книги / Строительная механика.-1

Используя формулы Муавра для корней из комплексных чисел найдем четыре корня уравнения (3.8):

Произвольные постоянные Q , С2, С3 и С4 находятся из гранич­ ных условий для конкретной задачи, как и при расчете обычной

3.2. Анализ общего решения дифференциального уравнения нзгнба балки на упругом основании

Как нетрудно видеть из (3.9), общее решение включает выра­ жения для затухающей и возрастающей гармоник или, иными сло­ вами, для двух затухающих гармоник, одна из которых затухает по направлению к правому концу балки, а другая - к левому. Затухание здесь довольно быстрое. Чтобы установить его степень, увеличим х на я/р . Тогда получим

у(х+ я/Р ) = exp(-Р JC —я) {Ci cos(Р х + я) + C2sin(Px + я)) +

+ exp(Р х + я) {С3cos (Р х + я) + С4 sin (р х + я ) } + / (х + я/р) = = -ехр (-рх) ёхр(-я) {Q cos (Рх) + С2sin (Рх)} -

- ехр (рх) ехр (я) {С3cos (рх) + С4 sin (Рх)} + у \х + я/р). (ЗЛО)

Анализируя полученный результат, приходим к выводу, что пер­ вое слагаемое получило множитель -ехр (-я) = -1/23.14, а второе слагаемое -ехр (я) =-23.14. Таким образом, при переходе к сле­ дующей полуволне значение первого слагаемого (3.10) уменьшается

в23.14 раза, а второго слагаемого увеличивается во столько же раз.

Вслучае длинной балки члены уравнения, содержащие мно­

житель ехр (рх), для правого ее конца становятся очень большими. Так как в действительности там деформации и внутренние силы имеют конечную величину, то коэффициенты С3 и С4 при членах, содержащих множитель ехр (рх), должны быть очень малыми и для достаточно длинной балки практически обращаться в нуль. В этом случае общее решение упрощается и получает вид

141

На расстоянии трех полуволн 3 .у = 3 я /р от левого конца балки члены общего решения с постоянными интегрирования С\ и С2 практически исчезнут. Поэтому балку длиной L £ 3 я/p можно считать бесконечно длинной. Точнее ее можно рассчитывать, как бес­ конечно длинную, поскольку уже в середине ее влияние концевых граничных условий будет сказываться очень мало. Практически

ленных коэффициентов. В частности, для линейной функции вида

При отсутствии приложенной к балке нагрузки, т.е. при q - О, момент и поперечная сила на них равны нулю; этому вполне удов­ летворяет частное решение (3.12) и добавлять к нему общее реше­ ние не требуется. Следовательно, (3.12) будет полным решением, и балка не будет изгибаться. Очевидно, что внутренние силы в ней

вольных постоянных общего решения по граничным условиям.

142

3.3. Расчет бесконечно длинной балки, нагруженной сосредоточенной силой

Рассмотрим балку бесконечной длины, простирающуюся в об­ ласти -со£Х £со, нагруженную в сечении с абсциссой х сосре­ доточенной силой Р (рис. 3.4). Дифференциальное уравнение изо­ гнутой оси балки записывается аналогично (3.4):

где 8 (х) — единичная функция Дирака.

й*

к— И

®*11If

рЛ

4Р 1

2

Рис. 3.4

Общее решение (3.13) записывается аналогично (3.9). Произ­ вольные постоянные Q , С3и С4 определяются из граничных ус­ ловий задачи:

143

ли балка лежит на жёстком основании (к -> «=> р -►оо), то Mtпах -> 0; и наоборот, в случае, если балка лежит на мягком осно­ вании {к -> 0 => р -> 0), то Мт «-*». Простым подтверждением этого явления может служить то, что железнодорожные рельсы, уложенные на жесткое основание, могут безболезненно выдер­ живать довольно значительные поездные на1рузки. В то же время, те же рельсы, уложенные на слабое основание, либо, если рельс «провисает» (т.е. пространство между шпалами содержит пустоты), могут разрушиться при значительно меньших нагрузках.

3.4. Расчет балки бесконечной длины, нагруженной системой сосредоточенных сил

Рассмотрим решение следующей задачи. Предположим, что на балку бесконечной длины в точках с абсциссами xj (/ = 1,2,..., N) приложена система сосредоточенных сил Pj, Р?, Рз,..., Ря (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Рассматривая решение поставленной задачи, на примере рельса верхнего строения пути в качестве балки, лежащей на сплошном упругом основании при действии системы сосредоточенных грузов

Л, Рз, — , Ря , передающихся на путь от подвижного состава. Железнодорожный путь должен отвечать требованиям прочнос­

ти, .жесткости и устойчивости при воздействии на него подвижного состава.

Напряжения и деформации, возникающие в опасных сечениях конструкции верхнего строения пути должны удовлетворял» усло­ виям прочности и жесткости, т.е.

где вшах, Ртах — соответственно, максимально возможное значение напряжений и прогибов конструкции в опасных сечениях; [а], [у] —предельно допустимые величины напряжений и прогибов.

145

В данном случае формулы по определению прогибов, изгиба­ ющих моментов и поперечных сил в сечениях с координатами хп(л = 1 ,2 ,..., N) на основании теоремы о независимости действия внешних сил в упругих системах и теоремы о взаимности можно за­ писать в виде

•( з м )

Последовательно определяем выражение изгибающего момента и поперечной силы:

По максимальному значению момента, вычисляемому по (3.29)

в опасном поперечном сечении рельса в опасных точках вычисля­ ется максимальное значение нормальных напряжений:

где Wz — момент сопротивления поперечного сечения рельса пу­ ти.

Прочность рельса пути считается обеспеченной, если выполняет­ ся условие

где R — расчетное сопротивление материала конструкции инвентар­ ного верхнего строения пути.

Основные геометрические характеристики стандартных рельсов приведены в таблице 3.2.

146

Таблица 3 .2

Основные геометрические характеристики стандартных рельсов

Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в эле­ ментах железнодорожного пути. Характеристика пути: рельсы ти­ па Р43; шпалы сосновые: длина шпалы 2.7 м, ширина 0.25 м; бал­ ласт песчаный с коэффициентом постели к\ = 50 МПа (см.

табл. 3.1), площадь подкладки $о = 4.64-10"2 м2 ; локомотив — тепло­

Рис. 3.6

147

Р е ш е н и е

1. Определение прогибов и внутреннихусилий

Последовательно вычисляем или находим по таблицам все необ­ ходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:

/ г = 1.489-Ю-5 м4; Wz = 2.083-10"4 м3; (см. табл. 3.2)

EJX~ 2.М 0И 1.489-Ю~5 = 3.127-106 Нм2;

к = кх Ь* 50.10*-0.14 - 7.0-106 Па.

Площадь полушпалы Q = ЫЬ/ 2 = 2.7x0.25/2 = 0.3375 м2.

7.0-106

= 0.865.

4-3.1127-10б

Определим L - я/р = я/0.865 = 3.63 м. Таким образом, в расчете будем учитывать нагрузки лишь от трех колес локомотива.

Разбиваем балку на участки в точках 1, 2,..., 11. Н а балку дейст­ вует система сосредоточенных грузов Pi = Р2 = Р$* 105 кН , при­ ложенных в сечениях 4, 6 и 8 системы (рис. 3.7, а).

Эпюра >(х)10~3,м

Рис. 3.7

148

Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл. 3.4 — 3.6), по формулам (3.28) — (3.30), для чего в каждом сечении определяется параметр (Зх. По этому параметру в табл. 3.3 находятся соответ­ ствующие значения специальных функций от действия отдельно каждой из нагрузок. Остальное ясно из таблиц 3.4 — 3.6.

149

Продолжение табл. 3.1

моментов и поперечных сил (см. рис. 3.7, б, г).

2.Определение напряжений в элементах верхнего строения пути

Напряжения от изгиба в подошве рельса

Значения напряжений на шпале под подкладкой и на балласте под шпалой будут соответственно равны

З.б. Расчет коротких балок на упругом основании. Функции Крылова

Значительно более сложным бказывается решение для корот­ ких балок, когда требуется учесть условия на обоих концах балки. К таким балкам относится, например, рельсовый путь на шпалах (рис. 3.8). Для коротких балок нельзя использовать решения, по­ лученные для балок бесконечной длины и требуется исходить из общего интеграла (3.9), содержащего четыре произвольные посто­ янные интегрирования. Для решения обычно пользуются нормаль.

150