книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

Здесь |<р,,|— скачок функции <p,t- на поверхности дВ. Заметим, что в объемный интеграл входят виртуальные приращения Ьш, 6Pi, бф, а в поверхностный интеграл — только виртуаль­ ные члены бщ и бф. Ввиду произвольности виртуальных при­ ращений из (15) получаем следующие уравнения Эйлера;

Здесь уравнение (16) представляет собой уравнение движе­

ваемые естественные краевые условия, получаемые из поверх­ ностного интеграла в выражении (15):

Условие (20) представляет заданные нагрузки на дВ, а уело* вне (21) — заданные поверхностные заряды на дВ. Там, где заданы перемещения, 6ш = 0, а там, где задан электрический потенциал, бф = 0. Заметим, что краевое условие не связано с уравнением (17). Это следует из того, что в поверхностном интеграле, входящем в уравнение баланса (15), отсутствует член бPi.

82 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

Здесь cfjkl — коэффициенты упругой податливости при по­ стоянных Pf, aztj — коэффициенты поляризации при постоян­

ной деформации в,у. Используя соотношения (9), приходим к следующим определяющим уравнениям:

В этих соотношениях напряжение а»/ и локальная электриче­ ская сила Ef зависят от деформации и вектора поляризации.

Дифференциальные уравнения (16) — (19) вместе с краевыми условиями (20), (21) и определяющими соотношениями (23),

дифференциальные уравнения пьезоэлектричества Тупина пе­ реходят в уравнения классической теории Фойгта.

Рассмотрим еще основные энергетические теоремы, кото­ рые представляют собой различные формы принципа сохра­ нения энергии. Отправным пунктом рассуждений послужит принцип виртуальных работ Лагранжа

84 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина

— внутренняя интегральная энергия. Основная энергетическая теорема (35), полученная здесь в рамках теории Тупина, на­ ходит себе аналог в форме теоремы (9) из § 1.6 в теории Фойгта.

Выведем теперь теорему взаимности работ для рассматри­ ваемой теории Тупина. Отправным пунктом рассуждений бу­ дут уравнения двух систем причин и следствий

Ограничимся статическими задачами. Умножая уравнение (36) на и\, а уравнение (37) на щ и вычитая затем одно из другого, проинтегрируем результат по области тела. После простых преобразований получаем известные уравнения

Теперь воспользуемся определяющим соотношением для оц:

Умножим уравнение (40) на Р\, а уравнение (41) на Pi. За­ тем вычтем одно из другого и проинтегрируем по области

Наконец, используем уравнение электромагнитного поля (18) для обеих рассматриваемых систем причин и следствий

Эта теорема идентична теореме, выведенной в рамках теории Оойгта (ср. с уравнением (21) из § 1.8 при со->0).

88 Г л. 2. Теория пьезоэлектричества Ту пина и М инд лина __________

метричный тензор Ец принимает значение Ъц. Учитывая со­ отношения

получим следующие определяющие соотношения:

(18)E„ = b%+ d m 4 t + jstlPk + bm P

Анализ этих соотношений приводит к утверждению, что пьезоэлектрический эффект проявляется и в центрально-сим­ метричном теле. Действительно, в этом случае равны нулю тензоры fkij, jjki, поскольку тензоры нечетного порядка в цен­ трально-симметричных телах должны отсутствовать, но от­ личны от нуля оставшиеся тензоры четного порядка йьщ и bijki. Заметим далее, что тензор Ец несимметричен. В есте­ ственном состоянии В// = О, Р,*= О, Р/,/ = 0, и только тензор Ец не исчезает в естественном состоянии — его значение равно

Эти последние величины можно трактовать как началь­ ные данные, введенные в тело в естественном состоянии.

Подстановка соотношений (16) — (18) в уравнения (7) —

(9)приводит к системе семи дифференциальных уравнений

Заметим, что величины bjj входят в решение через крае­ вое условие (12). Из системы уравнений (7) — (9) видно, что введение градиента поляризации не повышает порядок диф­ ференциальных уравнений.

2.3.ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ

Рассмотрим центрально-симметричный и изотропный ди­ электрик. В этом случае энергия UL принимает вид

(1) UL = bQP]t f + Va^P/Py+'^ioPi. iP/. /+7а (&44+M Pi. iPf. <+

+Va (*44—b-п) Pj, iPi, / + 1/2Ci28ii8//-fc44ef/efy+ cf12pf <8у/+ 2 d44P*, ,ew,

приводит к следующей системе трех связанных уравнений:

в которые в качестве неизвестных входят функции: переме­ щение и, поляризация Р и электрический потенциал <р. К диф­ ференциальным уравнениям (8) — (10) добавим краевые усло­ вия

ма связанных уравнений, которая в таком виде трудна для

сопутствуют поляризация и электрический потенциал. Поля эти вызваны также краевыми и начальными условиями.

Структура дифференциальных уравнений (8) — (10) ука­ зывает на то, что на границе можно задавать как поляриза­ цию, так и электрический потенциал, что невозможно в клас­ сической теории пьезоэлектричества. Значительное упрощение уравнений мы получим путем разложения представленных в

Эти действия аналогичны тем, которые применяются в клас­ сической динамической теории упругости. Подстановка разло­ жений векторов (13) и (14) в уравнения (8) — (10) приводит

ния для источников Ь, т, ц, £. Подвергнем выражение (14) i операции дивергенции и ротора. Получим уравнения Пуассона

(20) pV2^ = Xisi, PV2T); = — ei[k^k. /••

Решение уравнений (20) приводит к интегралам [41, с. 181]

(22) Т]г(х) = 4^ - J 8ijkXli* )-g^ Х(хГхТ dV

Аналогичные формулы получим для источников т, £:

(23)x ( * W —

последовательно функции ф и %. В результате получим урав­ нения