книги / Строительная механика.-1

А _ JL.iit 2+__L_ Ua±i 1 -2 ,

2 V ii^ +1* 2 'з”2*

(2.33)

Подставив найденные коэффициенты в (2.32), получим

(2 34)

В случае балки постоянного сечения J\ = h *...** /д = /д+i и введя обозначения Л%_1 = Л /„ .|; Хп = М„; X„+i = Af„+i, получим

моменты на крайних опорах войдут в - ~ ?2 уравнение трех моментов, как из­ вестные величины, а при отсутствии консолей эти моменты будут равны 0.

Если конец неразрезной балки защемлен, то для применения уравнения (2.35) необходимо, отбросив заделку, ввести с ее стороны дополнительный пролет ^ = 0 (рис. 2.22). Такая система будет де­ формироваться также, как балка с жесткой заделкой.

Решая совместно, составленные таким образом уравнения, най­

дем все неизвестные изгибающие моменты на опорах. Далее для по121

строения эпюр М и Q, каждый пролет неразрезной балки рас­ сматриваем как балку на двух шарнирных опорах, загруженных внешней нагрузкой и двумя опорными моментами. Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по формуле

'я ‘л

где Мр и Q°p- ординаты эпюр М и Q от внешней нагрузки в ос­

новной системе.

Чтобы убедиться в правильности построения эпюр М и Q необ­ ходимо провести проверку равновесия неразрезной балки по урав­ нениям: Ъу = 0; EAf = 0.

Для этого следует определить вертикальные опорные реакции

2.10.Построение линий влияния опорных моментов

кинематическим методом

Для построения линии влияния какого-либо усилия 5/ кинема­ тическим методом необходимо в сооружении нарушить ту связь, ко­ торая передает это усилие, и заменить нарушенную связь усили­ ем S{. В полученной основной системе перемещение по направле­ нию нарушенной связи от действия подвижной одиночной силы и усилия 5/ должно равняться нулю

откуда S: =

6ii

Учитывая, что на основании теоремы о взаимности перемещений б/р = Bpj, окончательно получим

где брг — перемещение по направлению подвижной единичной на­ грузки от усилия Si = 1.

Например, если необходимо определить линию влияния опор­ ного момента в п-м опорном сечении многопролетной балки,

122

расчетная схема заданной и основной системы принимает вид, по­ казанный на рис. 2.23.

вается масштабом эпюры перемещений.

Изобразив примерный вид упругой линии основной системы от усилия S j, получим очертание линии влияния усилия Sj, так на­ зываемую модель линии влияния Sj. Таким образом, кинематиче­ ский метод дает возможность быстро получить внешний вид (мо­ дель) любой линии влияния.

Для построения линии влияния усилия Sj необходимо вы­ числить ординаты упругой линии основной системы от усилия 5/ и поделить их на постоянную величину (-8д)

Рассмотрим примеры построения линий влияния усилий в не­ разрезной балке кинематическим методом. Применим кинематиче­ ский метод к построению линии влияния опорного момента М2 неразрезной балки (рис. 2.24, а).

Для получения основной системы в сечение балки нал опо­ рой 2 введем шарнир и заменим нарушенную связь парными мо­ ментами Mi —1 (рис. 2.24, в). Уравнение совместности деформаций имеет вид 822 М2 + 52р = 0 , из которого следует, что

В основной системе каждый пролет можно представить как бал­ ку на двух шарнирных опорах, нагруженную одним или двумя опорными моментами.

Уравнения прогибов и углов поворота для балки на двух опорах с одним опорным моментом М ~ 1 (см. рис. 2.2S) можно легко рас­ считать методом начальных параметров. Вводя обозначение £ = z fl , получим

123

Рис. 2.24

124

нагруженной одним опорным моментом М 1. и указаны углы по­ ворота на опорах и прогибы через 0.2/.

Как видно из рис. 2.24, б, (Я - 2) перемещение h i представляет собой взаимный угол поворота двух смежных сечений основной

опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от дей­ ствия М2 = 1:

Учитывая, что Mo = Ms = 0, а также, что М2 - 1, получаем:

2М\ (15 + 20) + Af2 • 20 * 0;

М2 •30+2М3 (30+20)+ М4 -20 = 0;

М^ • 20 + 2М4 (20 + 15) = 0.

Решив эту систему, получим М\ = -20/70 = =-0.286кН-м. Под­ ставим значение М\ во второе и третье уравнения и умножим пос­ леднее на -5 и сложим со вторым, получим последовательно:

125

Используя рис. 2.25, вычислим для каждого пролета ординаты эпюры моментов (упругой линии) основной системы 5/ 2- Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл. 2.6, где следует учесть, что ординаты линии влияния умножены на EJ).

Поясним методику-заполнения таблицы.

Основная система расчленяется на балки на двух опорах при дей­ ствии двух опорных моментов Млев, и Л/до*. По принципу не­ зависимости деформаций Бетти, прогибы балки подсчитываются независимо, как сумма прогибов от действия одного опорного мо­ мента (см. рис. 2.25 или формулы 2.34):

Таким образом, заполняются столбцы 3, 4 и 5 таблицы 2.6. В столбце 6 записываются ординаты линии влияния М^, подсчитан­ ные по формуле (2.41). На рис. 2.25, д приведена линия влияния

МЪ

Для построения линий влияния изгибающих моментов и попе­ речных сил в сечении неразрезной балки используются зависи­ мости:

где М% и б* — ординаты эпюр JI/* и (?* от внешней нагрузки в се­

чении к балки пролетом 1п на двух шарнирных опорах; Мп и Mff-i — линии влияния опорных моментов неразрезной балки.

Ординаты линии влияния опорной реакции R„ подсчитываются по формуле

эпюру рассматривать как общую для двух простых балок пролетом 4 и /л+1.

На рис. 2.23, е, ж приведены линии влияния опорных реакций

Ri и Rj для неразрезной балки, приведенной на рис. 2.23, а.

126

127

2.11.Расчет неразрезной балки на действие постоянных

нвременных нагрузок (задача № 9)

Для неразрезной балки постоянного поперечного сечения (рис. 2.26, а) требуется:

1.Построить эпюру изгибающих моментов от заданной посто­ янной нагрузки с помощью уравнений трех моментов.

2.Построить линии влияния опорных изгибающих моментов Л/ь Mi и изгибающего момента в сечении, расположенном посередине

пролета /2 .

3.По линиям влияния, полученным в п. 2 проверить ординаты эпюры М, полученной в п. 1.

4.От временной равномерно распределенной нагрузки интен­

сивностью q = 10 кН/м (может располагаться с разрывами в не­ скольких / пролетах балки) и заданной постоянной нагрузки по­ строить объемлющую эпюру изгибающих моментов для пролета 12.

Р е ш е н и е

1. Построение эпюры изгибающих моментов

Для составления уравнений трех моментов получим основную систему путем введения в заданную неразрезную балку шарниров нал всеми промежуточными опорами, предварительно заменив за­ делку дополнительным пролетом длиной 14 = 0. Кроме того, заме­ ним консоль с нагрузкой внешним сосредоточенным моментом MQ. Полученная основная система показана на рис. 2.26, б. Напишем уравнения трех моментов для промежуточных опор:

= 0; U= 0.

Построим эпюру изгибающих моментов в основной системе от заданной внешней нагрузки. Она представляет собой сочетание эпюр изгибающих моментов для всех пролетов балки, если каждый из них рассматривать как балку на двух шарнирных опорах. Указанная эпюра показана на рис. 2.26, в. Используя эту эпюру, найдем фиктивные опорные реакции (увеличенные в EJ раз) для каждого пролета балки:

128

М0=6,84кНм М,

1 > , ■V '

г) 9,962кН-м_\

^ ™ lN 4UIIUW|LU'

гИ

Рис. 2.26

Подставляя все известные числовые величины в систему урав­ нений (2.46), получим

- 6.8 • 3.6 + 2 • (3.6 + 6.0) • Мх+ 6.0 М2 = -6 • 24.3 - 6; 36.0;

6.0Mi + 2 • (6.0 + 4.8) • М2 + 4.8 • М3 = -6 • 36.0 - 6 • 34.56;

4.8• М2 + 2 - 4.8 • М3 = 6 • 34.56.

После несложных преобразований получим

129

9-3196

Умножив обе части второго уравнения на 2 и вычитая третье уравнение, получим

12.0А/, + 38.4 М2 = -63936.

Решая полученную систему (2.7.3), найдем

Му = -13.696 кН-м; М2 = -12.370 кН м.

Подставляя значение Л/2 в третье уравнение системы (2.47), най­ дем

М3 = -15.420 кН м .

Для проверки решения подставим найденные величины Му, М2 и М3 в каждое из уравнений системы (2.47):

19.2(-13.696) + 6.0(-11370) = -337.183 • -337.176;

6.0(-13.696) + 21.6(-11370)+4.8 (—151420) = -423.384 « -423.36;

4.8(-11370)+9.6 (-15.420) = -207.410 « -207.36.

Результаты проверки подтверждают правильность нахождения неизвестных Му, М2 и М3 . По полученным данным построим эпю­ ру опорных моментов (на рис. 2.26, г показана пунктиром). Отло­ жив от пунктирной линии ординаты эпюры изгибающих моментов в основной системе, которая показана на рис. 2.26, в, получим эпю­ ру изгибающих моментов от постоянной внешней нагрузки для за­ данной неразреэной балки (рис. 2.26, г).2

2.Построение линий влияния опорных моментов Му

иМ2 и изгибающего момента в сечении,

расположенном посередине пролета 12

Согласно общей методике, изложенной в п. 2.10, для построения линий влияния Му кинематическим методом, необходимо в балке нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нару­ шенную связь моментом Му.

130