книги / Строительная механика.-1

обобщенное перемещение в /-й произвольной точке (рис. 2.4) в за­ ранее заданном направлении.

Согласно принципу возможных перемещений, для закрепленной системы с идеальными связями, сумма работ всех усилий на любых малых возможных перемещениях равна нулю, что является необхо­ димым и достаточным условием нахождения равновесного состоя­ ния рассматриваемой системы. Для деформируемой системы, в ана­ литическом выражении начала возможных перемещений, следует учесть работу как внешних, так и внутренних усилий.

Рассмотрим два состояния системы: одно, возникающее под дей­ ствием заданной нагрузки (рис. 2.4, а); второе — под действием единичной силы, приложенной в интересующей нас точке / по на­ правлению искомого перемещения (рис. 2.4,6). Определим воз­ можную работу сил второго состояния на перемещениях первого

где hip — перемещение /-Й точки по направлению силы Р/ = 1 в первом состоянии, вызванной действием системы внешних сил.

Работа внутренних усилий, как известно из курса «сопротивле­ ния материалов» [9], была представлена в виде:

коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения, для пря­ моугольного сечения г| = 1.2.

81

В силу принципа возможных перемещений: ЬА + 8 V= 0, т.е. ра­ бота внешних сил равна работе внутренних сил с обратным знаком 8 У=-8А, далее, учитывая (2.1) и (2.2), получим:

Это выражение носит название формулы Мора. Замечательной особенностью вычисления перемещений по формуле Мора является то обстоятельство, что в качестве второго состояния можно ис­ пользовать любую систему, образованную из заданной путем отбра­ сывания лишних связей, т.е. брать в качестве вспомогательного со­ стояния любую статически определимую систему, полученную из заданной. Эго в значительной степени упрощает процедуру вычис­ ления перемещения по формуле Мора.

Во многих практических случаях формула Мора может быть значительно упрощена. Например, в статически неопределимых фермах изгибающие моменты и поперечные силы пренебрежимо малы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня. Поэтому для ферм формула Мора принимает вид:

В рамах обычно пренебрегают влиянием вторых и третьих членов (2.3), так как эти члены незначительно влияют на величину пере­ мещений

Продольные силы вместе с изгибающими моментами учитывают в расчете систем, элементы которых испытывают значительные осе­ вые деформации, сравнимые с деформациями от изгибающих мо­ ментов, например, в арках, а также при учете податливости отдель­ ных элементов систем, работающих преимущественно на сжатие или растяжение, например, затяжек в рамах или арках.

Интеграл Мора наряду с методом начальных параметров явля­ ется достаточно мощным инструментом для определения переме­ щений стержневых систем. Проиллюстрируем это на примере.

Для ломаного бруса, изображенного на рис. 2.5, а, определим угол поворота поперечного сечения С относительно вертикальной оси. Пусть жесткость ригеля в два раза больше жесткости стойки, т.е. ЕЗр = 2 EJC.

82

Последовательность расчета следующая:

1)строим эпюру моментов М„ от заданной нагрузки д (эпюра моментов действительного состояния п рис. 2.5, б);

2)строим эпюру моментов Мт при загружении конца консоли единичным моментом М= 1 (эпюра моментов фиктивного состоя­

ния м, рис. 2.5, в);

3) выразим изгибающие моменты через переменные абсциссы х

а)

П

-Н

Рис. 2.5

4) применяя формулу перемещений (2.5), найдем искомый угол поворота

= 1 7 F J + 7 F J . " 1 2 Е /

2.3. Расчет рам методом сил

В методе сил в качестве основной выбирается обычно статически определимая система, получаемая из заданной п раз статически не­ определимой системы путем отбрасывания п жестких связей или постановкой (введением) шарниров. Этими жесткими связями мо­ гут быть жесткие опоры или связи, соединяющие одну часть стерж­ ня с другой. Усилия взамен отброшенных связей прикладываются в месте разреза или введенного шарнира в виде поперечных, про­ дольных сил или изгибающих моментов.

83

Можно выбрать различные варианты основной системы. Необ­ ходимо, чтобы подученные таким образом основные системы были статически определимыми и кинематически неизменяемыми.

Рассмотрим в качестве примера трижды статически неопреде­ лимую систему (рис. 2.6, а). Разрезав опорные стержни опоры Ли С и заменив их влияние силами Xlt Ху, Д3, получим один из воз­ можных вариантов основной системы (рис. 2.6, б). Второй вариант получим путем разреза в жесткой заделке В и замены его влияния введением сил Х\, Ху и момента Ху (рис. 2.6, в). Третий вариант по­ лучаем введением в узел D шарнира, удалением из узла С жесткой опоры и введением в узел В шарнирно-неподвижной опоры взамен жесткой заделки (рис. 2.6, г).

Рис. 2.6

Все полученные системы являются статически определимыми и геометрически неизменяемыми, поэтому они могут быть исполь­ зованы для расчета. Однако из них надо выбрать наиболее простую

считывается (нет необходимости находить опорные реакции).

Для основных систем неконсольного вида необходимо в первую очередь вычислить, пользуясь уравнениями равновесия, опорные реакции, а затем, приняв их за внешние силы, построить эпюры. Для избежания ошибок всегда следует проводить проверку пра­ вильности вычисления опорныхреакций.

После выбора основной системы составляют дополнительные уравнения совместности деформаций, называемые каноническими

и

уравнениями метода сил. Количество их всегда равно числу неиз­ вестных усилий.

Канонические уравнения метода сил составляются для основной системы из условия равенства нулю перемещений по на­ правлению внешних лишних связей и относительных перемещений по направлению внутренних лишних связей. Итак, в основной сис­ теме перемещения по направлению каждого из неизвестных усилий Л/ (/ = 1, 2, 3,..., п) от всех действующих на нее силовых факторов должны быть равны 0, т.е.

Ыр + 8ii Х\+ 8д Кг +...+ б/цХ„“ 0, (/= 1,2,3,..., л), (2.6)

где Д//»— перемещение в основной системе по направлению от­ брошенной /*-й связи от действия внешних на1рузок; 5/л — переме­ щение в основной системе по направлению отброшенной i-й связи от действия единичного усилия Л* = 1 (k = 1, 2,3,..., л).

Из теоремы о взаимности перемещений, примененной к основ­ ной системе, следует, что 8/* = 8# .

Очевидно, что выполнения равенства (2.6) является необходи­ мым и достаточным условием эквивалентности заданной и основ­ ной систем. Система (2.6) называется каноническим уравнением метода сил.

Решив систему уравнений (2.6) относительно Л /, мы можем за­ менить дальнейший расчет заданной статически неопределимой си­ стемы расчетом статически определимой основной системы, нагру­ женной той же на1рузкой с дополнением усилий Х\, Я^..., Хп , за­ меняющих влияние отброшенных связей.

Для определения коэффициентов 8# и свободных членов Дц> ка­ нонических уравнений (2.6) в методе сил применяют формулу Мора (2.3) или для рам уравнение (2.5), выражающее перемещения через внутренние силы в стержневой системе.

При вычислении коэффициентов и свободных членов канони­ ческих уравнений метода сил, кроме непосредственного интег­ рирования (2.5), применяют различные упрощенные приемы вычисления интегралов. Особенно обстоятельно они разработа­ ны для рам с прямолинейными стержнями постоянного сечения. Жесткость EJ = const при этом выносится за знак интеграла, а под интегралом остается произведение двух функций: Af/ и Мц, одна из которых, как правило, или обе являются линейными функциями. Операция интегрирования здесь часто называется перемножением эпюр и ее символически изображают следую­ щим образом:

85

(2.7)

здесь знак ® означает умножение в смысле формулы Мора. Применение готовых формул показано в таблице 2.1. Сами эти

формулы без труда определяются элементарными методами. Эта таблица является весьма универсальной, так как она пригодна для определения перемещений по двум любым прямолинейным эпю­ рам, а также криволинейной с прямолинейной. Если любая из фи­ гур, приведенных в табл. 2.1, перемножается с треугольником, то это перемножение сводится к трапеции, одна из ординат которых равна 0. При перемножении на прямоугольник нужно учесть, что

Ма- М ь .

При помощи расчленения эпюр на части можно добиться того, чтобы при перемножении участвовали эпюры простой структуры, приведенные в табл. 2.1.

Например, пусть нужно перемножить эпюры, приведенные на рис. 2.7. Каждую из эпюр можно представить в виде суммы: в пер­

вом случае, в виде двух треугольных и параболической; во втором - в виде двух треугольных.

а)

86

А далее следует воспользоваться формулой для вычисления ин­

тегралов jAfj(x) М2(х) dx = Mi ® М2, приведенных в табл. 2.1.

о

Довольно удобным способом перемножения эпюр является спо­ соб Верещагина. Этот способ применим в случае, когда из двух перемножаемых эпюр одна как минимум является прямолинейной. Если одна из эпюр является криволинейной, вычисляется площадь Q криволинейной эпюры, которая умножается на ординату под ее

центром тяжести, взятую в прямолинейной эпюре М2 (рис. 2.8).

Предположим M{ = f (х); М2 = ах+ Ь, тогда

/

\М х{х)М2{х)dx = МХ®М2=

/

но величина J f(x)d x = £2представляет собой площадь криволи-

о

I

нейной эпюры, а величина / х ■f(x)d x = S —статический момент

о

площади этой эпюры относительно левого конца стержня. Следо­ вательно,

Мх® М2 = b d+ aS = .

Известно, что величина S/Q, представляет собой ординату центра тяжести криволинейной эпюры, a b + aS/Cl — значение М2 при хс = S/CI.

Вслучае двух криволинейных эпюр способ Верещагина непри­ меним. Надо пользоваться интегралом Мора. Способ Верещагина применим также в тех случаях, когда одна из эпюр не криволиней­ ная, а ломаная.

Втаблице 2.2 приведены формулы для определения площади П, положения центра тяжести z c и ординаты ус в центре тяжести для некоторых довольно распространенных плоских фигур.

Вслучае, когда имеются эпюры общего вида (например, обе

эпюры криволинейные, либо трапеции, рис. 2.8), разбиение уже на два равных интервала дает согласно формуле Симпсона точное вы­ ражение интеграла

87

м ,9 М г =£ (jfw U2,A * «Щ в Мг,в + Mi,с м г,с),

где индексы Ли С относятся к сечениям, расположенным на кон­ цевых сечениях интервала длиной /, а индекс В — к срединному сечению того же интервала.

В тех случаях, когда функции М\ и М2 в рассматриваемом интер­ вале длиной / являются линейными и известны их значения в кон­ цевых сечениях интервала, то формулу переумножения М\ и Ы2 можно преобразовать в следующем виде:

М,«Мг =%Ши М „ * Мы М2,с+ М{ СМ2уА+ 2M1JCM2IC). (2.8)

Итак, после составления и решения канонической системы уравнений метода сил (2.6) мы получаем значения Х\> Х2, Аз,..., Хп,

88

т.е. значения усилий в лишних связях. Затем строим для основной системы эпюры изгибающих моментов от каждого из найденных усилий. Для этого могут быть использованы построенные ранее единичные эпюры, все ординаты которых необходимо теперь умно­ жить на найденные значения соответствующих неизвестных.

Сложив по характерным сечениям (на протяжении всей рас­ считываемой конструкции) ординаты эпюр от действия всех сил ЛГ/ с ординатами фузовой эпюры, получим окончательную (суммар­ ную) эпюру изгибающих моментов в заданной статически неопре­ делимой системе.

2 .4 . Пример расчета плоской рамы методом сил (задачка № 7)

Пусть требуется провести расчет плоской рамы (рис. 2.9, а) ме­ тодом сил в следующей последовательности:

1.Определение степени статической неопределимости.

2.Выбор основной системы.

3.Составление системы канонических уравнений.

4.Вычисление коэффициентов канонических уравнений.

5.Проверка правильности подсчета коэффициентов канониче­ ских уравнений.

6.Решение системы канонических уравнений и проверка ее пра­ вильности.

7.Построение окончательной эпюры изгибающих моментов

Мок-

8.Проверка правильности построения эпюры Мок и построение эпюры Q(z).

9.Построение эпюры N.

10.Статическая и деформационная проверка рамы в целом.

Решение

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости рассчитывают по формуле

п - Ъ К - Ш,

где К — количество замкнутых контуров в системе, включая опор­ ные; Ж — количество одинарных шарниров в системе, включая опорные.

В нашем примере, если мысленно замкнуть землю (см. пунк­ тирную линию на рис. 2.9, а), имеем К= 2, Ш= 4, п - 3*2 - 4 - 2.

«9

Таким образом, заданная рама дважды статически неопределима, или, другими словами, имеет две лишние связи.

т

Рис. 2.9

90