книги / Строительная механика.-1
.pdf4.Определение круговой частоты вынужденных колебаний
иизображение примерного вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вынужденных и собственных колебаний
Встационарном режиме круговая частота вынужденных колеба ний системы имеет значение
© = 2тш/60 = 6.28-600/60 = 62.8 с*1.
Сопоставим величину © с величиной ближайшей собственной частоты рамы coi
Д = 6 2 8 ~ 598 100% = 4.94 < 30%. 62.8
Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину ©1 или ©. В данном случае, принимая п = 900 об/мин, получим
© = 2ял/60 = 6.28-900/60 = 94.2 с 1;
Л = ——— • 100% = 94.2-59.8 100% 35.52 > 30%.
©94.2
Следовательно, при © = |
94.2 с-1 при |
|
|
|
|
нятое условие во избежание резонансных |
|
|
|
||
колебаний выполняется. |
|
|
|
|
|
Примерный вид 1рафика |
коэффици |
0>1 |
©2 |
0' |
|
ента динамичности, в зависимости от |
|||||
|
Рис. 5.11 |
|
|||
©/©1, изображен на рис.5. 11. |
|
|
|
||
5.Определение амплитудных значений инерционных сил
В соответствии с принятым обозначением по формулам (5.34) и (5.35) последовательно определяем:
Sti |
= Sn |
- |
= |
14.25• 10-6 - |
_ -. - ГТТг = |
'О '6 м/кН; |
||
|
|
|
т ©2 |
204-94.22 |
|
|
||
6 2 2 * 8 2 |
2 ------Ц - = 162.83 -10" 6 |
1 |
■= 107.59-Ю"6м/кН; |
|||||
2.04-94.2 |
||||||||
22 |
22 |
«2 |
|
|
||||
|
|
|
т |
® 1 |
|
|
|
|
pi |
= ?г |
|
А |
0 2 е = J^ -9 4 .2 2 • L5 • 10"2 = 16.28 кН: |
|
|||
|
g |
9.81 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
А°1Р = Sn P?+Sx2 P2 = 16.28• (14.25 - 24.425)■10"* = = -1.66-10“4м /к Н ;
211
4 r « W f + < ^ 2° = 16.28-(-24.425+ 162.83)-ИГ6 = = 22.53-Ю ^м /кН ;
i>l = 5 12A\ tP - 622 4 * |
= (" 24 425 •2253 + 107 59 *L66) - Ю" 10 = |
= -3.72 • ЮГ8 M2/ KH; |
|
Jh = 8214 ^ " 5 И 4 , ? |
= (24.425 ‘ 1.66 + 4L00 • 2253) - IO" 10 = |
= 9,64 • 10"8M2/ KH; |
|
D = $;i6-U-Sll = (-41.00-107.59 - 24.4252)-10~12 = -0 .5 -10'8M2 / кН.
По (5.33) определяем амплитудные значения инерционных сил
Z \ —IA /D |= |
|3.72/0.5| = |
7.44 кН; |
Z 2° = \IhJD |= |
|9.64/0.5 |= |
19.28 кН. |
6. Определениеэпюры изгибающихмоментов от действия собственного веса вибраторов и амплитудных значений изгибающихмоментов при вынужденном стационарном
режиме колебаниярамы
Значение изгибающих моментов, возникающих от действия соб ственного веса вибраторов, в произвольном сечении определяется по формуле
М ? = GMPl+GMp2 =G(MPi+Mp2).
Определяем значение М™ в характерных сечениях (0; 1; 2; 3)
рамы (см. рис. 5.9):
с е ч е н и е 0: М™ = 20(9/8 - 3/2) = -7.5 кН-м;
с е ч е н и е 1: Af1CT = 20-(-15/16 + 3/4) = -3.75 кН-м;
с е ч е н и е |
2: |
= 0; |
|
с е ч е н и е |
3: |
20(0 + 3) = 60 кН-м. |
|
Эпюра изгибающих моментов |
приведена на рис. 5.12. |
||
Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерционных нагрузок в соответствии с (5.37) определяются:
= М, , (z ? + |
+ Л/Л ( z 2° + р{) = Мр2 (7.44 + 16.28) + |
+ А/л(19.28+16Д8) = 2 3 7 2 + 3 5 56Мц.
т
Согласно последней формуле М £
ет следующие значения: с е ч е н и е 0:
М § = 23.72 • | - 35.56 •| = -26.7 кН м ; с е ч е н и е 1:
М ? = -23.72 •~ +35.56 ~ = 4.4 кН м ;
1 |
16 |
4 |
с е ч е н и е |
2: |
= 0; |
с е ч е н и е |
3: |
|
M f = 23.72 • 0 + 35.56 • 3 = 107.0 кН м.
в характерных сечениях име
3,75; 4,4; 8,15 J
р г ^ 1
60; 107; 167
М ? ', и ; - , и 0 -
= 7,5; 26,7; 34,2
1
Рис. 5.12
Эпюра М £ изображена на рис. 5.12 (пунктиром).
7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции
Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сечениях при одновременном действии статических и динамических на1рузок, определяется по формуле
Mk = M f +M*.
Эпюра Мк, как и эпюры |
и М £, изображены на рис. 5.12. |
Из рис. 5.12 согласно эпюре М, следует, что наиболее опасным является сечение 3.
8.Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении
<*3 |
* з . |
167 |
2Wx |
= 53185 кН/м2 = 53.2МШ <R = 190 МПа. |
|
|
2 • 0.157 • 10-2 |
Следовательно, условие прочности рассматриваемой рамы обес-
5.7.Сейсмические колебания системы с конечным числом
степеней свободы
В теории расчета сооружений на сейсмические воздействия (теория сейсмичности), как и в других областях динамики различ ных механических систем, обычно применяются расчетные схемы с
213
распределенными и дискретными параметрами (массами). Система с дискретными параметрами хотя и носит приближенный характер, но более универсальна и можно получить решение для системы любой сложности, вследствие чего наиболее часто применяются в инженерных расчетах.
Для получения динамичных расчетных схем в виде системы с конечным числом степеней свободы, фактическая распределенная масса система концентрируется в определенных местах в виде мате риальных точек. В итоге получается невесомая система, несущая определенное количество сосредоточенных масс. Число степеней свободы система равно числу независимых геометрических пара метров, однозначно определяющих положение сосредоточенных масс в произвольном моменте времени.
Массы рассматриваемой системы целесообразно сконцентриро вать в местах, где сосредоточены значительные нагрузки. Достовер ность и точность ре зультатов расчета в значительной мере за висят от удачного вы бора расчетной схемы, ее соответствия факти ческим условиям рабо
ты сооружения.
В качестве примера рассмотрим методику расчета здания, име ющего п этажей на сейсмическом воздей ствии. Сконцентриро вав массу здания на уровнях перекрытия и фундаментной плиты,
получим систему в виде консольного стержня жестко заделанной в фундаментной плите, лежащей в условиях полного прилипания на поверхности упругого инерционного основания (рис. 5.13).
Будем рассматривать поперечные колебания стержня в плос кости (zy). Начало системы координат поместим в центре тяжести подошвы фундамента сооружения. Жесткость стержня по высоте изменяется по произвольному закону. На характер деформаций стержня не накладывается никаких ограничений, кроме требования линейной деформируемости.
Положение системы в произвольный момент времени t > 0 оп ределяется линейными горизонтальными смещениями (у* + у0), (/ = 1 ,2,..., п + 1) (рис. 5.13).
Так как >^(0 есть перемещение грунтов основания при земле трясении на свободной поверхности земли, в предположении от сутствия сооружения, то оно здесь принимается заранее заданной величиной. Следовательно, если нам удастся определить величины yi (f) (/ = 1, 2,..., л + 1), мы через значения этих величин в произ вольный момент времени можем определить положение заданной системы.
Отсюда следует, что рассматриваемая система, располагая (л + + 1) количеством сосредоточенных масс, имеет (л + 1) степеней свободы.
Колебания линейной системы при заданном внешнем кинема тическом воздействии уо(() полностью определяется ее инерцион ными и деформативными свойствами и параметрами рассеивания энергии. Инерционные свойства рассматриваемой системы харак теризуются сосредоточенными массами /Я/ (/ = 1, 2,..., л + 1) и ха рактером их распределения по высоте. Деформативные свойства системы могут быть охарактеризованы при помощи единичных пе ремещений 5дк(/, к - 1, 2,..., л + 1), представляют собой горизон тальное перемещение точек i от действия единичной горизонталь ной силы, приложенной в точке к. Перемещение S,* в рамках при нятой расчетной схемы определяется
Ьцс=Цк+Ук+Ч> |
(5-48) |
где Цк , Ц'к, — горизонтальные перемещения точки / от дейст
вия единичной горизонтальной силы, приложенной в точке к, обу словленные соответственно: деформациями конструктивных эле ментов здания; относительным сдвигом между подошвой фунда ментной плиты и основанием; поворотом подошвы фундаментной плиты относительно основания.
Выражение 5/* можно записать в следующем виде
6Л = 5J* + — + |
, (/, к - U 2,..., л + 1), |
(5.49) |
су С<рх
Так как фундаментная плита считается абсолютно жесткой, по этому при / * л + 1, или к = л + 1 следует принимать Ъ)к э 0.
Здесь Цк определяется по формуле Мора; су и с9Х— являются
коэффициентами квазистатической жесткости основания при равномерном сдвиге и неравномерном сжатии или растяжении и их значения можно определить по следующим соотношениям автора [8]:
215
' л ( 7 - 8 / х )
где приняты следующие обозначения: аг
'У г о Т И Г р -скорость
распространения поперечных волн в фунтах основания; р — плот ность фунтов основания; / ' — площадь подошвы фундаментной плиты; }fx ~ момент инерции площади подошвы фундаментной
плиты относительно оси х Для учета рассеивания энергии при колебаниях системы вос
пользуемся теорией Фойгга, согласно которой диссипативные силы прикладываются к сосредоточенным массам в состоянии движения системы, величина которых пропорциональна скорости движения сосредоточенных масс. Коэффициенты пропорциональности для рассматриваемой системы определяются по формуле автора [7]:
Ь*=' , 1 |
i,k= 1, 2,..., п + 1. |
(5.51) |
. а д |
|
|
х' Ч |
+'v " |
|
Величина a v = aco. , где a = —; 8 — логарифмический декре-
о
мент колебания, характеризует рассеивания энергии по корректи рованной гипотезе Фойгта за счет внутреннего неупругого сопро тивления материалов конструкций при их деформации; Чу — харак теризует излучение энергии в основании за счет сдвиговых дефор маций, происходящих на контактной поверхности между фунда ментной плитой и основанием; 4<рх—коэффициент рассеивания энергии за счет неравномерных линейных деформаций, происходя щих на контактной поверхности между фундаментной плитой и основанием.
Акустическое сопротивление основания при равномерном сдвиге и неравномерное сжатие и растяжение г\9Хопределяются по известным соотношениям автора [8]
18.Z4U -/4 |
г |
L 6 J l- 2 |i p a |
' |
ра^ ’ |
= я ( 1 - ц ) ^ 2 ( 1 - ц ) J |
/ ( l - / i ) |
Е |
|
где ах |
— скорость распространения продольных |
|
волн в грунтовом основании; с
Воспользуемся методом сил и запишем величину перемещения у,- (/) произвольной массы с номером / = 1, 2,..., п + 1, от действия сил инерции и сил учитывающих рассеивание энергии в рас сматриваемой системе:
-И/0 = 8/i [/1 0 + £/10] + 5/2 [/2 0 + £/20]+- • +8/Л+11/и+10+*5/л+10] 1
( /= 1, 2,..., п + 1). |
(5.53) |
Здесь /*(/) (к-1, 2,..., л+1) сила инерции, действующая на к-ю массу и определяется по принципу Даламбера:
= |
<5-54) |
Сила сопротивления £ & 0 , возникающая в к-й массе, согласно
гипотезе Фойхта, прямо пропорциональна величине скорости его движения:
% ( ') = -% > * (')• |
(555) |
Подставляя выражения (5.54) и (5.55) в (5.53) и после некоторых преобразований получим дифференциальное уравнение движения заданной системы в следующем виде:
л+1 |
л+1 |
л+1 |
|
3V0 + Х 5Л тк Ы ()+ Z 5//t bik УкЩ= -W O |
тк » |
||
*=1 |
*=1 |
Ы |
|
( /= 1,2,..., п+ 1). |
|
|
(5.56) |
Для расчета сооружений на сейсмические воздействия справед ливы нулевые начальные условия, т.е. предполагается, что до начала землетрясения сооружение находится в состоянии покоя. При землетрясении сооружение, переходя в движение, ее состоя ние характеризуется системой уравнений (5.56).
Для расчета системы дифференциальных уравнений (5.56) при меняется метод преобразования Лапласа, т.е. искомые функции на ходятся по формуле
(5.57)
где y/{s) является изображением функции уДО по Лапласу и опре деляется по формуле
У/(5) = |
(5.58) |
|
о |
217
Подставляя (5.57) в (5.56) и с учетом нулевых начальных условий задачи, получим:
я+1 |
И+1 |
v „ , ч'У;1 |
yfe)+ J 2 |
тк yk(s) + s Sfyjfc |
yk(s) = -№ s) ^ i k mk • |
k=\ |
k =1 |
k=\ |
(/ = 1, 2,..., П+ |
1). |
(5-59) |
Последнее представляет систему алгебраических уравнений от носительно перемещений y,{s) в изображениях Лапласа.
Решение (5.59) в изображениях записывается в виде
где Dt(s) —представляет собой определитель системы неоднород ных алгебраических уравнений (5.59); A s) — определитель той же системы при неизвестных yfa).
Применяя к выражению (5.60) операции обратного преобразо вания Лапласа с применением теоремы свертки, получим решение задачи в следующем виде:
(5.61)
где ак корни уравнения Z) = ( s - a 1) ( s - a 2) ...( s - a „ +1) = 0, а
D'(ak)— дифференциал определителя по а* при s = ак, т.е.
Д'(а*) = (at ~ai)(ak - а2)... (ак - ак.{)(ак - а*+1)... (ак - а я+1).
В традиционных методах расчета сооружения на сейсмостой кость, как правило, применяется следующее упрощающее допуще ние, что основание сооружения является абсолютно твердым телом, т.е. Cj—хю и с,-*с. Если исходить из условия существования пол ного прилипания между фундаментной плитой и основанием на их контактной поверхности, очевидно, что масса с номером я + 1, т.е. фундаментная плита полностью повторяет закон движения основа ния. С другой стороны, так как закон движения основания в дан ном случае считается исходной известной функцией, следователь но, закон движения фундаментной плиты тоже следует считать из вестной величиной. Поэтому число степеней свободы рассматри ваемой системы (см. рис. 5.13) на одну единицу уменьшается и принимает значение равное л.
21Л
Искомыми величинами в данном случае являются перемещения сосредоточенных масс с номерами / = 1, 2,.... п.
С учетом данного обстоятельства уравнение движения сооруже ния из (5.56) упрощается и принимает вид
л+1 |
^ |
л+1 |
л+1 |
У/(') + E Sik тк Ук(*)+ E 8flfc bik УкW = |
Z 8ft тк > |
||
к=1 |
|
к=\ |
k=l |
( / = 1 ,2 .....п) |
|
|
(5.62) |
Для решения системы дифференциальных уравнений (5.62) с постоянными коэффициентами применяется метод разложения ко лебаний по формам, основанный на методе разделения перемен-
(5.бз)
v= 1
Сначала, для определения собственной частоты и собственного вектора XjV, рассматриваются собственные колебания системы без учета сил сопротивления. В данном случае из (5.62) получим урав нения движения системы без учета сил сопротивления в свободном
режиме колебаний |
|
0 - 1 ,2 .....я). |
(5.64) |
к- 1 |
|
Подставляя решение (5.63) в (5.64), с учетом условий ортого |
|
нальности собственных форм колебаний, т.е. |
|
f > , Xvk Xvi = 0, (i* k ,i,k = 1,2 .... я), |
(5.65) |
и после ряда преобразований получим |
|
<М » |
(5.66) |
|
ФА>) |
||
|
Выполнение этих равенств для произвольного значения t воз можно лишь в том случае, если каждая из них в отдельности равна одной и той же постоянной при любом значении V. Обозначив эту
постоянную через cojjv >получим
i > * 8 k J r * y - J r ft. 4 - = 0 . ( / “ 1.2.....я). |
(5.67) |
|
*=1 |
®0v |
|
219
Последние уравнения представляют собой систему л линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных Х{у для каждой Vе 1,2..., л формы колебаний.
Для определения ненулевых решений системы (S.67) необхо димо обеспечить равенство нулю ее детерминанта
0*1811---- о
си5
|
= 0 . |
(5.68) |
W i 5 „ i |
л*2 6 Л2 . . . тп Ъм — j |
|
|
©о |
|
В развернутом виде это выражение представляет собой алгеб раическое уравнение л-й степени относительно cojj. Корни этого
уравнения вещественны, положительны и в большинстве случаев отличны друг от друга. Таким образом, из решения (5.68) опре деляется л положительных значений ©о, которые в возрастающем порядке cooi > ©02>•••> юл являются собственными частотами сис темы без учета ее диссипативных свойств.
После определения собственных частот из решения системы (5.67) определяются значения собственных векторов Хь (/ = 1, 2,..., л) для каждой v-й формы колебаний.
Для определения решения уравнений движения системы в вы нужденном режиме колебаний подставим выражение (5.63) в урав нения (5.62) и с учетом условий ортогональности (5.65), получим
# ,(/)+ 2 е <D. <SV<<)+ Ф„(/) = -Dy М<), |
(5.69) |
где приняты следующие обозначения:
%,т« ХЬ |
8 |
(5.70)
Ы П ,
к=\
При нулевых начальных условиях, решая дифференциальное уравнение (5.69) и подставляя в (5.63), окончательно получим
п W - - £ X* |
1 |
sin o > ,(/-T )A , |
(5.71) |
v=I |
®v о |
|
|
220