книги / Строительная механика.-1

Получим матрицу влияния поперечных сил

5.Определение векторов изгибающих моментов

ипоперечных сил

Векторы (матрицы-столбцы) изгибающих моментов и попереч­ ных сил могут быть определены с помощью матриц влияния мо­ ментов и поперечных сил по формулам: M =LMP H Q=LQP. По­ лучим эти векторы от вектора нагрузки Р, характеризующей данную систему (п. 2):

31

6. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Компонентами вектора моментов М являются величины изги­ бающих моментов в соответствующих сечениях балки от нагрузки, полученной в п. 2. Откладывая эти величины в масштабе от базис­ ной линии в соответствующих сечениях балки (рис. 1.18, г), полу­ чим эпюру изгибающих моментов (на участках, где действует рас­ пределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).

Для построения эпюры моментов от заданной нагрузки следует полученную эпюру на каждом из участков, где действует распреде­ ленная нагрузка, сложить с эпюрой моментов от распределенной нагрузки в пределах одного участка, если рассматривать этот учас­ ток как самостоятельную балку на двух шарнирных опорах (см.

32

1.10. Расчет трехвярнпрных арок ■ рам. JII B I I вливая опорных реасцпй ■ усилий

Трехшарнирной аркой называется трехшарнирная система из двух криволинейных брусьев (рис. 1.20, а). Трехшарнирные арки

34

где М6 - ординаты балочной эпюры моментов от внешней нагрузки; / - ординаты оси балки и эпюры моментов в криволинейной балке от единичного распора.

С расположением среднего шарнира момент в арке должен быть

Окончательная эпюра моментов в арке показана на рис. 1.20, д. На рис. 1.20, е эта же эпюра, отложенная от горизонтальной линии,

—«спрямленная эпюра».

Вописанном подходе использован принцип выбора основной системы, которая получается из заданной путем введения и отбра­ сывания некоторых связей. Этот принцип широко применяется в классических методах расчета статически определимых систем, как

вданном случае, и в случаях расчета некоторых сложных стати­

чески определимых ферм.

К распорным системам относятся также сложные арки, элемен­ ты которых представляют сами по себе стержневые системы фермы (рис. 1.21, а) или рамы (рис. 1.21, б).

Продольные и поперечные силы в любом сечении арки или ра­ мы определяются из условия равновесия части системы, распо­ ложенной по одну сторону от рассматриваемого сечения. Пред­ варительно заметим, что сумма вертикальных сил, приложенных

35

слева от заданного сече­ ния, равна балочной по­

перечной силе Gjf в

спрямленной балке, сво­ бодно лежащей на край­ них опорах арки и на­ груженной заданной вертикальной нагрузкой.

Проектируя все си­ лы, действующие слева от сечения х = о, на на­

правление касательной к оси арки в точке А (рис. 1.22, а), получим выражение для продольной силы

где фА— угол касательной к оси арки в точке А.

Проектируя те же силы на направление нормали к оси арки, по­

Если на арку действует не только вертикальная, но и гори­ зонтальная нагрузка Р, то вместо распора Я в формулах (1.22) и (1.23) следует брать сумму всех горизонтальных сил, действующих

триситет е ее действия в сечении арки, который определит точку пересечения равнодействующей внутренних сил в сечении арки с плоскостью этого сечения (рис. 1.22, б).

Геометрическое место таких точек, построенных для всех сече­ ний арки, называется кривой давления арки. Она представляет со­ бой линию действия внутренней силы, передающейся вдоль арки. Отношение QJNAравно тангенсу угла между касательными к кри­ вой давления и к оси арки в том же сечении.

В особых случаях кривая давления может совпадать с осью арки. При этом изгибающие моменты iio всей длине арки будут равны нулю. Такой случай будет иметь место, например, при нагружении круговой арки равномерной радиальной нагрузкой или при нагружении параболической арки равномерной верти­ кальной нагрузкой. Очертание оси арки, совпадающее ,с кривой давления, является оптимальным, т.е. наиболее выгодным при данной нагрузке.

36

В линейно-деформируемых системах с линиями влияния можно осуществлять простые арифметические действия: сложение, вы­ читание и умножение на постоянную величину, как с обычными числами или векторами. Учитывая это, можно воспользоваться для построения линий влияния моментов, поперечных и продольных сил в трехшарнирных арках формулами (1.18), (1.22), (1.23), при­

чем линии влияния балочных моментов МА и балочных попе­

речных сил QA строятся как в обычной однопролетной балке, а ли­

нии влияния распора Я легко построить по формуле (1.20), как ли­

нию влияния балочного момента МА6 , деленную на стрелку арки/. • Построение линий влияния в арке таким способом показано на рис. 1.23 и 1.24.

При выполнении расчетов для построения линий влияния в арке применяется и другой способ, называемый способом нулевых точек, который будет продемонстрирован ниже при расчете трех­ шарнирной арки и рамы.

37

1.1Ь Расчет трехшарнврной арки (задача № 3)

Для трехшарнирной арки с очертанием оси по квадратной па­ раболе (рис. 1.25, а) необходимо:

1.Определение вертикальных опорных реакций и распора.

2.Определение внутренних усилий M f, Qx и NX B сечении К—К

от нагрузок Р яд, аналитически.

3. Построить линии влияния изгибающего момента Мк , попе­ речной силы Окя продольной силы Л^для сечения К—К.

4. Вычислить величины Мк, QK и по линиям влияния от за­ данной нагрузки Р и q и сравнить их со значениями, определен­ ными аналитически (п. 2 задания).

Реш еяш е

1.Определение вертикальных опорных реакций и распора

Предварительно необходимо начертить строго в масштабе рас­ четную схему оси арки, ординаты которой должны быть вычислены по ее уравнению

ные реакции (распор) На и Нр вычисляем из уравнений равовесия системы. В данном примере имеем:

ХМЛ=й,-У, 16 + ?12+?-8 4 = 0, Vg =— — ^'8 4 = 34кН;

38

simpjf-0,832 a совф^4),555 ztT^u

Рис.1.25

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­ тавим следующие неиспользованные уравнения равновесия систе­ мы:

ЪУ = 0, VA - q * - P + VB =О,

Уравнения тождественно удовлетворяются. Следовательно, вер­ тикальные опорные реакции и распор определены верно.

2.Определение внутреннихусилий MR , С* и NR возникающих

всечении К—К от нагрузок q и Р, аналитически

Внутренние усилия M R , QR и NR , возникающие в заданном сечении от нагрузок q и Р, вычисляем по формулам (1.18), (1.22), (1.23) соответственно:

м к = м $ - н лУ к -,

NK = “0 $ sin 9K - ЯЛ COS<pjr ,

где м \ , 0$ — изгибающий момент и поперечная сила в сеч. К—К

двухопорной балки с пролетом, равным пролету трехшарнирной ар­ ки и загруженным той же нагрузкой; yR — ордината оси трех­ шарнирной арки в сечении К—К, <р*— угол наклона касательной к оси трехшарнирной арки в сечении К—К.

При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в балках, а для продольной силы N в арочных системах поло­ жительным принято считать сжатие.

40