книги / Строительная механика.-1

шарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.

На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис. 2.11, а), линейные смещения уз­ лов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис. 2.11, б) является

ных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу же­ стких узлов: п = пу. В нашем примере л = 3.

В качестве другого примера рассмотрим раму, изображенную на рис. 2.12, а, число жестких узлов которого равно 2. Следовательно, лу = 2.

Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис. 2.12, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений пА= 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изо­ браженной на рис. 2.12, а, равно л = 2+1 = 3.

2.6. Основная система. Канонические уравнения метода перемещений

При расчете методом перемещений заданная система расчленя­ ется на однопролетные статически неопределимые балки путем вве­ дения дополнительных связей, позволяющих исключить все ли­ нейные и угловые перемещения узлов заданной системы.

Получаемая в резуль­ тате система называется

основной системой метода перемеще­ ний. Например, для

101

система будет иметь вид, представленный на рис. 2.13, б. При этом

п- П у +пл = 6 + 2 = 8.

■Поскольку в заданной системе имеют место и повороты, и ли­

нейные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь равенства нулю ре­ акций во всех введенных связях, сопротивляющихся этим поворо­ там и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основ­ ная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.

Обозначая через /?|, Л2, Rn величины реактивных мо­ ментов и усилий в п -м количестве дополнительно введенных элементов основной системы, математическая формулировка усло­ вий эквивалентности заданной и основной систем будет иметь вид:

Для раскрытия выражений реакций Rj (/' = 1, 2,..., /I), введем сле­ дующие обозначения:

2/ (/ = 1, 2,..., л) — линейные и угловые перемещения узлов за­ данной системы при действии системы внешних сил;

(*» k = l, 2,..., л) — реакция в i-й, дополнительно введенной связи от перемещения Z* = 1;

RiPq (/ = 1, 2,..., л) — реакция в /-й, дополнительно введенной связи основной системы от действия заданной системы внешних сил.

С учетом принятых обозначений, суммарную реакцию в /- й до­ полнительно введенной связи, можно записать в следующем виде:

Для того чтобы основная система стала эквивалентна заданной, полную реакцию Л/ (/ = 1, 2,..., л) во всех введенных связях основ­ ной системы, согласно (2.16), необходимо приравнять нулю

E f t Zt + PiPq = 0, (| - 1, 2, 3,..., л),

кш1

или в развернутой форме:

/1, Z] + г12Z 2+ -+ /i„ Zn + ^ = 0;

ri\ Z\ + r22 Z 2+ - + r 2„ Zn + R2Pq = 0;

rn\ Z\ + T"n2 Z 2+*--+r/j/J Z n + R^pq = 0.

102

Здесь неизвестными янляются перемещения Z/ (/ = 1, 2,..., л), т.е. возможные перемещения узлов заданной системы по направлению введенных связей в основной системе.

Уравнения (2.18) называются каноническими уравнениями метода перемещений. Коэффициенты этих уравнений обладают свойством симметрии г,* = Гм, что следует из теоремы о вза­ имности реакций, примененной к основной системе метода пе­ ремещений.

Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия рав­ новесия рамы.

Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.

Для определения коэффициентов /у& и свободных членов Яц>д системы канонических уравнений метода перемещений (2.18) необ­ ходимо предварительно построить эпюры моментов в основной сис­ теме от заданной системы внешних сил и от единичных переме­ щений Z/ = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены урав­ нений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных допол­ нительных элементах; коэффициенты и свободные члены, пред­ ставляющие реактивные усилия во введенных дополнительных эле­ ментах основной системы.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов £ Л /= 0, согласно методу сечений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных связях основной системы, определяются раз­ резанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части hy = 0. При этом направление оси у вы­ бирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.

Следовательно, для того чтобы построить эпюру моментов в ос­ новной системе от действия системы внешних сил и от 2} = 1 (| = 1, 2,..., и), необходимо предварительно определить эпюру мо­ ментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополни­ тельных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реали­ зации метода перемещений необходимо предварительно рассмот­ реть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в од­

103

нопролетных статически неопределимых стержнях при кинема­ тическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.

2.7. Определение реакций в однопролетных статически неопределимых стержневых элементах

Сначала определим выражения изгибающих моментов и попе­ речных сил в однопролетных балках при единичных угловых пере­ мещениях или при единичных относительных линейных смещениях концевых сечений (рис. 2.14, а).

Дифференциальное уравнение изгиба балок с постоянным по­ перечным сечением при отсутствии внешних нагрузок, действу­ ющих в пролете, записывается в виде

С учетом 1раничных условий задачи (2.22) из (2.20) и (2.21), по-

с* = уъ; с3 - ф о ; с{ Р + с2 Р + ф0 / + у0 = y j ;

104

В результате совместного рассмотрения уравнений (2.23) полу­ чим выражения произвольных постоянных С/ (/' = 1,2,3,4), представ­ ленное в следующем виде:

с3 = ф 0 ; с4 =у0.

Далее определим выражения Ми Q

Для примера вычислим значения Ми Qв концевых сечениях для балки с двумя защемленными концами при <ро = 1. В данном случае имеем: Ф1= У1 шУо= О-

Подставляя эти значения в (2.24) получим

Результаты расчетов эпюры моментов и поперечных сил для однопролетных статически неопределимых балок с различными граничными условиями их закрепления и при различном характе­ ре кинематического на1ружения обобщены в таблице 2.4 (пп. 3, 4, 8, 9). Причем ординаты эпюры моментов отложены со стороны рас­ тянутого волокна.

Для определения эпюры моментов в однопролетных статически неопределимых балочных элементах основной системы от действия внешних сил, удобно применить метод сил. Так, например, одно­ пролетная балка, изображенная на рис. 2.14, б, трижды статически неопределима. А балка, изображенная на рис. 2.14, в, один раз ста­ тически неопределима.

Для удобства результаты расчетов эпюры моментов однопролет­ ных статически неопределимых элементов, с различными гра­ ничными условиями их закрепления, от действия наиболее часто встречающихся силовых и температурных нагружений, обобщены в таблице 2.4 (пп. 1, 2, 5 ,6, 7,10).

105

Таблица 2.4

Формулы

106

П р и м е ч а н и е . 1) ординаты отложены со стороны растянутого волокна; 2) А - высота поперечного сечения; а - температурный коэффициент линейного расширения.

При неравномерном нагреве по высоте поперечного сечения балки и при равномерном нагреве по ее длине, изгибающие мо­ менты и поперечные силы определяются согласно общеизвестных выражений

где a — температурный коэффициент линейного расширения; Л — высота поперечного сечения; х — независимая переменная 0 < х < /;

/— длина элемента.

Взаключении заметим, что применяя метод перемещений, сле­ дует твердо придерживается какого-либо определенного правила знаков. Принять, что углы поворота опорного сечения, а также ре­ активный момент, действующий на балку со стороны заделки, по­ ложительны, если в результате оси поворачиваются по часовой стрелке. Линейное смещение узла принято положительным, если оно совпадает по направлению с положительной реакцией, вызыва­ ющей растяжение опорного сечения стержня.

2.8. Пример расчета плоской рамы методом перемещений (задача № 8)

Рассчитаем плоскую раму (рис. 2.15, а) методом перемещений и выполним при этом все необходимые проверки. Последователь­ ность расчета следующая.

107

1. Определение степени кинематической неопределимости

Степень кинематической неопределимости определяем по фор­ муле

п = пу + пл ,

где пу — число неизвестных углов поворота, равное всегда коли­ честву жестких узлов рамы, исключая опорные; пл — число незави­ симых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геомет­ рической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из за­ данной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.

В заданной раме пу = 1. Для определения пл вводим во все жест­ кие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим степень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис. 2.15, б) по формуле

Пл“ Wm 2 У - С - Соп,

где У—5 — число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опор­ ные; С * 4 — число стержней в шарнирной схеме рамы; Соп - 5 — число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы.

/,-4м к -!------ *и -2— н

Основнм Л систем»

108

Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема. Действительно, под действием силы Р узлы А, В и D могут переместиться влево, так как левый конец ригеля АВ этой системы опирается на шарнирно-подвижную опору А, не препятствующую этому перемещению.

Таким образом, заданная рама имеет одно угловое и одно ли­ нейное неизвестное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно двум:

п = пу + пл = 1 + 1 - 2.

Заданная рама дважды кинематически неопределима.

2. Получение основной и эквивалентной систем метода перемещений

Основную систему метода перемещений получаем путе^ поста­ новки дополнительной заделки в узле В, препятствующей неизвест­ ному угловому перемещению, и дополнительного горизонтального опорного стержня в опоре А, препятствующего неизвестному ли­ нейному перемещению (рис. 2.15, в).

Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями Z\ и , равными по величине действительным пе­ ремещениям заданной системы, получим эквивалентную систему, деформирующуюся тождественно заданной (рис. 2.1S, г).

3. Составление канонических уравнений метода перемещений

Как было указано выше, суммарная реакция в каждой дополни­ тельно введенной связи от всех действующих в эквивалентной сис­ теме факторов равна нулю, так как эквивалентная система пол­ ностью совпадает с заданной (в которой эти связи отсутствуют), и реакций в них быть не может.

В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:

|fn Zi +rn Z2 +RiFq =0',

j/ il Zj + /^2 Z j + R2pq = 0.

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и проверка правильности их вычисления

4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Для определения коэффициентов необходимо построить еди­ ничные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной сис­ теме метода перемещений. Для их построения используются таб-

109