книги / Строительная механика.-1

Ре ш е н и е

1.Определение аналитически усилия U4, V4, D5

вэлементах фермы

Учитывая симметрию фермы и постоянное по ее длине значение постоянной нагрузки q, имеем

Р= q d - 100.2 = 200 кН;

= 5 ' = 1000кН-

Давление колес на ось двухосной тележки будет равно

'е = т =Х =125кН-

Для вычисления усилий в элементах фермы Щ, V4, D$ пред­ варительно подсчитаем геометрические параметры фермы.

61

Для вычисления усилия в нижнем поясе Щ (рис. 1.37, в) соста­ вим уравнение равновесия моментов относительно точки /я, т.е.

1 Мт = 0 :

RA. A d - Y * d - P l d - P ‘2 d - P d - U t H = Qt

откуда

Для вычисления усилия в стойке V4 составим уравнение 'Zy = 0 (рис. 1.37, в):

R A - 1 - P - P - P - U 4= 0,

Для построения линии влияния усилия в поясе U4 расположим единичный груз Р= I справа от сечения 1—1 (рис.1.38, а).

Составив уравнение '£Мт =0 (рис. 1.38, б), получим значение

ординаты правой прямой линии влияния U4 (рис. 0 7 , е). В нашем случае

62

1,414 1,414

Рис. 1.38

RA 4d-UA H = 0,

откуда

Л ^ = М ^ = 4 .

Нd

Левую прямую линии влияния Щполучим, используя известное

Отметив эти ординаты, получим правую и левую прямые линии влияния V4 (рис. 1.38, и). Между положительной и отрицательной ветвями линии влияния надо провести, так называемую, передаточ­ ную прямую. Она пройдет между узлами с и к нижнего пояса (рис. 1.38, и).

Для построения линии влияния усилия в раскосе D$ восполь­ зуемся сечением 2—2 (рис. 1.38, а).

Рассмотрим груз Р = 1, приложенный справа от сечения 2—2 (рис. 1.38, в) и составим уравнение равновесия:

= RA +D$sin а = О,

При действии груза Р= 1 левее сечения 2—2 (рис. 1.38, д), имеем

ЕУ = R g - X ^ s in a ^ O ,

откуда

1

= L414.

sin a 0.707

Передаточная прямая пройдет между узлами к и г нижнего поя­ са. Линии влияния усилий в элементах фермы U4, V4, D5 приведены на рис. 1.38, е, в, к.

64

3. Вычисление суммарных усилий в элементах фермы от постоянной нагрузки q и временной нагрузки Рд

Загрузим все линии влияния временной нагрузкой в виде пере­ мещающейся по грузовому поясу тележки с давлением на ось Рд (см. рис. 1.38, е, и, к).

Вычислим суммарные усилия в указанных элементах от сочета­ ния постоянной расчетной на!рузки q и временной Рд.

Предварительно вычислим из геометрических соотношений ор­ динаты линий влияния, соответствующие невыгоднейшему положе­

При вычислении суммарного усилия в элементе V4 необходимо загружать временной нагрузкой положительный и отрицательный

4. Загружение линии влияния постоянной нагрузкой q

Загрузим линию влияния U4 постоянной нагрузкой q и вычис­ лим усилие U4 с применением линии влияния. В этом случае

U4 = qa)= 1000.5-2.4.10.2 = 2400 кН,

где ео = 0.5-2.4-10.2 — площадь линии влияния усилия U4

(рис. 1.38, в).

Таким образом, значение усилия в элементе U4, вычисленное аналитически (см. п.1) и по линии влияния, полностью совпадают.

6S

1.18. Расчет шпренгельной фермы на постоянную н временную нагрузку (задача № б)

Для шпренгельной фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распре­ деленного по всей длине фермы (рис. 1.39, а), требуется:

1.Определить усилия в стержнях шпренгельной фермы от соб­ ственного веса фермы q = 40 кН/м аналитическим способом.

2.Построить линии влияния усилий в элементах шпренгельной фермы.

3.Вычислить максимальное усилие в элементе пояса при загру-

жении его линии влияния заданной временной нагрузкой от желез­ нодорожного подвижного состава класса К= 10.

4.Определить то же усилие, что и в п.З, с помощью загружения линии влияния эквивалентной нагрузкой класса К. Сравнить ре­ зультаты, полученные в пп. 3 и 4.

5.Определить усилие в раскосе D\ с помощью загружения его

линии влияния собственным весом фермы q = 40 кН /м и сравнить

срезультатом, полученным в п.1.

Ре ш е н и е

1.Определение усилий в стержнях шпренгельной фермы от собственного веса фермы q = 40 кН /м

аналитическим способом

Равномерно распределенную нагрузку от собственного веса фермы приведем к узловой. Тогда во всех промежуточных узлах за­ данной фермы будет передаваться узловая нагрузка Р — qd =

Основная ферма (без шпренгеяей) и узловая нагрузка, прило­ женная к ней, показаны на рис. 1.39, б.

Из условия симметрии опорные реакции равны .

Аналитически усилия в стержнях фермы определяют при по­ мощи метода сечений.

Дополнительные шпренгельные фермы (шпренгели), изобра­ женные на рис. 1.39, а, передают местную вертикальную нагрузку, приложенную к нижним дополнительным узлам, только в нижние узлы основной фермы. Такие шпренгели называются одноярусны­

66

ми. Элементы ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, можно разделить на следующие три категории:

1)элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих элементах определяются расчетом основной фермы;

2)элементы, принадлежащие только дополнительным шпренгельным фермам (шпренгелям). Усилия в них определяются из ус­ ловий равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который при этом можно рассматривать как самостоятельную двух­ опорную ферму (рис. 1.39, г);

3)элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю.

Усилия в таких элементах равны сумме двух усилий, одно из ко­ торых возникает в элементе основной фермы, а другое — в элементе шпренгеля.

Встречаются шпренгельные фермы, в состав которых входят двухъярусные шпренгели. Отличительная особенность двухъярусных шпренгелей состоит в том, что они узловую нагрузку, приложенную

книжнему поясу, передают в узлы верхнего пояса или, наоборот, —

сверхнего пояса на нижний. Элементы таких шпренгельных ферм делятся на четыре категории: первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями; элементами четвертой категории яв­ ляются те элементы основной фермы, линии влияния для которых имеют различный вид при езде поверху и при езде понизу. Расчет ферм с двухъярусными шпренгелями проводится с учетом этой особенности и подробно рассмотрен в учебнике [4].

Для определения усилия Oi в стержне 4—6 заданной фермы, яв­ ляющимся элементом первой категории, проведем в основной ферме сечение I—I. Моментной точкой для определяемого усилия

является точка 4' (рис. 1.39, б). Составив уравнение равновесия ле­ вой отсеченной части фермы £ Л /4/ = 0, получим

S4 - 4 d - P 4 d - 2 P - 2 d + O1 H = 0,

= 1600 кН.

Усилие £ | в раскосе 4 —5, элементе третьей категории, опреде­

ляем как сумму двух усилий, одно из которых D\ действует в эле­

менте основной фермы, а другое Дш— в элементе шпренгеля.

67

ff=U)u

Рис. 1.39

Таким образом, суммарное усилие Щв элементе б'—7' нижнего пояса

UA= U?+Uf = 1800 + 100 = 1900 кН.

Усилие D,2в раскосе 5-6', элементе второй категории, определяем из условия равновесия Еу = 0 узла 6', вырезанного сечением III—111 (см. рис. 1.40):

Для определения усилия V\ в стойке 2—2', элементе первой ка­ тегории, вырежем узел 2' в основной ферме (см. рис. 1.39, б, сече­ ние IV—IV) и составим уравнение его равновесия Ъу = 0:

V\ - 2 Р = 0.

Решив это уравнение, получим V\ = 2 Р = 2-200 = 400 кН.

2. Построение линий влияния усилий в элементах шпренгельной фермы

Груз Р= 1 перемещается по нижнему поясу фермы. Для по­ строения линии влияния усилия А в раскосе 4'—5, элементе треть­ ей категории, воспользуемся сечением I—I (см. рис. 1.39, а). Если груз находится справа от сечения, то уравнение правой прямой ли­ нии влияния усилия А находим из условия равновесия левой от­ сеченной части фермы:

Рассмотрим второй случай, когда груз Р= 1 находится слева от сечения. Тогда уравнение левой прямой линии влияния усилия А определим из условия равновесия правой отсеченной части фермы:

Уравнения прямых линии влияния усилия А° могут быть по­ лучены умножением ординат линии влияния опорной реакции RA на постоянный коэффициент -1/sina, а левая прямая — умно­ жением ординат линии влияния опорной реакции RB на коэффи­ циент 1/sina.

70