книги / Строительная механика.-1

Выражения изгибающих моментов и поперечны»; сия из (4.10)

181

два выражения (4.10) принимают общеизвестный вид и записы­ ваются следующим образом: Мх = MQ+ QQZ\ Qy = QQ .

ф,=5^

182

"■* *■*"* ' ' v “д р а ж е н на рис. 4.7.

Р

Р z

Эпюра Мх при Р*0

^тгттгп Т Т Т Т Т П 2 ' f e

Эпюра при Л=0

-тШШПШ2'

41-

РИС. 4.7

Результата аналогичных примеров расчета, т.е. выражения из­ гибающих моментов и поперечных сил, возникающих в концевых сечениях стержней с различными граничными условиями их за­

крепления от соответствующих единичных перемещений, приведе­ ны в табл. 4.2.

Численные значения специальных функций <рг (/-= 1, 2, 3, 4, 7, 8), входящих в выражение изгибающих моментов и поперечных сил, воз­ никающих в концевых сечениях стержней, приведены в таблице 4.1.

4.6. Устойчивость рам при действии узловых нагрузок. Метод перемещений

Предположим, что все элементы заданной системы изначально имеют прямолинейную форму и сопряжены между собой под пря­ мым углом. В данном случае при действии узловых нагрузок на­ чальная форма равновесного состояния системы соответствует докритической стадии работы конструкций, в поперечных сечениях элементов системы возникают только продольные силы и они ра­ ботают либо на сжатие, либо на растяжение.

Как и для обычных стержней, продольными деформациями оси элементов заданной системы пренебрегаем.

Принимая, что рассматриваемая рамная система с произвольным п раз кинематически неопределимой системой (л = 1, 2, 3,...), ка­ нонические уравнения метода перемещений для нового равно­ весного, т.е. критического состояния, как и в классическом методе перемещений записывается в форме

183

Г\\ Z\ +Г12 Z 2+—+/i„ Z n +Лц> = 0;

гг\ z \ + г22 Z 2 + — + r 2 n Z „ + = 0 ;

(4.12)

/л!Zj + rn2Z2 +—+г,ШZ„+ J?„j> = 0.

При расчетах на устойчивость система (4.12) преобразуется. Так как мы рассматриваем только случай действия узловых нагрузок, то во введенных связях они никакой реакции не вызывают. То есть в данном случае следует принимать

R IP — R ip = ... = Rnp ~ 0.

Единичные реакции /ft (i,k = 1, 2, 3,..., п), как и при расчете обычных статических задач, определяются из условия равновесия узлов или отдельных частей основной системы при заданных еди­ ничных смещениях. Как показали результаты решения задач, изло­ женных в п. 4.5 в узловых сечениях элементов значения моментов и поперечных сил в общем случае являются функциями от параметра внешних продольных сил V. Следовательно, и единичные реактив­ ные усилия во введенных связях /ft в общем случае являются функ­ циями от параметра v и обозначаются /ft (v).

С учетом выше изложенного система (4.12) преобразуется и за­ писывается следующим образом:

Г1 i(v) Zi + r12(v) Z 2+—+/fo(v) Z„ = 0;

r2 \(v )Z i + r22 (v )Z 2+^ +r2n(v )Z n = 0 ;

rml(V)Z] +rm2(v)Z 2+-+rm/t(y)Zn = 0.

Так как в новом равновесном (критическом) состоянии, составные элементы искривляются, следовательно, все неизвестные Zi за­ ведомо не могут быть равны нулю. Поэтому определитель одно­ родной системы алгебраических уравнений (4.13), составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть равен нулю

'ilM /i2(v) ••• r,„(v)

r2l(V) 'faM — fiilM

r»l(v) ЛйЙ ••• f„(v)

184

Раскрыв определитель (4.14) и приравняв его нулю, получим трансцендентное уравнение относительно параметра критической нагрузки v. Решив это уравнение относительно V и по минималь­ ному значению корня v = vmin, определяют критическое значение внешних сил.

4 .7 . П рим ер расчета рамы на устойчивость (задача Ms 12)

Для заданной рамы, изображенной на рис! 4.8, а, предполагая, что Е1р = 2Е1С; / = 4 м; Е1С= 4000 кН м 2, требуется:

1.Показать возможные формы потери устойчивости рассматри­ ваемой системы.

2.Определить критические значения силы Pi и Pi для случаев:

а) Ру = Р,Р2 =0 -,б) Рх =Р2 = Р, в) Pi = 0; Р2 = Р

Решение

1. Показать возможные формы потери устойчивости рассматриваемой рамы

Рассматриваемая система является дважды кинематически не­ определимой. Возможные формы потери устойчивости системы оп­ ределяются угловыми перемещениями узлов 1 и 2. Следовательно, для установления искривленной формы рамы необходимо опреде­ лить углы noBOpioTOB Z\ и Zi двух смежных узлов 1 и 2.

В критическом состоянии возможные формы потери устойчи­ вости изображены на рис. 4.8, 6, в.

2. Определить критические значения силы Р\ и Р2 для случаев: а) Р\ = Р, Р2 =0 ; б) Р\ = Р2 = Р, в) Pi = 0; Р2 = Р.

Приступая к решению поставленной задачи, в качестве базовой принимаем стойку 0—1 с изгибной жесткостью Ес = 4000 кНм2 и длиной / = 4 м.

185

Вычисляем погонные иэгибные жесткости элементов рассмат­ риваемой рамы:

эпюры моментов М\ и М2 через величину i (рис. 4 .9 ,4 , б).

В соответствии с методом сечений вырезаются узлы 1 и 2 (рис. 4.9) и из условий их равновесия определяются выражения ре­ активных моментов

rn (v) = 4/{«,(v)+2}; r12(v) = 4 /; r22(v) = 18/.

Уравнение устойчивости (4.14) принимает вид:

или 72 /2 [cpj(v) + 2] -1 6 /2 = 0.

Из решения последнего уравнения получим

<Pl(v) = | - 2 = -17777.

Применяя принцип линейного интерполирования, с помощью табл. 4.1 вычисляем значение параметра

186

=5.6 + 0.006 = 5.606. Критическая сила Р1кр будет

vl.FJ < ^ 2 .4 0 0 0

= 7856.1 кН.

4/ф,<

Рис. 4.10.

С л у ч а й б) Р[ = Р2= Р.

Эпюры моментов М\ и М2 в данном случае принимают виц (рис. 4.10).

В соответствии с методом сечений вырезаются узлы 1 и 2 (рис. 4.10) и из условий их равновесия определяются выражения ре­ активных моментов Гцс(i,k = 1,2):

гп (у) = 4/{ф 1(у)+2}; г12(у) = 4/'; r22(v) = 2;(2<f>1(v)+7|.

Подставляя выражения /у* (/, к = 1, 2) в (4.14), получим

Применяя принцип линейного интерполирования, по заданным значениям <pj(v) (табл. 4.1) определяем минимальное значение па­ раметра критической нагрузки:

(-15000+ 11563). (5.6-5.4)

5.4 + 0.115 = 5.515.

" 5,4+ -17481 + 11563

Следовательно,

187

Выражения реактивных моментов в данном случае имеют вид

/l1(v) = 12i; /j2(v) = 4<; r22(v) = 2 / {2<p,(v) + 7}. Из уравнений устойчивости получим

24<2 [2<р,(») + 7 ]- 1 6 /2 = 0.

Из решения последнего уравнения получим <pi(v) = -19/6 »

= 3.1667. Из табл. 4.1, применяя принцип линейной интерполяции, вычисляем значение параметра v:

Обобщая результаты расчетов величин критических сил в зави­ симости от вида нагружения рамы, имеем

а) Р2 = 0;PlKp = 7856.1 кН;

б) Р{,кР = рг,кр = 7604 кН;

в) Р\ = 0; Р2%кр= 8505.9 кН.

188

ГЛАВА 5

ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ

5.1.Предмет ■ задачи динамики сооружений

Динамика сооружений — это один из специальных разде­ лов строительной механики, посвященный методам расчета соору­ жений на динамические нагрузки. Динамические нагрузки по своей природе весьма разнообразны. К такого рода воздействиям относятся природные явления, т.е. сейсмические толчки,

ветровые порывы, а также различные динамические воз­ действия технологического или аварийного происхож ­ дения: движение неуравновешенных частей машин и механизмов; падение летящего тела при соударение его с элементами конструк­ ций; работа копров, молотов и других ударных механизмов; дви­ жение поездов, кранов и т.д.

Особенностью динамических нагрузок является то, что при их действии сооружение переходит в состояние движения, причем при периодическом повторении динамических воздействий в опреде­ ленных условиях происходит накопление энергии системы, выра­ жающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний.

Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружения тем, что разрушение может произойти и при воздейст­ виях с малой интенсивностью.

Существенным отличием динамических методов расчета от ста­ тических является введение в уравнениях состояния нового пере­ менного — времени и, ввиду их значительности, инерционных сил. При этом, если при решении аналогичных задач при статическом нагружении, уравнения состояния выражались при помощи алгеб­ раических или трансцендентных уравнений, то соответствующая динамическая задача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными по времени.

В динамике сооружений следует различать два типа движения или колебания системы. Колебания системы при отсутствии дей­ ствия внешних сил называются свободными. Если колебания си­ стемы сопровождаются действием внешних динамических нагру­ зок, то колебания называются вынужденными.

Для описания динамических колебаний необходимо ввести в

рассмотрение следующие понятия: круговая частота со и пе-

190