книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства

Принятая подстановка будет правильной, если выражение в скоб­ ках обращается в нуль. Уравнение

называется характеристическим уравнением. В данном случае — это квадратное уравнение относительно р, т. е. существуют два значе-

Рис. 6. 5. Различные типы переходных процессов

ния р1 и р2, называемые корнями характеристического уравнения,

обращающие его в нуль:

где Су и С2— постоянные интегрирования, определяемые из на­

чальных условий.

где A = CI + C2 и B= j(C \— Cz) — постоянные интегрирования.

Выражение в скобках соответствует незатухающему колебатель­ ному процессу. Следовательно, чтобы с течением времени переход­ ный процесс стремился к нулю и система была устойчивой, множи­ тель eat при t —*oo должен стремиться к нулю. Но это возможно только при а<О (или при а0> 0 при условии, что O i>0).

Из проведенного рассмотрения можно сделать общий и чрезвы­ чайно важный вывод: для устойчивости системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней ее характеристического уравнения были отрица­ тельными. Совершенно очевидно, что этот вывод будет справедлив

для систем любого порядка. Однако для систем порядка выше вто­ рого трудно, а выше четвертого — принципиально невозможно ана­ литическое определение корней характеристического уравнения, что ограничивает его применение.

Практически, как было показано, для систем первого и второго порядков действительные части корней отрицательны, когда все коэффициенты характеристического уравнения либо положительны, либо отрицательны. Так как постоянные времени не могут быть отрицательными, то можно сделать вывод, что системы первого и второго порядков с отрицательной обратной связью всегда устой­

процесса зависит, очевидно, от коэффициента передачи k системы. При увеличении k апериодический переходный процесс может быть

превращен в колебательный, обычно используемый в системах авто­ матического регулирования, так как при этом обеспечиваются боль­ шее быстродействие и меньшая установившаяся погрешность. Най­

дем для этого случая окончательное выражение переходного про­ цесса системы второго порядка, используя начальные условия:

Тогда из выражения (6.24) получим

А = х — Ау.

Продифференцируем уравнение (6.26):

Этот процесс изображен на рис. 6. 5, г. Период Т затухающих коле­

баний можно найти по формуле

При оценке быстроты затухания колебаний часто пользуются величиной отношения двух последующих амплитуд Дп и Д„+2,

отстоящих по времени друг от друга на один период Т, называемом

декрементом:

nat

Врасчетах для удобства обычно пользуются не этой величиной,

аее натуральным логарифмом, называемым логарифмическим декрементом

до заданного значения их амплитуды.

Если x= C t, т. е. система работает в режиме изменения управ­ ляющей величины с постоянной скоростью, то динамическая уста­ новившаяся погрешность

общего коэффициента передачи k может быть сделана сколь угод­

но малой, если это не нарушит устойчивости. В связи с этим для

Легко показать, что в случае, когда постоянное внешнее воз­ действие z=const прикладывается к точке, расположенной после интегрирующего элемента,

Физически эффект интегрального управления объясняется тем, что в этом случае регулируемая величина уу будет продолжать

изменяться до тех пор, пока не прекратится процесс интегрирова­ ния, т. е. до тех пор, пока (с точностью до величины зоны чувстви­ тельности) рассогласование, а значит, и Ду не сделаются равными нулю. Если x=Ct, т. е. управляющая величина изменяется с посто­

янной скоростью, то с точностью до величины зоны нечувствитель­ ности, для того чтобы обеспечить такую же скорость изменения уу, необходимо определенное постоянное значение динамической по­ грешности

ибо при Дд=0 величина уу перестает изменяться.

6.3. 2 . Составление дифференциального уравнения

Методика составления дифференциального уравнения систем с интегральным управлением остается той же. В качестве одного из примеров рассмотрим астатический регулятор электричеокого напряжения, схема которого показана на рис. 6. 6. Если регули­ руемое напряжение U (регулируемая величина у) точно равно за­ данному значению U0 (управляющая величина х, т. е. в данном случае £3=1) , то разность A = U0— U (погрешность) напряжений

на входе усилителя, а значит, и его выходное напряжение равны нулю. Следовательно, вал электродвигателя не вращается. Если напряжение U изменится, то электродвигатель будет вращать дви­

жок потенциометра до тех пор, пока не восстановится значение U= U0. В данном случае регулируемое напряжение U непосредст­

Если вместо U подставить U = U 0 — Д, то получим уравнение пере­

ходного процесса

в котором для анализа переходного процесса при наличии внеш­ него возмущения в виде изменения напряжения U или U0 его при­

равнивают начальному значению Д в момент /= 0 . Установившаяся погрешность Ду= 0 . В остальном характер процесса зависит от па­ раметров системы и не отличается от уже рассмотренного в преды­ дущем параграфе.

Рис. 6.7. Система автоматического управления положением объ­ екта

Вкачестве другого примера рассмотрим систему автоматическо­ го управления положением регулируемого объекта (рис. 6. 7), в ко­

торой применены сельсины в трансформаторном режиме. Вместо магнитного усилителя использован электронный фазочувствитель­ ный усилитель (см. гл. II).

Вкачестве регулируемой величины у будем принимать угол поворота а объекта. В качестве управляющей х — угол поворота р

ротора сельсина-датчика СД. Регулируемый объект, поворачива­

сельсина-датчика. Если считать сельсины датчиком рассогласова­ ния с коэффициентом передачи &Д= ^ ДМ> то коэффициенты ka= k0 =

= 1. Тогда можно записать следующие уравнения элементов схемы:

где

*Му*э

откуда для случая p= Po=const можно определить зону нечувстви­ тельности