книги / Строительная механика.-1

риод колебаний Т = — . Круговая частота определяет число (0

циклов колебания в течении 2я секунд, а период определяет интер­ вал времени, в течении которого совершается полный цикл коле­ баний.

Системы в динамике сооружений различаются по числу степе­ ней свободы. Числом степеней свободы системы называет­ ся число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение системы (материальных то­ чек) в любой момент времени при ее (их) движении. Число сте­ пеней свободы системы складывается из числа степеней свободы материальных точек, принадлежащих системе. Число степеней сво­ боды является основной характеристикой системы при динамиче­ ских воздействиях.

В динамике сооружений различают два основных подхода: кинетостатический и энергетический.

Кинетостатический подход состоит в том, что сооружение в произвольный момент времени предполагается находящимся в равновесном состоянии под действием заданных динамических и вызванных ими инерционных нагрузок. Далее для составления уравнений состояния применяются классические методы строи­ тельной механики (метод сил, перемещений или смешанный).

Энергетический подход основан в определении в равновес­ ном состоянии через закон сохранения энергии с учетом инерци­ онных сил. В частности, когда силы сопротивления движению не учитываются, энергетический принцип в общем случае записы­ вается в виде:

К + V = const,

где К— кинетическая энергия системы; V— потенциальная энер­ гии системы или работа внешних или внутренних сил, так как сис­ тема в процессе колебания находится в равновесном состоянии.

В настоящей книге при решении конкретных задач ограничимся применением кинетостатического подхода, а для вывода уравне­ ния — метода сил.

5.2. Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой т, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная матери­ альная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной т, может со­

191

вершать перемещения только в вертикальном направлении, следо­ вательно, система имеет одну степень свободы.

мических нагрузок через у (0 , вводим следующие начальные усло­ вия:

Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, тре­ ние в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего со­ противления, называется консервативной, а система, лишенная данного свойства — неконсервативной.

Вводим следующие обозначения: 6ц — вертикальное перемеще­ ние балки в точке закрепления массы т от действия вертикальной единичной.силы Р= 1, приложенной в той же точке; А\р(/) —. вер­ тикальное перемещение балки в точке закрепления массы т от ди­ намической силы P(f), при этом: Ai/>(0 = &IP P(t)\ верти­ кальное перемещение балки в точке закрепления массы от дей­ ствия вертикальной единичной силы Р —1, приложенной в точке приложения внешней силы P(t) при ее отсутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что в произ­ вольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы т принимает значение

192

откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рас­ сматриваемой системы

Принимаем обозначения: ©о = "ТГ'Г~- ~~круговая частота собV8n w

ственных колебаний системы; я = 2 т коэффициент затухания. С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы

Решение дифференциального уравнения (5.4), с учетом началь­ ных условий (5.1) и, учитывая, что для реальных конструкций все­ гда выполняется я < ©о, записывается в виде

у - уА e~nt sin(©Т+ ер)+ ^ ^ |Р(т)е-л^ sm © (/-t)4 x . (5.5)

©о

Здесь приняты следующие обозначения:

Круговая частота © называется круговой частотой соб­ ственных колебаний системы с учетом сил затухания.

Коэффициент затухания колебания определяется по коррек­ тированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наи­ более обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:

вде б — называется л огарифмическим декрементом зату­ хания и определяется через отношения соседних амплитуд коле­

бания, возникающих через промежуток времени Г = — :

193

й '+ Л ’

Для различных конструкций средние значения 5 приводятся в табл. 5.1.

Выражение (5.5) определяет перемещение сосредоточенной мас­ сы при действии силы Р(/), изменяющейся во времени по произ­ вольному закону. Первый член выражения характеризует соб­ ственные колебания системы, а второй, интегральный член — вы­ нужденные колебания.

Так как Д /) = Ро sin0f, то решение (5.5) преобразуется и при­ нимает вид:

H J 4л2е2

Если в момент времени 7 = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. yQ= у0 =0 , то решение (5.9) с учетом (5.10) преобра­ зуется в виде

У= кдР0 8iр sin(tot- q»i).

Величина кдназывается коэффициентом динамичности и

характеризует эффект от динамической на1рузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной Д О = Д) 25 const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения 0/ CD. При 0/(0 1 коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при 0/со = 1 наэыва-

194

ются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:

лить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала оп-

Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис. 5.2, б, и

по формуле Мора определим 5ц

195

v" E 2 2 2 4 3 4 4 Ш '

Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий

Последовательно определим максимальное значение момента в опасном сечении (рис. 5.2, в, г) от статических и динамических сил:

Максимальное напряжение в опасном сечении принимает зна­ чение:

т.е. прочность конструкций обеспечена.

5 .4 . Свободные колебания системы с произвольным числом степеней свободы

Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесо­ мую балку, изображенную на рис. 5.3 и с и сосредоточенными мас­ сами /Л], mi, /Из,..., тп. Пренебрегаем продольными деформация­ ми оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется перемещениями сосредоточенных масс Уг (0 (' ~ 2, 3,..., п) в произвольные моменты времени /, вызван­ ными упругими деформациями балки в поперечном направлении.

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил

инерционные силы Z , (/) = -m t O' = 1, 2, 3,..., л). Применяя

метод сил, перемещение произвольной массы yi(f) записывается в виде суммы

где 8,£ — перемещение i-й массы от статической единичной силы,

приложенной к к-й массе от статической единичной силы по на­ правлению соответствующей инерционной силы.

Подставляя выражение инерционных сил в систему уравнений (5.11), получим:

Система дифференциальных уравнений движения (5.12), опи­ сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­ бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­ рядка с постоянными коэффициентами, решение которой в общем случае записывается в виде

197

(5.13)

Рассмотрим одно частное произвольное решение соответствую­ щее г-й форме колебаний

(т, 6„ч>\ - l)»° +m28 2(i)^5r + ••• +m„ 8,„<а\>& = 0;

Как видно из (5.18), по произвольной форме r = 1, 2, 3,..., л ко­ лебания происходят по гармоническому закону с частотой юг . Здесь (0Г — частота собственных колебаний заданной системы, со­ ответствующая г-й форме.

Согласно (5.14),yJ. является перемещением /-й массы при

г-ой форме колебания, значения которой определяются из решения системы алгебраических уравнений (5.17).

198

Система (5.17) может иметь решения, отличные от нулевого лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие

т\ &nl т2Ьп2 mn8m ~ h

где принято обозначение Хг = 1/сэЛ2.

Раскрывая определитель (5.19), получаем уравнения п-й степе­ ни относительно V» а при его решении получим п значений \ г. Каждому значению Xr (r= 1, 2, 3,..., п) будет соответствовать своя собственная частота

и свой собственный вектор

При этом собственные формы упругих систем ортогональны между собой

Величины yfr непосредственно из решения (5.17) определить

нельзя, они могут быть найдены с точностью до произвольного по­ стоянного множителя, т.е. по существу могут быть найдены от-

у° ношения между У1Г’У2г>->Упг- Принимая обозначения р®г = - у ,

система (5.17) преобразуется в вид:

199

Последняя система имеет одно лишнее уравнение, так как име­ ем п уравнений относительно (л -1) неизвестных р 2г, рзг ,..., рлг. Огёрасывая одно из этих уравнений, решая оставшуюся систему

все остальные амплитуды перемещений масс при г-й произвольной форме колебаний.

Возвращаясь к выражению (S.13) с учетом (S.18) можем записать

ще А} и В* можно выразить через начальные условия каждой массы при t - 0, которыми являются перемещения i-й массы >7(0) и ее ско­ рости У/(0) , и следовательно, задача о свободных колебаниях системы с произвольным числом свободы будет полностью решена.

5.5.Вынужденные колебания систем с произвольным числом степеней свободы при действии

вибрационной нагрузки

Рассматриваем установившиеся вынужденные колебания системы (рис. 5.4) без учета внешнего или внутреннего сопротив­ ления. Будем считать, что внешнюю нагрузку можно разложить по направлениям перемещений сосредоточенных масс, а составляю­

щие ее обозначим />(/) = /}° sin Q t, (/ = 1, 2, 3,..., л).

“У Z]+P] Z1+P1 ZfPt

------------н

Рис. 5.4

200