		е„ +
						ое11
,	д н (0, 0 , Т о ) D		,	а Я ( 0, 0 , Г о ) о		,	I f	д 2Н ( 0 , О, Г р )	Bi j e kl +
+	--------- Щ-----------Ei + ------------ёт----------- 0 +					т	{	d e i j h t	Bi j e kl +
,	д2Я(0, О, Г о ) с. е			,	д 2Н (0, 0, Т о )	о2	,	о д 2Н (0, 0, Г 0)	^
*		д Е . д Е }			д т 2	0		d e { k d E i	E l B l k ~ ^
,	о	а2Я(0,0,Го) _	Q		п д 2Н (0, 0, Г0)		п	а ) ,
+	2	аГГаг— е*7° + 2 — аяТаг—						—

Ограничимся билинейными и квадратичными членами. Вводя обозначения

ая (о, о, Го) _		„	ая (о, о, г0) _		Л	ая (о, о, г0) = 5		о>
деа	~	ф	dEi		*’		дТ
	д2н (о, о, г0)		-	а2я (о, о, г0)
№	dea dhi		~ Ci]kh	dEi dEi		_ Э //’
№		а2я (о, о, Гр) _			се
		а2я (о, о, Гр) _			се
а2я(о, о, г0)			аг2		г0 •
а2я(о, о, г0)				а2я (о, о, г0)
	a e yA a £ f			д ъ ц д Т		“	Y i /»
		а2я (о, о, Го) _
			dEi дт	~~	ё1г
представим	(14) в виде

((14") Я = Я0 + ацЪц + с{Е{ + 5 0Э + у Cijkieijeki +


+	у э ijEiEj — ?^\|г-62 ~		eiik?ikEi — Y	gtEfi*
.'Используя уравнения (10), получим
ац ~		+ Ciikfiki ~~ Yifi — екцЕь>
(16)	^s=s50 + Vijbij +		+ giEl*
E>i =		Ci-\- elkl&ki + gfi + SikEkt

Здесь следует принять ац — 0, с,- = 0, поскольку мы считали, что энтальпия разлагается в окрестности естественногр gg*

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.2023675.39 Кб0Электромагнетизм..pdf
#
20.11.20235.05 Mб1Электромагнитное поле..pdf
#
20.11.20236.19 Mб4Электромагнитные волны в технике связи..pdf
#
20.11.202310.48 Mб9Электромагнитные муфты скольжения..pdf
#
20.11.202320.54 Mб3Электромагнитные переходные процессы в электрических системах..pdf
#
20.11.202311.93 Mб7Электромагнитные эффекты в твердых телах..pdf
#
20.11.202336.33 Mб12Электромеханика. Трансформаторы. Электрические машины.pdf
#
20.11.202313.11 Mб6Электромеханические аппараты автоматики..pdf
#
20.11.202311.57 Mб33Электромонтер по обслуживанию буровых установок..pdf
#
20.11.202315.05 Mб3Электроника электрофизические основы, микросхемотехника, приборы и устройства..pdf
#
20.11.20232.45 Mб2Электроника и микропроцессорная техника..pdf