книги / Строительная механика.-1

женной действующей вниз нагрузкой, верхний пояс сжат, а нижний растянут; нисходящие раскосы вблизи опор фермы растянуты, а восходящие сжаты. Стойки решетки при нагрузке по верхнему поя­ су сжаты, а при нагрузке по нижнему поясу — растянуты.

В консольных фермах (рис. 1.28) верхний пояс растянут, а ниж­ ний — сжат.

Степень изменяемости шарнирно-стержневой системы определя­ ется по формулам:

Здесь Y — число узлов; С — число стержней, включая опорные. Рассмотрим ферму, изображенную на рис. 1.27. Здесь Y= 16,

С- 32 . Следовательно, п =2-16 -32 = 0.

Для фермы, изображенной на рис. 1.28, имеем Y= 9, С - 18. Та­

ким образом, п = 2-9 - 18 = 0.

Степень изменяемости шарнирно-стержневой системы можно определить также по формулам (см. п.1.1), считая каждый стержень диском или блоком, а количество связей — путем подсчета простых шарниров, соединяющих каждую пару стержней. Однако этот спо­ соб, в данном случае, оказывается более сложным.

1.14.Методы расчета статически определимых ферм

Из условия равновесия фермы в целом с начала определяются опорные реакции, далее для определения усилий в элементах фер­ мы применяются различные подходы.

Наиболее простым методом определения усилий в стержнях ста­ тически определимой фермы является метод вырезания узлов. Разрезая мысленно стержни, сходящиеся в данном узле, и уравно­ вешивая внешнюю силу, приложенную к нему, продольными уси­ лиями, действующими по направлению каждого стержня, получаем необходимые уравнения для определения этих сил. При составле­ нии уравнений равновесия предполагаем все внутренние силы рас­

51

точке, то для каждого узла плоской фермы можно составить два уравнения равновесия, выражающие равенство нулю сумм проекций всех сил на горизонтальную и вертикальную оси. Всего таким обра­ зом можно составить 2С число независимых уравнений. Поскольку число стержней в статически определимых фермах, включая опор­ ные стержни, тоже равны 2С, то мы получаем полную систему 2С алгебраических уравнений с 2С неизвестными усилиями. Причем в каждое уравнение, составленное таким, образом системы уравнений входят не все неизвестные, а обычно только их небольшая часть.

Другим эффективным способом расчета усилий в элементах фермы является метод сечений. Разрезав мысленно ферму на две части и отбросив одну из них, можно составить три уравнения рав­ новесия для оставшейся части фермы. Если в разрез попадают толь­ ко три стержня, то при помощи этих уравнений можно определить усилия в разрезанных стержнях. Систему трех уравнений равнове­ сия можно свести к трем независимым уравнениям, если эти урав­ нения составить так, чтобы сумма моментов всех сил, действующих на оставшуюся часть фермы, относительно каждой из трех точек пересечения направлений разрезанных стержней была равна нулю.

Для определения усилия в интересующем нас у-м стержне до­ статочно составить только одно уравнение моментов, взятых отно­ сительно точки пересечения двух других стержней. Эта последняя точка называется моментной точкой дляу-го стержня.

На рис. 1.30 показано применение метода сечений при опреде­ лении усилий в стержнях второй панели фермы. Для определения усилия в стержне 4—6 следует составить условие равенства нулю моментов сил, приложенных по левую сторону от разреза а —Ь, от­ носительно точки А; для определения усилия в стержне 3—5 — относительно точки В и для определения усилия в стержне 4—5 — относительно точки С.

52

калыюго сечения, пересекающего раскос или стойку, с ординатами, деленными на sinot, где a — угол наклона раскоса; и со спрям­ лением на длину панели, по которой движется груз.

Рассмотрим четыре характерных примера построения линий влияния для ферм с непараллельными и параллельными поясами (рис. 1.32, а и 1.33, а).

Рассмотрим определение линии влияния Л^-з, нижнего пояса фермы с непараллельными поясами.

Проведем сечение

ние данного выражения является левой ветвью линии влияния рис. 1.32, б.

Аналогично составляется уравнение, когда груз находится правее сечения I—I:

I 'M " = Л<<% -*2-3 *1-3 = 0,

откуда Ni-з = 4 4 ^ - , правая ветвь линии влияния (рис.1.32, б). ^2-3

Воспользовавшись правилом построения линий влияния при уз­ ловой передаче нагрузки, получим передаточную прямую.

Для определения линии влияния Азд, верхнего пояса фермы с непараллельными поясами проводим сечение I—I. Составляем урав­ нение равновесия всех сил, приложенных к правой части фермы (груз левее сечения I—I) относительно моментной точки 2 :

Г И ? " * RB(/ - а2)+ЛГ7_8 Vg = 0,

®7-8

54

Графическое изображение данного выражения является левой ветвью линии влияния, показанное на рис. 1.32, в.

Аналогично составляется уравнение, когда груз находится правее сечения I—I:

ЦМ™ = RAa2N7_i &7_8 =0,

Воспользовавшись правилом построения линий влияния при уз­ ловой передаче нагрузки, получим передаточную прямую.

Для построения линии влияния Ag_4, раскоса фермы с непарал­ лельными поясами проводим сечение I—I. Составляем уравнение равновесия всех сил, приложенных к правой части фермы (груз ле­ вее сечения I—I) относительно моментной точки О:

2 Mg*" = RB(/ + а) —ЛГ8_3 Ьц_з= 0 ,

откуда ЛГ8_з = RB (/ + а) , получаем графическое изображение дан­

ного выражения, являющегося левой ветвью линии влияния (рис. 1.33, б).

Аналогично составляется уравнение, когда груз находится правее сечения 1—1:

2 Л / Г = Лл * + ЛГ8_з 4,_3 = 0 ,

откуда ЛГ8_3 = а , получаем правую ветвь линии влияния tfc-з

(рис. 1.33, б). Воспользовавшись правилом построения линий влия­ ния при узловой передаче нагрузки, получим передаточную прямую.

Для определения линии влияния N ^ , раскоса фермы с парал­ лельными поясами проводим сечение 11—11. Моментная точка в этом случае находится в бесконечности, так как верхний и нижний пояс параллельны. Применим метод проекций. Когда груз Р - 1 на­ ходится между узлами 4 и 14 (правее панели 3—4) рассматриваем равновесие левой отсеченной части фермы (рис. 1.33, а). Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:

Л уш = RA - N9_4sinа = 0,

R

откуда NQ_A = -г-4- , по данному выражению строим левую ветвь srn a

линии влияния (рис. 1.33, в).

55

Пусть теперь груз расположен между узлами 1 и 3 (левее панели 3—4), рассматриваем равновесие правой части фермы:

= Rg + 4 sin а = 0 ,

-Дд откуда Л 9_4 = -г-* -, по которому строим правую ветвь линии вли-

sina

яния. Прямая (3'—4') — передаточная прямая.

В заключении рассмотрим пример построения линии влияния в элементе четвертой категории.

Построим линию влияния в стойке К2 (элемент четвертой кате­ гории) фермы с двухъярусными шпренгелями (рис. 1.34, а). Извест­ но, что линия влияния в этом случае может быть построена сог­ ласно выражению

тде Fj *— линия влияния в основной ферме; К2Л Ш* и у£Р-ш — ли­

нии влияния левого и правого шпренгелей.

При построении линий влияния в элементе К2 следует провести передаточные прямые (пунктирные линии на рис. 1.34, г) при езде

%

1.16.Невыгоднейшее загружены линии влняння.

Критический груз

Рассмотрим движение связанной системы сосредоточенных сил, характеризующих собой давление колес поезда по заданной и, в общем случае, полигональной линии влияния (рис. 1.35). Если для каждого из последовательных положений поезда, определяемых ко­ ординатой х, вычислять значение усилия S, то можно построить график зависимости S = S(x), представляющий собой полигональ­ ную линию, изломы которой соответствуют нахождению одного из грузов над одной из вершин линии влияния.

Очевидно, что при некотором значении х = х0 этот 1раф ик мо­ жет иметь максимум 5 ^ , определяющий наибольшее возможное значение искомого усилия. Ясно, что при х * х 0 будет иметь место неравенство S{x) < 5 ^ .

Для полигональной линии влияния и при сосредоточенных си­ лах, эта ситуация реализуется только в том случае, если одна из системы подвижных сил располагается над одной из вершин линии влияния. Этот груз, располагающийся над вершиной линии влия­ ния и доставляющий усилию S наибольшее возможное значение, принято называть критическим, а соответствующее расположение поезда — невыгоднейшим загружением линии влияния.

Если известно невыгоднейшее загруженис линии влияния, то вычисление максимально возможного усилия сводится к формуле:

s - А Л + h Й+---1Л Уп= I А л •

На практике часто встречается случай треугольной линии влия­ ния (рис. 1.36). Расположим поезд таким образом, чтобы один из грузов находился над вершиной линии влияния. Пусть груз Р/ критический, тогда:

38

где Vм*' и Упров-- равнодействующие сил, действующих слева и справа от Р/ соответственно.

При сдвиге поезда влево или вправо на расстояние Ах* 0 при­ ращение усилия

А5 — S —Smay < 0.

Отсюда имеем - при сдвиге поезда влево

Таким образом, если для какого-либо груза Р{ осуществляется одновременное удовлетворение двух неравенств (1.30) и (1.31), то по определению этот груз является критическим.

В практических задачах приходится иметь дело со строго опре­ деленными типами, подвижных нагрузок — поездами. Для каждого заданного поезда значение 5^** будет определяться лишь положе­ нием вершины линии влияния и ее дпинойДля каждого типа поез­ да вычисляют при различных длинах линии влияния с раз­ личными положениями вершины треугольника и вводят условную, равномерно распределенную нагрузку ?экв, для которой

эквивалентная равномерно распределенная нагрузка при классе К= 1 и езде по прямолинейному поясу фермы (см. табл. 1.2, при-

59

линии влияния; а — проекция наименьшего расстояния до конца линии влияния, м), ю — площадь линии влияния под грузом 4Э|СВ.

1.17.Расчет плоской фермы (задача № 5)

Для металлической фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распре­ деленного по всей длине q = 100 кН/м, высота фермы Н * d = 2 м, нагрузка на крюке тележки 0 = 500 кН; движение тележки пред­ полагается по нижнему поясу фермы (рис. 1.37), требуется:

1.Определить аналитически усилия Щ, V4, Ds в элементах фермы (рис. 1.37, в, г).

2.Построить линии влияния усилий в тех же элементах, опре­ делив числовые значения их ординат.

3.Вычислить суммарные (расчетные) усилия в элементах фермы

от постоянной нагрузки q и временной нагрузки PQ .

4. Загрузить одну линию влияния (по выбору) постоянной на­ грузкой q, определить усилие и сравнить его с полученным в ана­ литическом расчете по п.1.

60