книги / Строительная механика.-1

Периоды собственных колебаний без учета податливости осно­ ваний принимают следующие значения:

Значения коэффициентов динамичности для каждой формы ко­ лебаний определяются из обобщенного графика, изображенного на рис. 5.15:

а) с учетом податливости основания:

кД{\) = 1*7* *Ж2) = 1-8; кд {з) = 25;

б) без учета податливости основания:

кД(1)~ЗЯ> кд(2)= 3 .q; km - 25.

6.Определить спектральные значения сейсмических сил с учетом всех форм колебаний и построить

эпюры моментов и поперечных сил

Спектральные (максимальные) значения сейсмических сил с учетом всех форм колебаний вычисляются следующим образом:

231

/ 3 = щ у£“* £ % ,) лзу = 1177.2 (3.8 0.5 + 3.0 0.37 + 2.5 0.12) «

V=1

= 1177.2 (1.9 + 1.11 + 0.3) = 3897 кН;

Эпюры моментов (а) и поперечных сил (б) изображены на рис. 5.18. Пунктир на рис. 5.18 относится к случаю, когда податли­ вость основания учитывалась, сплошные линии относятся к эпю­ рам без учета податливости основания.

5.9.Поперечные колебания балки с распределенными па­

раметрами

Рассмотрим свободные колеба­ ния балки с постоянным попе­ речным сечением площадью F, плотностью р материала конструк­ ции, без учета диссипативных свойств системы (рис. 5.19, а).

Дифференциальное уравнение колебания системы с учетом следующго дифференциального соот­ ношения теории изгиба имеет вид:

= (5.81)

Здесь q(z,t) — распределенная

Рис. 5.19

инерционная нагрузка, которая

возникает при движении балки:

232

где mz = р F— распределенная масса балки.

Совместно рассматривая соотношения (S.81) и (S.82), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний балки без

Если учесть затухания колебания по Фойхту в вынужденном ре­ жиме при действии внешней нагрузки P(Z,f) на балку, дифферен­ циальное уравнение (5.83) преобразуется в виде

т.е. для исследования вынужденного движения балки необходимо рассмотреть решение уравнения (5.84), при заданных граничных условиях закрепления балки и начальных условиях задачи.

Рассмотрим решение задачи в свободном режиме колебания. Для решения задачи применим метод разделения переменных,

Произвольные постоянные С,- (/ = 1, 2, 3, 4) должны быть опре­ делены из граничных условий закрепления балки.

Предположим, что рассматриваемая балка закреплена в обоих концах шарнирно. Тогда на каждой опоре прогиб у и изгибающий

момент EJy $у_ обращаются в нуль, следовательно, учитывая ре­ с dz1

шение (5.88), имеем

233

Из первых двух условий вытекает, что С%—С+= 0. Из двух дру­ гих получим

f Cisinpf+Cashp/ = 0; {-Ci sin р/ + Сз shp/ = 0.

Приравниваем нулю определитель этой системы:

откуда имеем sin р/ shp/ = 0.

Но так как гиперболический синус обращается в нуль только при р /= 0, то остается sinp/=0 или р1= in ( /= 1, 2,...), или со­ гласно (5.86), выражение частоты собственных колебаний прини­ мает вид

(5.89)

В зависимости от значения /= 1, 2,... по формуле (5.89) опреде­ ляется спектр частот собственных колебаний соответствующий соб­ ственным формам, показанным на рис. 5.19, 6 — г. Упругая линия балки, учитывая, что = Cj = Q = 0, при i-й форме колебаний имеет вцц

здесь С\—определяется из начальных условий задачи, в зависи­ мости от способа возбуждения колебаний балки.

5.10. Определена основной частоты собственных колебаний консольной балки (задача № 16)

Требуется определить основную частоту собственных колебаний консольной балки с постоянным поперечным сечением (рис. 5.20).

234

откуда получим

Z(0) = Z'(0) = 0;

rf2Z (0 d3Z(l) (5.90) Л 2

Подставляя выражение (5.88) в граничные условия (5.90), будем иметь

С2 + С4 = 0; С] + С3 = 0

-Cj sin р / - С2cos р / + C3sh р / + C4ch р / = 0; -Cj cos р / + С2 sin р / + C3ch р / + C4sh р / = 0 .

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим:

отсюда имеем sh р/ cos р/ = -1 .

Наименьший корень этого трансцендентного уравнения прини­ мает значение р /= 1.875.

Учитывая соотношение (5.86), находим частоту основного (наи­ меньшего) тона колебаний

_ 1 1Ш

/2 VP Г

5.11. Колебания твердого тела на поверхности упругого инерционного основания

К динамическим контактным задачам приводят проблемы расчета сооружения на сейсмостойкость, расчета фундаментов под машины, фундаментов зданий и сооружений, воспринима­ ющих динамическую нагрузку в эксплуатационном режиме.

235

Амплитуду колебаний сооружения и динамические напряже­ ния в основании можно определить в результате решения динами­ ческой контактной задачи. При этом массивный фундамент под машину или жесткое сооружение можно рассматривать как аб­ солютно твердое недеформируемое тело.

В данном разделе сначала излагается общая теория расчета жестких массивных сооружений, лежащих на поверхности упруго­ го инерционного основания, при действии динамических нагрузок, а далее рассматриваются конкретные примеры расчетов.

Для определения параметров колебаний жесткого сооружения с шестью степенями свободы обычно применяется расчетная ди­ намическая модель основания в виде линейно-деформируемого однородного изотропного полупространства (рис. 5.21). Механи­ ческая модель основания в общем случае для каждого из шести видов перемещений тела в декартовой системе координат (три поступательных перемещения по пространственным координатам и три вращательных относительно координатных осей) представ­ ляется в виде модели Фойгта (рис. 5.22), т. е. в виде параллельно включенных пружин и демпфера. При этом пружина характеризу­ ет хвазистатическую жесткость основания, а демпфер — акусти­ ческую жесткость основания и описывает излучение плоских волн в основании, возникающих в результате взаимодействия жесткого тела с упругой средой. Точного решения динамической контакт­ ной задачи о взаимодействии твердого тела с конечными раз­ мерами в плане с упругой средой до настоящего времени не получено, а имеются лишь асимптотические решения.

Приближенность имеющихся асимптотических решений не по­ зволяет учитывать кривизну волнового фронта, излучаемого твер­ дым телом конечных размеров в плане.

Данное обстоятельство приводит к тому, что доля энергии, излучаемой в основании при взаимодействии абсолютно твердого тела с упругой средой, получается несколько завышенной. При этом следует учесть, что рассеяние энергии в рассматриваемой системе происходит не только за счет безвозвратного излучения волн в основании, но и за счет внутреннего трения материалов основания. Как показывают результаты экспериментальных ис-

236

Рис. 5.22

следований, при решении практических задач, если воспользовать­ ся результатами асимптотических решений динамических задач, нет необходимости в дополнительном учете рассеяния энергии за счет внутреннего трения материалов упругого однородного изо­ тропного основания, так как в данном случае существует пример­ ный баланс между излучаемой энергией в основании без учета кривизны волнового фронта и суммарной потерей энергии за счет внутреннего трения материалов среды и излучаемой энергии с уче­ том кривизны волнового фронта.

Реакции упругого полупространства на контактной поверх­ ности с твердым телом (см. рис. 5.22) с шестью степенями свобо­ ды с учетом принятых предпосылок записываются в следующем

RAt)=cxux(t)+rjxux(t);

д,(0=^«,(0+»/А(0;

R<px(t)= с9х(рх( 0 + Tj9x<px(0 ;

R?y( 0 = с9у(ру( 0 + *19уфу(t);

R<pz (0 — C q a V z (0 "Ь Ц р г Ф х (0i

где приняты следующие обозначения: Rx, Ry, Rz — соответственно результирующие реакции основания, направленные по координат­ ным осям х, у, z; Rpx, R^y, R9Z— соответственно результирующие моменты относительно координатных осей х, у, z; их, иу, иг, q>x, <ру, фх— линейные и угловые перемещения твердого тела относитель­ но координатных осей; сх, су, сг и c9Xi с9у, с91 — квазистатические жесткости основания при равномерном и неравномерном сдвигах,

237

сжатии или растяжении основания по координатным осям на контактной поверхности; rjx, jjy, цг и rjvx, rjvyt ti9Z— акустические

жесткости основания при равномерном и неравномерном сдвигах, сжатии или растяжении основания по пространственным осям на контактной поверхности.

Для принятия модели среды в виде однородного изотропного упругого инерционного основания выражение жесткостей было определено как результат асимптотических решений динамичес­ кой контактной задачи между твердым телом и упругим полупро­ странством. Ввиду громоздкости этих решений, приведем лишь выражения жесткостей основания, необходимых для выполнения прикладных расчетов:

3.4-y/l—2/ipaj (1-/1)Л>/2(1-/1)

Здесь приняты следующие обозначения: р, ц — плотность и коэффициент Пуассона материалов основания; а, и а2 — скоро­ сти распространения продольных и поперечных волн в среде основания; F — площадь контактной поверхности между твер­ дым телом и основанием; JFx и JFy— моменты инерции фигуры контактной поверхности относительно главных центральных осей инерции х и у (см. рис. 5.21), / л = / л + / д, — полярный момент инерции той же фигуры. Например, если контактная поверхность имеет форму прямоугольника с размерами по координатным осям х и у соответственно Lx и Ly, то в данном случае имеем

LJA ЬХЦ

F=LJLy\ / , = — ; / У= — А

у12 У 12

Бели контактная поверхность имеет форму сплошного круга диаметром Д то в этом случае получим

238

; JFx—Jfy

4

Если же контактная поверхность имеет форму круглого кольца с наружным и внутренним диаметрами соответственно

D и d, то

F=-(D2-d*); JFx=JFy=^-(D*-d*).

Для расчета параметров колебания твердого тела при произ­ вольном характере нагружения сначала необходимо определить дифференциальные уравнения движения рассматриваемой систе­ мы. Далее, исходя из сути рассматриваемой проблемы нужно сформулировать начальные условия задачи. С учетом начальных условий задачи из решения уравнения движения системы опреде­ ляются параметры колебания твердого тела. Заметим, что при самом общем характере нагружения твердого тела с шестью степенями свободы нужно сформулировать шесть уравнений от­ носительно шести неизвестных параметров движения тела: их(/), иу(/), uz(t), q>x(t), <py(t), Для этого достаточно воспользовать­ ся методом сечений. Задавая сечение на контактной поверхности

исоставляя все шесть уравнений равновесия от всех внешних сил

имоментов относительно координатных осей:

2ЛГ=0; 2 Г = 0 ; 2 Z = 0; 2 т Л= 0; Zmy=0; 2mz= 0, (5.93)

получим шесть необходимых дифференциальных уравнений от­ носительно шести искомых факторов задачи, из решения которых при заданных начальных условиях и определяются искомые пара­ метры задачи.

После определения параметров колебания твердого тела в со­ ответствии с принятыми выше предположениями, на поверхности в произвольной точке с координатами \x\^Lx/2, |y|^L ,/2, z= 0 определяются контактные напряжения:

<Ггх(х, У, t)= J (йх(0 + у ф :(t))+Dz(х, y)cx[ux(t)+y<px(t)]j

°zyix, у , t)= V~(йу+- xq>z(t))+ Dz(x, y)cy[ux(t)+xq>z(t)];

(5.94)

y, t)=j (uz(0 + уфх(t)+хфг(0) +

+ A (*, У)[CtUx(t) + c9Xyq>x(it)+c9yx<py(01-

239

Если контактная поверхность имеет форму прямоугольника, то функция Dx(x, у) определяется по формуле

** Л Н т .

аесли контактная поверхность имеет форму сплошного круга диаметром D, то

где г=л Д ч ? .

Наконец, если жесткое тело имеет бесконечно большие раз­ меры по оси уу то в данном случае движение жесткого тела происходит в плоскости (х, z) и соответственно в вышеизложен­ ных выражениях результирующих реакций (5.91) и контактных напряжений (5.95) следует принимать

щ=и1=<рх=(рх=(рх=(р^0.

Выражение функции Dzимеет вид

Далее, в качестве примера рассмотрим вертикальное колеба­ ние твердого тела (рис. 5.23, а). Применяя метод сечения (рис. 5.23, б), составим уравнение равновесия E Z = 0 , тогда

Здесь Pz(t) — изменяющаяся во времени по произвольному закону внешняя сила, направленная по оси z; Iz(t)= —muz(t)— инерционная сила, направленная по оси z;m — масса тела.

Подставляя выражение инерционной силы и результирующей реакции основания в (5.98), получим дифференциальное уравнение движения тела на поверхности упругого основания в следующем виде:

240