книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

Подставляя (3) в (1), приходим к уравнениям в перемеще­ ниях

Предположим, что b3 = 0. Это предположение позволяет при­ нять, что £ 3 = 0, Пз = 0 (см. уравнения (3) i и (4)3). Система уравнений (4) сводится к двум уравнениям (4)i, 2- Для мо­ нохроматической волны, перемещающейся в направлении х\ с фазовой скоростью v — ®/k, т. е. для

Система уравнений (6) будет непротиворечивой, если при­ равняем нулю ее определитель. Тогда получим

(7)

Здесь введены следующие обозначения:

(8)

Из равенства нулю определителя системы уравнений (6) сле­ дует уравнение

В этом случае мы имеем дело с волнами щ, иг, не возму­ щенными электромагнитным полем. Продольная волна и\ распространяется со скоростью с\, поперечная волна иг — со скоростью с2.

б) Пусть B i= 0 , ВгФО. Уравнение (1) при Э 1= 0 при­ водится к виду

где Д = [of (1 + э,) + сг|(1 + э2)]2 — 4а2а2(1 + э,э2) =

“ [0?(1 + »i) - (1 + э,)]2 + 4а2<г2 (э, + э2) > 0.

Ясно, что k\ > 0, k\ > 0 и корни биквадратного уравнения

вещественны.

ляются функциями параметра о. Следовательно, мы имеем дело с волнами, подвергающимися дисперсии. Подставляя в уравнение (4)i решения (16) (при «з = 0, Вз = 0), найдем соотношения между постоянными Д В, С, D и А, Б, С, D. Знание функций и\, «2 дает возможность определить век­ тор b по формуле (3). Из уравнений электромагнитного поля (при а-*~оо) определим векторы j и Е:

(17)цЛ = (°> 0, дф2), Е = -—(0, 0, й1В2-~й2В1).

Рассмотрим теперь упругую среду с реальной проводи­ мостью. Уравнения магнитоупругости для этой среды имеют вид

(18) цу2и + (А + ц) grad div u + 77—(rot b) X B° = pit,

t*e

Как и раньше, рассмотрим плоскую волну, распространяю­ щуюся в направлении оси х\. Из (18) и (19) получаем си­ стему шести уравнений

144 Гл. 3. Теория магнитоупругости

фигурируют функции ии «2, Ь?.

Для монохроматической волны, перемещающейся в направ­ лении оси х\, примем

(23)(«р м2, 62) = («}, и°2, Ь1)ецкх'~^1

Подставляя (23) в уравнения (22), получим систему трех однородных /уравнений. Эта система будет непротиворечива, если определитель будет равен нулю. Получим тогда

Здесь введены те же обозначения, которые применялись в случае идеального проводника. Кроме того, введено обозна­

относятся к осцилляции электромагнитного поля, не свя­ занного с полем деформации (и = (0,0,0)). Уравнение k2 — a2= 0 связано с распространением продольной волны,

не возмущенной электромагнитной волной. Наконец, условие k2 — o l = 0 характеризует распространение поперечной вол­

ны, не возмущенной электромагнитным полем.

б) Рассмотрим случай В\ = 0 , Вчф 0. Характеристическое уравнение (25) упрощается до следующего вида:

(27) (62 — ц2) jfc4v — k2(ojv + / (1 + э2)) + шЦ = 0.

Корни уравнения (32) будут комплексными, и, следовательно, волны «2 и Ь2 затухают, так как они нелинейно зависят от частоты © и также рассеиваются. Величины ца и дц опреде­ лим из уравнения (29). Решения м2, Ъ2 имеют вид, анало­ гичный (30).

г) В случае В \ф 0 , В2¥=0 имеем дело со связанными волнами щ, кг, Ь2. Фазовые скорости »i, v2, v$ и коэффи­

3.5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОЙ ВОЛНЫ

Рассмотрим среду, являющуюся идеальным электропро­ водником. В нашем распоряжении имеются следующие урав­ нения магнитотермоупругости:

Пусть плоская монохроматическая волна перемещается в на­ правлении оси х\. Из уравнений (1) — (3) в предположении,

Рассмотрим периодическую плоскую волну, перемещающуюся в направлении оси х\ с фазовой скоростью v = (p/k:

Подставляя (7) в уравнения (4)— (6), приходим к системе трех алгебраических уравнений

где

Корни этого уравнения зависят от двух параметров: % и э. Постоянная зависит от механических и температурных свойств тела, х зависит от частоты со; со* является величиной, характеризующей материал. Частота колебаний со ограничена сверху значением

(19)

Эта величина взята из спектра Дебая для продольных волн. В формуле (19) М означает атомную массу упругого мате­ риала, a (ci)s является скоростью продольной волны, изме­ ренной в адиабатических условиях. В экспериментальных ис­ следованиях с использованием ультразвуковой техники имеем

и, следовательно, для механических колебаний следует при­ нять х = ®/©#<С 1. Специальное обсуждение корней ku k2 проведено в рабочах Чедвика и СнедДона (8, 10].

Поперечная волна и2 не возмущена температурным и элек­ тромагнитным полями; продольная волна щ возмущена обои­ ми упомянутыми полями. Фазовую скорость v = (й/k распро­ странения продольной магнитотермоупругой волны получим из уравнения

Таким образом, оно аналогично ранее рассмотренному урав­

Мы имеем дело с поперечной волной и2, связанной с элек­ тромагнитным полем. Фазовая скорость этой волны опреде­ ляется формулой

Продольная волна щ является связанной термоупругой вол­ ной, обсужденной уже в п. (а) (см. уравнение (15)).

г) В общем случае В^ф 0, В2Ф 0 мы имеем дело с уравнением (13). Обсуждение этого уравнения сложно. За­ метим, однако, что обе волны — продольная и поперечная — связаны с электромагнитным и температурным полями. Эти волны затухают и подвержены дисперсии.

3.6. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТИ

Рассмотрим сначала среду с идеальной электропроводи­ мостью. Движение такой среды описывается системой диффе­ ренциальных уравнений

Положим, что вектор магнитной индукции В0 направлен па­ раллельно оси Л'з, т. е. В °= (0 , 0, BJ). При этом предполо­

жении уравнение (1) с учетом соотношения (3) получается

К уравнениям (4) следует добавить уравнение теплопровод­ ности (2). Система уравнений (4) симметрична относительно главной диагонали, а его структура аналогична системе уравнений для анизотропного тела с поперечной изотропией. Эта анизотропная структура исчезает при ао~^0. При даль­ нейшем рассмотрении ограничимся двумерной задачей, по­ лагая, что все функции не зависят от переменной *3. В таком случае система уравнений распадается на две независимые системы:

pVftt, + (Я + ц + а?0р) дхе + Хх= ydfi + рйх,

Последнее уравнение не возмущено электромагнитным полем и не будет нас интересовать в дальнейшем. Уравнения (5) отвечают состоянию плоской деформации и = {щ,и2, 0) и при

Яо-^0 переходят в уравнения связанной термоупругости. Продифференцируем уравнение (5)i по хи уравнение (5)г по Хг и полученные уравнения вычтем одно из другого. Та­ ким образом, получим волновое уравнение для дилатации

Уравнение (7) связано с уравнением теплопроводности (5)з. Исключая температуру из уравнений (5)3 и (7), придем к сложному волновому уравнению