книги / Строительная механика.-1

Балка EF является дополнительной и прикреплена к неизменя­ емой системе шарниром Е, эквивалентным двум связям, а к земле - опорным стержнем F, направление которого не проходит через шарнир Е, и поэтому эта балка также геометрически неизменяема.

Таким образом, данная многопролетная статически определимая балка является геометрически неизменяемой.

2.Построение эпюр изгибающих моментов М

ипоперечных сил Q от заданной нагрузки

Для построения эпюр изгибающих моментов М и поперечных сил Q для многопролетной статически определимой балки необхо­ димо отдельно построить эпюры для каждой балки (основной и до­ полнительных), а затем их совместить. При этом определение

21

ординат изгибающих моментов и поперечных сил следует вначале проводить для таких дополнительных балок, опорные реакции ко­

Так как сосредоточенная сила Р приложена в середине пролета, то

солью имеет три участка (рис. 1.16, а). На консоли в точке Е от до­ полнительной балки EF действует сила Р/2 = 5 кН.

Опорные реакции определяем из уравнений равновесия балки:

1 Л /с = 1 0 3 + 5 - 9 - Л д -6 = 0 , откуда

RD = 10-3 + 5 .9 = 12.5 кН;

'ZMD - -10-3 + 5 -9 + /^7 *6 = 0 ,

откуда

10-3-5-3 =*2.5 кН.

Обязательным является проверка правильности вычисления опорных реакций. В нашем случае

22

92З2

-2.5-3 + 3 ~ - 3 * 4 г

Проверим правильность вычисления опорных реакций по урав­ нению:

23

^ У = ВА+Вв-3q-Rc =11.167+27.333-36-2.5 =

= 38.5-38.5 = 0.

Отсюда следует, что опорные реакции определены правильно. Для определения в пролете балки найдем вначале значение х*, при котором dM/dx = 0 = 0. Приравнивая выражение для Q на этом участке нулю, получим:

= 0 ,

откуда

я3

Подставляя найденное значение х* = 3.73 м в аналитическое выражение для изгибающего момента на I участке, найдем значение

24

Qi = RA - q - 3 = 11.167-3.3 = 2167 KH.

3. Построение линий влияния Af и Q для сечения 1

Построение линий влияния внутренних силовых факторов М и Q выполним статическим способом в следующем порядке:

-устанавливаем взаимодействие основной и дополнительных ба­ лок по «этажной» схеме (рис. 1.14, б);

-строим линии влияния внутренних усилий для однопролетной балки, в которой находится рассматриваемое сечение (см. мето­ дические указания к построению линий влияния в балках п.1.6 и рис. 1.8 и 1.9);

-полученную линию влияния распространяем на всю длину многопролетной балки с учетом узловой передачи нагрузок. При этом следует иметь в виду, что при положении груза Р —1 над опорами балок внутренние усилия во всех сечениях равны нулю;

-определяем из подобия треугольников значения ординат. Характерные из них указываем на линиях влияния, причем по­

ложительные ординаты откладываем вверх. Характерными точками линий влияния являются точки перелома под шарнирами.

Построим линии влияния М\ и 01 в сечении 1 (рис. 1.14, д, е). Сечение 1 находится в основной однопролетной балке с консолью. Поэтому для нее линии влияния строятся, как для однопролетной балки с консолью. При их построении необходимо рассмотреть по­ ложение груза Р= 1 правее и левее сечения 1.

Левая и правая прямые линии влияния момента пересекаются под сечением 1, а линии влияния поперечной силы в этом случае имеют скачок на величину, равную единице. Ордината изгибающего

момента под сечением определяется по формуле Р ^ - =

1- ^ - ^ = 2 м, где я = 3 м и Ь = 6 м — расстояния от сечения 1 до

опор А и В соответственно; / =9 м — пролет балки.

Далее линии влияния М\ и Q\ распространяются на правую па­ нель, т.е. правую прямую следует продлить до конца консоли. Влияние дополнительных балок учитываем по правилу узловой передачи нагрузок следующим образом.

Так как ордината линии влияния в сечении 1 равна нулю, когда груз расположен над опорами D и F, то с конца консоли балки АВС проводим прямую, проходящую через нуль в сечении D и продол­ жаем до конца консоли балки CDE, откуда проводим прямую, про­ ходящую через нуль в сечении F.

25

4. Определение М\ и Q\ от заданной внешней нагрузки с помощью построенных линий влияния

Для вычисления изгибающего момента и поперечной силы по линиям влияния от нагрузки q ее интенсивность умножаем на алге­ браическую сумму площадей соответствующих участков линии влияния. От сосредоточенных сил величину моментов и попереч­ ных сил вычисляем как алгебраическую сумму произведений Pi на величину ординаты У(, взятых на линиях влияния под точками приложения грузов.

Так как в данной задаче многопролетная статически определимая балка загружена равномерно распределенной нагрузкой q и сосредоточенными силами, то изгибающий момент в сечении 1 определяем, пользуясь линией влияния (рис. 1.14, д), по формуле:

£ © * Я = 7.5 • 3 = 22.5 кН м;

к

%р. у. = - Ю • 0.5 +10• 0.25 = -2.5 кН м.

Тогда М\ = 22.5 - 2.5 = 20 кН-м. Полученное значение изгиба­ ющего момента в сечении 1 соответствует определенному аналити­ чески.

Определим значение поперечной силы в сечении 1 по линии влияния 0 | (рис. 1.14, е), пользуясь формулой:

к/

Тогда 01 ® 3 - 0.835 * 2.165 кН.

Полученные значения Q\ вычисленные аналитически и с при­ менением линий влияния практически совпали: разница составляет всего 0.09%.

26

1.9. Р асч ет многопролетных статически определимых балок матричным методом (задача № 2)

Для многопролетной шарнирной балки (рис. 1.18, а) требуется:

1.Проверить геометрическую неизменяемость системы.

2.Заменить распределенную нагрузку сосредоточенными силами

вузлах деления балки на панели и составить вектор нагрузки.

3.Составить матрицу влияния моментов для всех десяти сече­ ний, отмеченных на схеме.

4.Составить матрицу влияния поперечных сил для всех участков балки.

5.Получить с помощью матриц влияния векторы изгибающих моментов и поперечных сил от нагрузки, преобразованной по п. 2.

6.Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от заданной нагрузки.

7.С помощью матриц влияния построить линию влияния изги­ бающего момента в сечении 2.

8.Загрузить эту линию влияния заданной нагрузкой и сравнить значение М с результатом, полученным в п. 3.

Реш ение

1.Проверка геометрической неизменяемости системы

Данная многопролетная шарнирная балка состоит из трех дисков (балок), соединенных двумя шарнирами и пятью связями. Поэтому степень неизменяемости системы равна W - 3D -2U I- -Со = 3-3 - 2 2 - 5 = 0.

Таким образом, система имеет как раз столько связей, сколько необходимо для геометрической неизменяемости. Проверим пра­ вильность постановки связей.

Диск (балка) 1—3 присоединяется к земле тремя связями, обра­ зующими жесткое защемление. Следовательно, эта балка — основ­ ная.

Балка 3—8 соединяется с уже доказанной неизменяемой систе­ мой шарниром 3 и стержнем в точке 6, не проходящим через шар­ нир. Следовательно, эта балка — дополнительная и система балок 1—8 геометрически неизменяемая.

Балка 8-10 соединяется с балкой 1—8 при помощи шарнира в точке 8 и стержнем в точке 10, не проходящим через этот шарнир. Следовательно, эта балка — также дополнительная, и вся система геометрически неизменяемая. «Этажная» схема балки показана на рис. 1.18, б.

27

^ I;^6; V IO

Рис. 1.18

2. Замена распределенной нагрузки сосредоточенными силами и составление вектора нагрузки

Разобьем заданную многопролетную балку на 9 участков, каждый длиной </ = 6 м, и пронумеруем точки деления (рис. 1.18, а). Подсчитаем сосредоточенные силы в каждой из этих точек.

Для этого будем рассмативать каждый участок как балку на двух шарнирных опорах пролетом d и рассчитаем для этой балки опорные реакции от заданной нагрузки в пределах этого пролета. На границе двух участков сумма реакций, направленных в противоположную сторону, даст сосредоточенную силу в точке, являющейся границей двух смежных участков. Система по­ лученных сосредоточенных сил является эквивалентной задан­

«Этажная схема* балки с полученными сосредоточенными си­ лами показана на рис. 1.18, в.

Вектор нагрузки будет иметь вид:

Р т = (Л , Р2, Р3, Л , Ps, Рб, Pi, Ps, Р%Л о) =

=(0; 2; 0; 0; 12; 24; 24; 12; 2; 0).

3.Составление матрицы влияния моментов для всех сечений, отмеченных на схеме

Заметим, что каждый столбец матрицы влияния моментов пред­ ставляет собой ординаты линии влияния в характерных сечениях. Числа этой матрицы не обладают свойством взаимности, т.е. матри­ ца влияния не является симметричной.

Составим матрицу влияния моментов для всех десяти сечений балки, соответствующих точкам деления балки на участки. С этой целью построим десять эпюр изгибающих моментов для заданной многопролетной балки от силы Р = 1, последовательно приложен­ ной в каждой из десяти точек деления балки на участки. Эти эпюры показаны на рис. 1.18, г.

Записав последовательно ординаты каждой из эпюр по сечениям в виде столбцов матрицы, получим матрицу влияния моментов LM:

29

м г щ м 4 Ms М6 М7 м % м 9 Мю

При записи матрицы LMсчитаем, что если изгибающий момент растягивает нижние волокна балки, то ординаты положительные, если верхние, то ординаты отрицательные.

4. Составление матрицы влияния поперечных сил для всех участков балки

Матрицу влияния поперечных сил для всех участков балки мож­ но было бы составить аналогично матрице влияния моментов, т.е. с помощью эпюр Q, построенных от последовательного загружения балки во всех точках деления на участки сосредоточенной силой

Р= 1.

Учитывая, что поперечная сила Q и изгибающий момент М свя­

заны дифференциальной зависимостью Q = ^ ^ — , которая для

ах

Л М п - М п_[

дискретных систем выражается формулой Q = — —— п 1 , матрицу

а

влияния поперечных сил можно получить путем умножения матри­ цы влияния моментов на матрицу перехода от матрицы влияния моментов к матрице влияния поперечных сил.

На основании дифференциальной зависимости между Q и М матрица перехода будет иметь вид:

эо