книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства

Следовательно, окончательное уравнение для Д примет вид

а величина Дд.у для рассматриваемой системы определяется фор­ мулой (6. 36). Окончательно получим, подставляя значения а и Дд.у:

Если пренебречь Ди по малости, то получим приближенное вы­ ражение

График изменения угла а в функции от времени для рассмат­ риваемой системы показан на рис. 6. 8. Движение вала регулируе­

мого объекта начинается с момента времени <и=Дн/Ро> определяе­ мого величиной зоны нечувствительности. При f— оо погрешность системы становится равной Дд.у= const.

Таким образом, если управляющий вал внезапно привести во

Бращение с постоянной скоростью р0, то управляемый вал будет следовать за ним, совершая колебания, затухающие с течением времени. После окончания переходного процесса управляемый вал

будет также вращаться с постоянной скоростью Ро и постоянной погрешностью в угле (отставанием) Дд.у по отношению к управ­ ляющему валу. Для уменьшения этой погрешности необходимо увеличивать общий коэффициент передачи k, а это приводит к ко­

лебательному режиму. В связи с этим большинство современных

автоматических систем высокой точности имеет переходный процесс с ярко выраженным колебательным характером. Общий коэффици-

Рис. 6.8. Графики движения системы автоматического управления

ент передачи k для следящих систем иногда называют «доброт­

ностью». Увеличение добротности повышает точность, но приводит к усложнению систем.

6.3. 3. Выбор основных параметров

При расчете систем с интегральным управлением наиболее ча­ сто приходится выбирать коэффициент передачи ky усилителя и пе­ редаточное число I редуктора по заданной точности работы и мак­

симальной возможной скорости dx/dt=$o изменения управляю­ щей величины х. При этом обычно ориентируются на имеющийся

электродвигатель, приблизительно подходящий по мощности, с из­ вестным коэффициентом передачи К и постоянной времени тм

и датчик рассогласования с коэффициентом передачи &д. Точность задается максимально допустимыми значениями зоны нечувстви­ тельности Днтах и динамической установившейся погрешности Дд.утах. В этом случае для определения ky и i молено воспользо­ ваться выражениями (6.35) и (6.36). В наиболее общем случае

Следовательно, полагая &0=1, получим

уш1п ckJi3&Hшах '

С другой стороны, на основании (6.36)

Подставляя сюда &ymin, найдем квадратное уравнение для опреде­ ления /щах:

V ’max- Ы п и - * 2 = 0,

откуда

(6.43)

где

Если пренебречь величиной M Ji по сравнению с Л4С.Э, что часто

практически можно сделать, так как обычно i » l , то выражения (6.42) и (6.43) запишутся значительно проще:

kAk3ky mIn

(^ д .у max max^* (6.45)

"Vo

Если коэффициент передачи усилителя меньше полученного из этих выражений, то зона нечувствительности системы больше заданной. Если передаточное число редуктора больше получен­ ного из этих выражений, то для обеспечения равенства скорости вращения вала регулируемого объекта и скорости вращения управ­ ляющего вала понадобится динамическая установившаяся погреш­ ность (рассогласование) Дд.у, большая, чем ее заданная величина. Это совершенно ясно из физики работы рассматриваемой системы.

Пример 6. 1. Для системы автоматического управления, показанной на рис. 6.7, определить потребное передаточное число i редуктора, коэффициент передачи k7 усилителя и характер переходного процесса для режима вращения

управляющего вала с постоянной скоростью Ро=10 об/мин= 1,05 рад/сек. В этом

режиме скорость вращения регулируемого объекта все время имеет один и тот же знак. Поэтому, не нарушая линейности уравнения системы, в качестве мо­ мента сопротивления на валу электродвигателя и на» валу регулируемого объекта можно учитывать соответствующие моменты сухого трения, знак которых опре­ деляется знаком скорости вращения регулируемого объекта.

Известно, что:

1)переменное напряжение источника питания £/=110 в при частоте /=50 ги;

2)момент инерции регулируемого объекта

£/д = Uт sin 0 = Um sin Д = 51 sin Д.

Для мальм рассогласований функцию синуса можно приближенно заменить линейной зависимостью. Полагая, что погрешность в нашей системе не превы­ шает 2°, найдем коэффициент передачи датчика рассогласования следующим об­ разом:

4. По формуле (6.42) найдем минимально необходимый коэффициент пере­

этом точность повысится, но это целесообразно только в том случае, если при этом не придется усложнять конструкцию усилителя.

5.Проверим правильность выбора i и k7. Для правильной работы при ско­

рости вращения управляющего вала Ро=1,05 рад/сек вал электродвигателя дол­ жен вращаться со скоростью

иу = {J0J = 1,05*8 = 8,4 рад/сек.

Необходимое для обеспечения такой скорости напряжения Ua электродвига­ теля находится из формулы (4.19):

где

70«У ,+ -£ ..(о,1 + ^ j • IQ"» = о,2•10-4 к•м• сек?■рад~1

■общий момент инерции системы. Следовательно,

тер и постепенно затухает. Проверки устойчивости не требуется, так как си­ стема второго порядка с положительными коэффициентами всегда устойчива.

7. Частота (6.20) затухающих колебаний

In = — аТ = }/M l5.0,294 = 0,281,

откуда ^=1,33, т. е. через каждый период амплитуда колебаний уменьшается приблизительно на одну треть (по сравнению с предыдущей).

8. Уравнение переходного процесса для режима

= 0,00872 [1 — е~0,ш (cos 21,4< + 5,6 sin V At)].

Следует отметить, что в силу ограниченности максимальной скорости вращения электродвигателя принципиальная возможность слежения выходного вала за входным при заданной максимальной скорости входного вала также определяет максимально допу­ стимое передаточное число редуктора. Однако получающаяся при этом величина tmах обычно слишком велика для обеспечения не­

обходимой точности. Так, в рассмотренном примере по условию принципиальной осуществимости слежения

что недопустимо по заданной точности.

ших случаев, например, когда оригинал U0(t)=U0— постоянная

величина, — формулой обратного преобразования. Легко решается и обратная задача — переход от операторной ж обычной записи дифференциального уравнения.

7.1 . 2. Характеристики типовых звеньев и их соединений

Уравнение каждого отдельного элемента системы автоматиче­ ского регулирования дает связь между его входным Xi-i(t) и вы­ ходным Xi(t) сигналами (рис. 7.1, а).

При рассмотрении различных систем автоматического регули­ рования легко заметить, что, несмотря на огромное разнообразие встречающихся в них элементов, их дифференциальные уравнения по форме записи сводятся всего к нескольким типам. Так как с точки зрения математического анализа автоматических систем нас в первую очередь интересует именно тип дифференциального уравнения и его коэффициенты, а не принцип действия или кон­ струкция данного элемента, то по этому признаку все многообра­ зие элементов можно свести к следующим основным типовым

звеньям:

1. Безынерционное звено с уравнением

(безынерционные датчики, усилители и т. п.).

или приближенно при т , —

(7-4)

at

(тахогенераторы, дифференцирующие контуры и т. п.). 4. Интегрирующее звено с уравнением

или приближенно при т,л:, (() j* x t (/) dt

(электродвигатели, интегрирующие контуры и т. п.).

Любую автоматическую систему в большинстве случаев можно представить как состоящую из таких типовых звеньев, характери­ зующихся соответствующим типом уравнения.

Рис. 7.1. Различные комбинации соединения звеньев

Отношение операторного изображения выходной величины зве­ на к операторному изображению его входной величины при нуле­ вых начальных условиях

выражать собой своеобразную запись уравнения звена и не будет

Если в выражение для передаточной функции вместо р подставить

/ со, то полученная зависимость

а д ш ) = 7 7 Г Т М

называется амплитудно-фазовой характеристикой звена и имеет

уже другой физический смысл. Амплитудно-фазовая характеристи­ ка выражает зависимость (по амплитуде и фазе) выходного уста-