книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf3.6. Двумерные задачи теории магнитотермоупругости |
151 |
Связь дилатации с электромагнитным полем определяется величиной эз. Нетрудно проверить, используя уравнения
(5) 1, г, что справедливо уравнение
(9) |
D 2Q = |
— |
|
где |
|
рс2 |
|
|
|
|
|
(10) |
а = д1и2 - д ги1, |
n 2 = r t - j d i |
= |
Функция Q представляет собой поворот вокруг оси хз. Оче видно, что распространение направленной волны Q не воз мущено температурным и электромагнитным полями.
Разложим векторы U = ( MI, и2, 0) и X = (Xi,X2>0) на по тенциальную и связанную с вращением части:
|
«I— ф - W |
и2= д зФ + |
д ^ , |
(11) |
= р (а ,« -— а 2%), |
x 2 = p ( ^ |
+ 5 lX). |
Вводя (11). в систему уравнений (5), приходим к системе трех волновых уравнений, из которых два между собой свя заны:
( 12) |
□ i0 —/^0 = |
----Т1 Ъ, |
|
1 |
1 |
$ |
|
|
D Q - r \ d iV2lO = |
- £ . |
|
(13) |
|
|
Со |
|
|
|
|
Исключая температуру из уравнений (12), получим волновое уравнение
(U)( d ^ - iy n .a .v ; ) ® —
X С|
Это уравнение описывает распространение продольной волны, тогда как уравнение (13) определяет распространение попе речной волны. Продольная волна возмущена обоими поля ми— электромагнитным и температурным. Поперечная волна этим возбуждениям не подвержена. Заметим, что вид вол нового уравнения (14) аналогичен волновому уравнению тер моупругости. Уравнение термоупругости получим при ао-*-0.
Знание функций Ф, XF позволяет определить остальные величины электромагнитного и температурного полей. Темпе ратуру определим из уравнения (12) i:
1
152 |
|
|
Гл. 3 Теория магнитоупругости |
|||
а величины b, j, Е — по формулам |
|
|||||
(16) |
b = rot(uX B 0)» |
pej = rotb, Е = |
— uXB°* |
|||
Отсюда последовательно получим |
|
|||||
b = |
(0, 0, |
- |
Bfflp), |
\ie] = |
( - В\д2У2Ф, В р{ф >, 0), |
|
U7) |
Е = |
( - |
В» (д2Ф + 3,4'), |
В° (3,Ф - |
д.2У), 0). |
|
Рассмотрим особенно простой пример, относящийся к дей ствию линейного источника тепла в неограниченном упругом пространстве. Пусть вдоль оси л'з действует источник тепла
Q(r, t) = Q0e - iatb{r)/{2nr),
Здесь мы имеем дело с осесимметричной задачей. В этом случае уравнение (14) принимает вид
|
|
|
|
|
|
Ф = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а (О |
|
|
|
|
|
|
1JL |
|
|
|
2ЯГ * |
|
где |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г.дг • |
|
|
|
|
|
||
Применяя интегральное преобразование Гаикеля, найдем ре |
|
|||||||||
шение уравнения |
(18) в замкнутом виде: |
г |
г |
щ |
- |
|||||
(1« |
|
|
ф |
( '. |
О = |
^ |
||||
где ki, k2 — корни уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(20) |
6* - |
& (&1 + |
Я(1 + эг)) + qb\ = 0, |
|
|
|
||||
причем |
= CO/ C L |
э г = т \ т хк , |
q = |
m f % . |
Необходимо взять ве |
|
||||
щественную часть уравнения |
(19). Температуру определим из |
|
||||||||
уравнения |
(15) (при'0 = |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(211:> « - |
|
[(<ч - |
*э w (V) - |
(«? - |
Ч) НР(*/)]• |
|
||||
Рассмотрим еще распространение волн в неограниченном упругом пространстве с конечной электропроводностью (а^гО). Движение в такой среде описывается системой уравнений
pV2u + |
(Я + и) grad div u + -f—(rot b) XB° = pu + ygradO* |
|
l*e |
(22) |
(V2 — $dt) b = — p rot (u X B°)> |
3.6. Двумерные задачи теории магнитотермоупругости |
153 |
В случае начальной магнитной индукции Ви= (О, О, и в случае плоского деформированного состояния u = («i,W2, 0)
уравнения (22) |
примут вид |
|
|||
|
HVjtt, + |
(Я + |
р) |
— Y^!0 — “ |
= Р«1, |
(23) |
^ V‘“ 2 + |
(Я + |
^ |
д 2е ~ ^ 2 0 - ^ |
д 2Ь3 + ^ 2 = Р“2* |
(у ? -р а ,)й 8-р д 5 э , 6, = ^ = |
о, |
|
( v f - T |
a<)e - ^ = - T - |
|
Подставляя в уравнение |
(23) представление |
(11), приходим |
к системе четырех уравнений, из которых три связаны между собой:
|
|
|
СЬФ — тб —-^-63= |
----у О, |
||
|
|
|
|
|
в 3 |
с, |
(24) |
|
|
Dfi3 - |
РВ’ЗД Ф = |
О, |
|
|
|
|
|
Д 0 - ч а (у = Ф = - |- , |
||
где |
Dj = Vj — pd*, |
D — ^\ — (1/х) ди |
а четвертое является не |
|||
зависящим |
от |
(24) |
уравнением: |
|
||
(25) |
|
|
|
□зЧ'= - ( ! / < $ |
ОС- |
|
Исключая |
из |
уравнения |
(24) функции 63 и 0, получим для |
|||
потенциала Ф следующее уравнение: |
|
|||||
(26) |
[ОВ, □ , - |
-i- 3,V2(9fl, + э30)]Ф=-----( 1/cf) DDfi-{mh£lDfi, |
||||
где |
|
э = т1/тс, э = |
риэ3, m — |
|||
Знание функции Ф позволяет определить функции 63 и 0 из уравнений (24)2, 3. Заметим, что эти функции удовлетворяют уравнению типа (26) с иной правой частью. Приводим эти уравнения:
(27) [DD, □, —4 а,у? (эО, + V»)] 6=
— - (О,□, - s,v?pa,) Q- 4-a,v;D,6,
И |
'"'l |
(28) [ D B ,D , - |
+ э30 ) ] 63 = |
— |
Q + o ^ ) - |
154 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
Значительное упрощение результатов получается при отсут ствии источника тепла и для адиабатического процесса. В этом случае температуру найдем из уравнения
(29) |
0 = — цке = — т]иУ?Ф. |
Учитывая (29), получим из (24) систему связанных урав нений
(30) |
□ , Ф - З з - £ ------ |
|
|
|
|
лз |
с\ |
|
|
I |
0 Л - Р 6 З Д ф = о, |
|
|
|
где |
cf = c?( 1 + э), |
э3= 1 5 ^ ., |
□ = |
v2 — 4" д1 |
|
|
PPecf |
1 |
с\ * |
Исключая из уравнений (30) 2 функцию Ьз, имеем |
||||
(31) |
(Я Д , - |
p33^ v 2) ф = - |
-L Dfi. |
|
Аналогично, исключая из (30)1|2 функцию Ф, найдем
(32)
Обе волны — продольная Ф ц волна Ьз — затухают и под вержены дисперсии.
ЛИТЕРАТУРА
1. |
Alers G. A., Fleury P. A. Modification of the velocity of sound in me |
||
2. |
tals by magnetic fields. — Phys. Rev., 1963, 129, 6, p. 2435. |
||
Askar A., Lee P. C. Y., Cukmak A. S. The effect of surface curvature |
|||
|
and discontinuity of the surface |
energy density and other induced fields |
|
|
in elastic |
dielectrics with polarisation gradient. — Int. J. Solids and Struc |
|
3. |
tures, 1971, 7, p. 523. |
104. 2, p. 300. |
|
Banos A., |
Jr.— Phys. Rev., 1956, |
||
4. |
Bleustein |
J. L. — Applied Physics |
Letters, 1968, 13, p. 412. |
5.Bleustein J. L. — J. Acoust. Soc. America, 1969, 45, p. 614.
6.Carrier G P. The thermal stress and body force problem of infinite ortho tropic solid. — Quart. Appl. Math., 1944.
7. Chadwick P. Ninth. Int. Congr., Appl. Mech., 1957, 7, p. 143.
8.Chadwick P. The moelasticity. The dynamical theory. Rozdzial w monografii: Progress in Solid Mechanics, Amsterdam, 1960.
9.Chadwick P., Seet L. T. C. Wave propagation in a transversely isotropic
heatconducting elastic material. — Mathematika, 1970, 17, p. 255.
10.Chadwick P., Sneddon J. N. Plane waves in an elastic solid conducting heat. — J. Mech. and Phys. Solids, 1958, 6.
11.Chowdhury K. L., Epstein M., Glockner P. G. On the thermodynamics of
nonlinear elastic dielectrics. — Department |
Report No. |
119. Department |
of Mechanical Engineering, The University |
of Calgary, |
March 1978. |
12.Chowdhury K. L., Glockner P. G. On thermoelastic dielectrics. — Int. J. Solids and Structures, 1977, 13, p. 1173—1182.
13.Curie J;, Curie P. — Compt. rend., 1881, 93, p. 1137.
14. Drenkov P. M., Long С. E. — Acta Mechanica, 1966, 3, p. 13.
15.Drumheller D. S., Kalnins A. — J. Acoust. Soc. America, 1970, 47, p. 1343.
16.Dubas P. Calcul numerique des plaques et des parois mince, Zurich, 1955.
17.Dunkin J. W., Eringen A. C. On the propagation of waves in an electro
magnetic elastic solid. — J. Engn. Sci., 1963, 1, 4, p. 461.
18. Germer P. IT., Mac Rae |
A. W., Hartman C. O. (110) |
Nickel surface.— |
J. Appl., 1961, 32, p. 2432. |
reciprocita nei fenomeni non |
stazionari.— Attl. |
19. Graffi D. Sui teoremi di |
||
Acad. Sci. Bologna, 1963, |
10, ser. 11, p. 33. |
|
20. Hu Hai-Chang. On the threedimensional problems of the theory of elas ticity of a transversally isotropic body. — Acta Sci. Slnica, 1953, 2,
p. 2.
21.Ignaczak J. (частное сообщение).
22.Ionescu-Cazimir V. Problem of linear coupled thermoelasticity, I.— Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Techn., 1964, 12, p. 9.
23. |
Kaliski S., Petykiewicz J. Dynamical equations |
of motion coupled with |
|
|
the field of temperature and resolving functions for elastic and inelastic |
||
|
anisotropic bodies |
in the magnetic fields. — Proc. Vibr. Problem, 1960, 1, |
|
|
4, p. 3. |
|
|
24. |
Kaliski S., Petykiewicz J. Equations of motion coupled with the Held of |
||
|
temperature in a magnetic field involving mechanical and electromagne |
||
|
tic relaxations for |
anisotropic bodies. — Proc. |
Vibr. Probl., 1960,1,4, |
p.17.
25.Kayme J. J. Conductivity and viscosity effects on wave propagation in piezoelectric crystals. — J. Acoust. Soc. Amer., 1954, 26, 6, p. (Ю0.
156 |
Литература |
|
|
|
26. Knopofi |
L. The interaction between elastic wave motions |
and |
a |
magne |
tic field |
in electrital conductors. — J. Geophys. Res., 1955, |
60, |
4, |
p. 441. |
27.Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Электродинамика сплошных сред. — M.s Физматгиз, 1959.
28.Lippmann H. G. — Ann. Chim., 1881, 24, p. 145.
29.Mead C. A. Electron transport mechanisms in thin insulating films. —
30. |
Phys. Rev., 1962, 128, p. 2088. |
|
Mead C. A. Electron transport in thin insulating films.—Proc. Int. Symp. |
||
|
on Basis Problems in Thin Film Physics, Vandenhoeck & Ruprecht, Got |
|
31. |
tingen, 1966, S. 674. |
|
Mindlin R. D. Continuum and lattice theories of influence of electrome |
||
|
chanical coupling on capacitance of thin dielectrics |
films. — Int. J. So |
32. |
lids and Structures, 1969, 5, p. 1197. |
lattice dynamics.— |
Mindlin R. D, Elasticity, piezoelectricity and crystal |
||
J. Elasticity, 1972, 2, 4, p. 217.
33.Mindlin R. D. On the equations of motion piezoelectric crystals. Problem of Continuum Mechanics, SIAM Philadelphia, Pensylwania, 1961.
34. Mindlin |
R. D Polarization |
gradient in elastic dielectrics. — Int. J. So |
lids and |
Structures, 1968, 4, |
p. 637. |
35.Moisil Gr. C. Matricule asociate sistemelor de ecuatil cu derivate partiale. — Introduces in Studiul Cercetanilor lui I. N. Lopatinski, Edit. Academici R. P. R., Bucaresti, 1950.
36. |
Mossakowska Z., Nowacki W. |
Thermal stresses in transversally isotro |
|||
37. |
pic bodies. — Arch. Mech. Stos., |
1953, 10, p. 4. |
|
|
|
Mossakowski J. The state of stress and displacement in a thin anisotro |
|||||
|
pic plate due to a concentrated |
source of heat. — Arch. Mech. Stos., 1957, |
|||
38. |
9, 5, p. 595. |
krystalow. — Warszawa: |
PWN, |
1962. |
|
Ney J. F. Wlasnosci fizyczne |
|||||
39. |
Nowacki J. P., Glockner P. G. Some dynamical probleme |
of thermoelas |
|||
40. |
tic dielectrics. — Int. J. Solids and Structures, 1979, 15, |
p. |
183. |
|
|
Nowacki W. A reciprocity theorem for coupled mechanical and thermo |
|||||
|
electric fields in piezoelectric |
crystals. — Proc. Vibr. Probl., |
1965, 6, 1, |
||
p.3.
41.Nowacki W. Teoria sprgzystosci. — Warszawa: PWN, 1970.
42. Nowacki W. The determining of stresses and deformations, in transversally isotropic elastic bodies. — Arch. Mech. Stos., 1952, 4, p. 5.
43.Parkus H. Magnetothermoelasticity. — Wien: CISM Unide, Springer-Ver- lag, 1972.
44.Parkus H. Ober die Erweiterung des Hamilton’schen Prinzipes auf ther-
moelastische Vorgange. — Wien: Federhofer-Girkmann Festschrift, Verlag F. Deutricks, 1950.
45.Schwartz J. Solutions of the equation of equilibrium of elastic dielectrics, stress functions, concentrated force, surface energy. — Int. J. Solids and Structures, 1969, 5, p. 1209.
46. Sommerfeld A. Electrodynamics. — New York: Academic Press, 1952. [Имеется перевод с нем. изд.: Зоммерфельд А. Электродинамика. — М.: ИЛ, 1958.]
47.Sternberg Е., Mac Dowell Е. L. On the steady-state thermo-elastic prob lem for the half-space. — Quart. Appl. Math., 1957.
48.Stratton J. A. Electromagnetic theory.— New York: McGraw-Hill, 1941.
49.Teodorescu P. P. Aspura problemei plane a elasticitati unor corpuri anisotrope. — Com. Acad. R. P. P., 1958, 8, 11, p. 1119.
50.Tiersten H. F. — J. Acoust. Soc. America, 1963, 35, p. 234.
51.Tiersten H. F. Linear piezoelectric plate vibrations. — New York: Plenum Press, 1968.
52.Tiersten H. F. The radiation and confinement of electromagnetic energy accompanying the oscillations of piezoelectric crystal plates. — Rec. Ad vances in Engineering Science, Part 1, ed. A. C. Eringen. — New York: Gordon and Breach Science Publ., 1970.
|
Литература |
157 |
63. Tosi М. Р. — IV Surface |
Energy Solid State |
Physics, V. 16, p. 92. |
New York: Academic Press, |
1964. |
|
54.Toupin R. A. A dynamical theory of elastic dielectrics. — Int. J. Engng. Sci., 1963, 1, 1, p. 101.
55. Toupin R. A. The elastic dielectrics.— J. Rat. Mech. and Analysis. 1956, 5, p. 849.
56. Tremmel E. Ober die Anwendung der Plattentheorie zur Bestimmung von Warmespannungsfeldern. — Osterr. Ing.-Archiv, 1957, 11, S. 155.
57.Voigt W. Lehrbuch der Kristall-Physik. — Leipzig: Teubner, 1910.
58.Воларович M. П., Соболев Г. А. Геофизический метод разведки квар ца. — М.: Наука, 1969. ■
59. Green А. Е., Rivlin R. S. — Arch. Rat. |
Mech. and Analysis, 1964, 17, |
|
p. 113. |
Love’s waves in |
elastic isotropic dielectrics. — |
60. Majorkowska-Knap K. |
||
Bull. Acad. Polon. Sci., |
Serie Sci. Techn., |
1982. |
61.Majorkowska-Knap K. Surface waves in piezoelectric materials of classe 42m. — Bull Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 1982.
62.Nowacki J. P., Glockner P. G. Some dynamical problems of thermo-ela stic dielectrics. — Int. J. Solids Mechanics, 1979, 15, p. 183—191.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика |
|
б |
Предисловие |
|
7 |
Глава 1. Основы линейной |
теориипьезоэлектричества |
9 |
1.1. В в еден и е.......................................................... |
|
|
1.2. Электромагнитное |
поле . |
. |
1.3. Уравнение баланса |
энергии . |
.. |
1.4. Определяющие соотнош ения................................................................. |
17 |
|
1.5.Дифференциальные уравнения теории пьезоэлектричества . . 19
1.6.Принцип виртуальных работ. Единственность решений . . . 20
1.7. |
Принцип |
Гам ильтона............................................................................... |
24 |
1.8. |
Теорема |
взаимности р а б о т ..................................................................... |
26 |
1.9.Ортогональность собственных колебаний пьезоэлектриков . . 29
1.10.Материальныепостоянные теориипьезоэлектричества . . . 30
1.11. Уравнения и соотношения теории пьезоэлектричества в новой |
|
з а п и с и ............................................................................................................ |
41 |
1.12. Теория термопьезоэлектричества. |
Основные соотношения и |
дифференциальные уравнения.................................................................. |
48 |
1.13.Принцип виртуальных работ. Единственность решений диф ференциальных уравнений теории термопьезоэлектричества . 55
1.14.Принцип Гамильтона в теории термопьезоэлектричества . . 59
1.15.Теорема взаимности работ для связанной теории термопьезо
электричества ............................................................................................. |
. . . |
61 |
1.16. Термоупругость анизотропных тел ............................... ..... |
64 |
|
1.17. Пространственные задачи термоупругости анизотропных тел . |
68 |
|
1.18. Плоские задачи анизотропной термоупругости............................... |
|
72 |
1.19. Связанность механических и электромагнитных волн . . . . |
74 |
|
Глава 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина |
79 |
|
2.1. В в ед ен и е ......................................................................................................... |
|
79 |
2.2. Учет градиента поляризации в линейной теории |
пьезоэлек |
|
тричества ....................................................................................................... |
|
86 |
2.3. Изотропные диэлектрики......................................................................... |
88 |
|
2.4. Фундаментальные |
решения дифференциальных |
уравнений |
Миндлина .................................................................................................. |
|
92 |
2.5. Монохроматические плоские волны ....................................................... |
97 |
|
2.6. Поверхностные волны Р э л е я ................................................................... |
99 |
|
2.7. Основная энергетическая теорема и теорема взаимности ра |
||
бот ................................................................................................................ |
|
103 |
2.8. Поверхностная энергия деформации и поляризации |
. . . . 106 |
|
2.9. Аномалия Мида и ее объяснение....................................................... |
111 |
|
2.10. Термоупругость |
диэлектриков........................................................... |
114 |
Глава 3. Теория магнитоупругости............................................................. |
126 |
|
3.1. Уравнения поля и определяющие уравнения теории магнито
упругости ......................................... ......................................................... |
*26 |
Оглавление |
159 |
3.2. Линеаризация соотношении теории магиигоупругости . . . . |
132 |
3.3 Основные уравнения и соотношения теории магнитоупругости |
134 |
3.4. Распространение плоской магнитоупругой волны............................ |
140 |
3.5. Распространение плоской магнитотермоупругой волны . . . |
146 |
3.6. Двумерные задачи теории магнитоупругости................................ |
149 |
Л и т ер а т у р а ....................................................................................................... |
155 |
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее офор* млении, качестве перевода и другие просим при сылать по адресу: 129820, Москва, 1-й Рижский пер,, д. 2, издательство «Мир».
Витольд НовацкиА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Старший научный редактор П. Я. Корсоюцкая Младший научный редактор Т. А. Денисова Художник А. В. Шипов Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор И. М. Кренделева Корректор М. А. Смириоп
ИБ Кв 5165
Сдано в набор 13.02.85. Подписано к печати 26.09.85. Формат 60X90711» Бумага ки. жури. Печать высокая. Гарнитура латинская. Объем 5 бум. л. Уел. псч. л. 10,00. Уел. кр.-отт. 10,38. Уч,*изд. л. 8,61. Изд.
Кя 1/3596. Тираж 3100 экэ. Зак. 516. Цена 1 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография Кя 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном ко« иитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.