книги / Строительная механика.-1
.pdfгде ©j = ©о J l - ? — называется частотой собственных колебаний с учетом диссипативных свойств системы.
Как показывает уравнение (5.69), применение принципа разло жения колебаний по собственным формам позволяет рассматривать колебания линейно-деформируемых систем по отдельным формам независимо от колебаний по другим формам, вследствие чего сис темы со многими степенями свободы рассчитываются, как системы с одной степенью свободы для каждой отдельной формы.
Указанный подход позволяет при рассмотрении системы со многими степенями свободы оценить динамический эффект внеш него воздействия через значения коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы.
Сейсмические колебания системы с одной степенью свободы из
(5.54) принимают вид: |
|
|
откуда |
Л (') = 8„(/1 (0 + 5ц(0], |
(5.72) |
|
|
|
т Ш + Ь11 МО + j -М О = ~Щ МО - |
(5.73) |
|
Последнее уравнение можно записать в виде |
|
|
|
МО + 2 Ш / ) + ю2 У[(0 = -М О , |
(5.74) |
где £ . 1 f r i . |
,2 = - U |
|
2 т * |
6ц/И |
|
Решение последнего уравнения имеет вид |
|
|
МО = —J JPoCO е"*(Г т) sin ©(Г - х)dx |
(5.75) |
|
|
©о |
|
Дважды дифференцируя последнее выражение, получим относи тельное ускорение y{t) »после суммирования у(0 с МО получим
последнее ускорение системы с одной степенью свободы в следу ющем виде:
т о = \ i л w е'* (/' т) sin “ [о - х)+6t]dt |
(5.76) |
где
(5.77)
221
К оэф ф ициент динамичности в д ан н ом случае оп р ед ел яется п о
формуле
* И ™ , |
(5 .78) |
шт
Примерный вид граф ика ускорения колебан и я грун тов п р и с е й смических воздействиях представлен на рис. 5.14.
И з обобщ енного анализа |
более тридцати р |
азл и чн ы х зе м л е тр я |
|
сений ускорений колебаний |
грунтов j> o(0бы л |
у стан о влен |
гр аф и к |
коэф ф ициента динамичности |
с обеспеченностью Р = 0.98 и |
и м еет |
|
вид, представленный н а рис. 5.15.
Рис. 5.14 Рис. 5.15
5.8. |
Определение величин сейсмических усилий |
||
при расчете сооружения на сейсмостойкость |
|
||
|
(задача № 15) |
|
|
П о спектральному методу требуется определить в ел и ч и н у |
с е й с |
||
мических |
сил и построить эпю ры изгибаю щ их м о м ен то в и |
п о п е |
|
речных сил по высоте трехэтаж ного дом а, пред п олагая, |
ч то и н т е н |
||
сивность |
сейсмического воздействия равн а 9 б ал л ам |
п о |
ш кал е |
MSK-64, т.е. l^oW lmax = 0-4# - Грунты о сн ован и я яв л я ю тся су гл и н
кам и с характеристиками: р г = 1.8 KH CV M4; £ > = 7 1 0 4 к Н /м 2; Ц /-= = 0.35.
Трехэтажный железобетонный дом, расчетная схема которого представлена на рис. 5.16, в, характеризуется следующими парамет рами: т{ = т2= = т4= 300кН с2/м; EJX= 29-109 кН м 2; GF= = 0.5-107 кН-м2. Размеры сооружения в плане L\ = L2 = 18 м. Лога рифмический декремент затухания колебания принимается равным 5 = 0.25.
222
Решение
1.Определить частоты собственных колебаний
при горизонтально-вращательном движении здания, предполагая его абсолютно жестким телом
Скорости распространения продольных и поперечных волн грунтов принимают значения:
« |
J . - |
|
|
J |
' |
^ |
2 •0.35) |
7-104 = 250 м/с; |
1 |
y(l + Hr)(l-2>ir)Pr |
|
v (1 + 0.35) (1- |
L8 |
||||
|
^ г |
_ |
I |
I |
|
7-104 |
_ J20 м/с |
|
а2 ■ у 2(1 + Ц/. ) р г |
” |
V2(1 + 0.35) |
1.8 |
' |
' |
|||
|
Далее определим квазистатические жесткости основания при |
|||||||
сдвиговом и вращательном движении здания: |
|
|||||||
|
Ж 8(1 -jQ pA ^/L JL y= 28 8 (IzgA52) |
L8J 1^°21g= 8,94-10s кН/м. |
||||||
|
M l - М |
|
|
|
^ ( 7 - 8 * 0 . 3 5 ) |
|
||
|
Ъ.52рр\ 12 |
|
8.52*1.8*1202 *18*183 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= 58.16-105 кН/м. |
|
V 5l4* (1-0.35) *12 *18
Определим общую массу здания и момент инерции сосредо точенных масс относительно центра вращения, т.е. относительно центра подошвы фундамента сооружения:
223
М= Zntj = 1200кНс2/м; /=i
Ju = Е<И/22 - 300-9.42 + 300• 6.42 + 300• 3.42 + 300• 0.42 = 1=1
= 300(9.42 + 6.42 + 3.42 + 0.42) = 42312 KH M/ C2.
Частоты собственных колебаний здания в виде жесткого тела при горизонтальном и вращательном движениях принимают значе ния:
[Су= |
/8.94 >105 |
|
4 м |
V |
27.295 с'»; |
1200 |
||
|
/58.16 - 10s |
|
®»в |
1 |
11.72с-1. |
42312 |
||
2. Определить собственные частоты колебания здания при одновременном учете изгибных и сдвиговых деформаций конструкций, без учета податливости основания
Единичные эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис. 5.16, б — ж.
Применяя формулу Мора с учетом эпюры моментов и попереч
ных сил, |
изображенных |
на |
рис. 5.16, |
последовательно |
|||
вычисляются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
109 |
2- 9. 9 + — |
|
.1-9.1 = |
|
|
|
6 |
0.5 |
107 |
|||
= (8.38 + 2160) • 109 = 2L684 • 10~7м/кН; |
|
|
|
||||
«21 = % |
= ^ ^ 2 + ^ г 5 |
а |
= ^ |
:р - | ( 2 - 9 - 6 |
+ 6-3) + |
||
+ 05~107 1 6 1= (4-3^ +144®)•10”9 = 14.444-10-7 м/кН;
* S .= 8 i3 = ^ F 1F 3+| ;a f e = _ L ? . | . ( 2.9.3+ 3.3)+
+ 1 - 3 1 = (1.09 + 720)• 10"9 = 7.211-10'7 м/кН;
224
»Ь - 1 |
7 |
* |
» |
= х г ^ |
!-2 « |
•6 11 = |
|
|
|
|
|
29■ 109 |
6 " " ” T o.5.107 |
||
|
= (2.48 +1440) • 10*9 = |
14.425 • 10‘7 M/KH; |
|
||||
8fa=552 |
= ^ J l / 2 ^ 3 |
+ | | rG 2 |
f t = |
^ ? |( 2 - 6 - 3 |
+ 3.3) + |
||
|
1.2 T • 3 • M |
= (0.78 + 720) • 10'9 = 7.278 -10'7 M/ KH; |
|||||
|
0.5-10 |
|
|
|
|
|
|
» b - l r J r» j r 3 + § a i e i - 5 ^ | . 2 - 3 - 3 + ^ . 3 . M -
= (0.31 + 720) • 10"9 = 7.203 • 107 M/KH.
Для определения собственных частот воспользуемся частотным
уравнением из (5.68): |
|
|
« т\ 6 п ~ ~ г |
щ ь \2 |
m35j3 |
©о |
|
|
Ш\5^1 |
т2 §22 — ~Т |
тЪ^23 = 0. |
|
©о |
|
Щ 8з1 |
Щ &32 |
Щ 533— 2 |
|
|
©5 |
Делим каждый член последнего уравнения на ш3 833 и прини
маем обозначение X = -------- —j , получим: Щ §зз ©о
m iSh _ х
т 5$з
т\Ъ'2\
1я3 6^3
т2 Ь\2 |
гозб|з |
|
|
|
|
|
1Изб$з |
т 38^3 |
3.01-X |
1.02 |
L00 |
|
|
Щ$22 ■ ^ |
|
201 |
2003-Х |
L01 |
= |
|
/n3 Sfc |
т 36$3 |
|||||
L00 |
Ш |
L00-X |
|
|||
ЩЦг |
/я318$3 |
|
да36^3 |
« 3 % |
|
= X3 - 6.013Х2 - 4.982Х - 0.975 = 0. |
(5.79) |
|
Коэффициенты кубического уравнения имеют следующие зна чения: а = 1; Ь— - 6.013; с = - 4.982; d —- 0.975.
Для определения корней кубического уравнения (5.79) по методу Кардано вводим следующие обозначения:
225
15-3196
S . x+£ . X - * M ,i , . 1 [ £ - £ * ± У 3.547;
3 £ C - d i_ 2357; |
/> = p 2 + ?3 = _39 0 7 2 < 0; |
||||
' |
9o2 |
|
|
|
|
/■= ±/71» TK- q < |
TO r |
= - /7 1 = -1-535. |
|
||
Учитывая, |
что D < 0, /> < 0, |
имеем: |
coscp = |
= 0.9807; <р = |
|
s 11в20' ф/3 = 3°47', следовательно: |
|
|
|||
|
X, = - 2 r c o s | = 2 1.535-0.998 = 3.064; |
|
|||
|
Х2 = 2г cos(60- - |) = -3.07-cos 56°13' = -L994 ; |
||||
|
Х3 = 2rcos(60 + y ) = -3.07-cos 63°47' = -1.351. |
||||
|
X! -2.0043 + |
Xj = 2.0043 + 3.064 = 5.0683; |
|||
|
Х2 -2.0043 + |
Х2 = 2-0043 - |
1.709 = 0.2953; |
||
|
Х3 =2.0043 + |
Х3 = 2.0043 - |
1.3508 = 0.6635. |
||
В возрастающем порядке а>01< ©02 < ©оз определим частоты соб ственных колебаний здания без учета диссипативных свойств зда
ния: |
|
|
|
_ _ _ _ _ |
|
|
|
1 |
1 |
_ |
ю 7 |
|
|
0)01 |
у т3 бзз X] |
\ 300-7.203-5.0683 |
|
|||
_ |
. 1 |
1 ' |
1 |
107 |
- Я Л IS «-!• |
|
\1300-7.203-0.6535 |
||||||
02 |
] т 3 5 |
$3 1 3 |
|
|||
|
Г |
1 |
_ 1 |
Ю7 |
_ n S IQ /.-1 |
|
м |
' 1 | т з % * 2 |
1|3 0 0 -7.203-0.2953 |
|
|||
Собственная частота колебания здания с учетом диссипативных свойств здания принимает значения: •
©1 = ©01 |
= 30.22j l - ( y j £ ) 2 = 30.22 0.997 = 30.13 с"*; |
|
226
©2 |
- ©02 |
= 84.15 |
0.997 = 83.9 <f‘; |
©3 |
= ©03 |
= 125.19 |
0.997 = 124.8 с’1. |
3.Определить собственные значения, проверить ортогональность междуразличными формами колебания и построить
формы колебания
Из (5.67), для первой формы колебаний имеем:
|
|
т2512*21^ |
|
Щ51з *31 = |
|
Щ й 'н Х ц |
+^»2&22” |
*21+ |
|
1113823*31= 0; ^ 80) |
|
w i 63 i * n |
+ |
да2 5з2*21+ |
^w3 e 3 3 ~ ^ y - j* 3 i = °- |
||
Последовательно вычисляются коэффициенты при неизвестных: |
|||||
ЩЬ'п — т-\ = Г300 • 2L684 • 10"7 -----Ц -] |
= -4.445 • 10"4 ; |
||||
efcj |
|
^ |
|
30.222/ |
|
т2 612 = 300 • 14.444 • 10~7 = 4.333 • 10-4; тх5 ^ = 4.333 • ИГ4; |
|||||
т3 8 |3 = 300 • 7.211.10"7 = 2.163 • 10"*; щ 5 ^ |
= 2163 • ИГ4; |
||||
тз643- i ) “ С300 7203 10-7- 35^)=-*-789 10" ;
т2 Ъ'у2 = 300 • 7.278 • 10"7 = 2183 • ИГ4; т3 8$3 = 2183 • 10^.
Подставляя эти коэффициенты в (5.80) и умножая каждый член уравнения на 104, получим:
f-4.445 • Хп +4.333 • * 21 + 2.163 • Х31 = 0;
14.333. * п - |
6.623 • *22 + 2.183 • * 31 = 0; |
[ 2.163 •*!!■• |
2183 <* 21 - 8.789 • * 3i = 0. |
Так как данная система представляет собой систему однородных алгебраических уравнений, поэтому определяются относительные 227
величины неизвестных. Полагая Х\\ = 1 из первых двух уравнений, получим
[ 4.333 • Х2\ + 2.163 • X$i = 4.445;
[-6.623 • Х22 +2.183 • Х31 = -4.333.
Решая данную систему уравнений, получим X2i - 0.79; Л31 ~ = 0.41.
Для определения собственных значений, по второй форме ко лебаний здания, предварительно определим коэффициенты при неизвестных, содержащих собственные частоты:
L $ h — U |
= (6.505-1.412) ИГ4 = 5.093-Н И ; |
|
V |
щ г) |
|
^«3 б5з — r j |
= (2-1609 -1.412) • {O'4 = 0.749 • ИГ4 |
|
Уравнения относительно собственных векторов по второй форме колебания принимают вид:
5.093 • Х\2 + 4.333 • Х22 + 2163 • Х32 = 0 ; 4.333. Хп +1915 • Х22 + 2.183 • Х32 = 0 ; 1163 • Хп +1183 • Х22 + 0.749 • Хп = 0.
Принимая Х\2 = 1, первые два уравнения последней системы преобразуются в виде:
[4.333 • Х22 +1163 • Х32 |
= -5.093; |
|
[1915 • Х22 +1183 |
• Х32 |
= -4.333. |
Из решения последней системы |
определяются: Х22 = - 0.595; |
|
Хп = -1.29.
Для определения собственных значений по третьей форме коле баний предварительно определяются:
(л* 6[i - - | - j |
= (6.505 - 0.64) • Ю"4 = 5.865 • 10"4 ; |
[щ §22 - |
= (4.3275 - 0.64) • 10-4 = 3.688 • 10"4 ; |
228
jm3 633 - 4 r J = (11609 - 0.64)• 1 0 - = 1.521 1 0 -
Система уравнений относительно собственных значений прини мает вид:
5.865 |
• * 13 + 4.333 • ЛГ23 + 2163 |
• * 33 = 0; |
||
. 4.333 |
• * 13 + 3.688-* 2з +2.183 |
*32 = 0; |
||
|
2163 • * 13 + 2183 • *23 +1.521 • *33 = 0. |
|||
Полагая * 13= |
1, из первых двух уравнений, получим |
|||
|
Г4.333 • *23 + 2.163 • *33 |
= -5.865; |
||
|
[3.688 • *23 + 2183 • *33 |
= —4333. |
||
Отсюда *23 = - |
2.3; * 33= 1.95. |
|
|
|
Учитывая, что в данном примере т\ = /Яг = Щ, условие ортого нальности между первой и второй формой записывается в следую щем виде:
т1*11*12 + ^ 2* 21*22 +от3*31*32 = ^1 (* ц *12 + *21*22 + *31*32) =
=300(1• 1 - 0.79 • 0.595 - 0.41 • 1.29) = 300(1- 0.470 - 0.530) = 0.
Условие ортогональности между первой и третьей формой:
Щ{Х\ i* i3 + * 21*23 + * 31*зз) = 300(1 • 1 - 0.79 • 23 + 0.41 • L95) = = 300(1-L816 + 0.816) = 0.
Условие ортогональности между |
второй и третьей формой: |
||||
mi(*i2* i3 + * 22*23 + * 32* 3з) = 300 |
(М + 0.595 • 23 - L29 • L95) = |
||||
= 300(1 + 1377 - 2390) = 0. |
|
|
|
|
|
Формы колебания показаны на рис. 5.17. |
|
|
|||
а) * „ = 1 ,0 |
б) |
.* „= 1 ,0 |
в) |
*,з=1,0 |
|
229
4.Определить коэффициенты разложения Dv
икоэффициенты формы колебания
Значения коэффициентов разложения Dv определяются по фор муле (5.80), а значения коэффициентов формы колебаний — по формуле ij/y= XjyDv:
miXt, + miX-u - n M ’i i |
3 0 0 (1 .0 + 0 .7 9 + P .4 1 ) |
|
3 . |
|
Ш[Х\\ + 012X21 + |
300(l.02 + 0.792 +0.412) |
|
||
пи = х и ^[=123J П21 = х и А |
= - W ; пз1 = ^3 iA |
= 0 5 ; |
||
+ |
+ |
300(10 - 0.595-1.29) |
|
0 ; J . |
~ я,J,j, + П2Х22 + ЩХ32 |
30o(l.02 +0.5952 +1.292) |
' ’ |
||
И12= Xn^h = —0-29; |
П22 = Х 22&2 = - 0 9 7 пз2 = Я 32А 2 = °-3 2 ; |
|||
|
|
300(1.0-23+195) |
|
ш |
m,J]23 + т2Х ^ + т з ^ з |
300(l.02 + 2.32 + 1.952) |
|
|
|
П13 = * 1зА = 0-06; |
ti23 = ^гзА = -014; пзз = ^ з з А |
= 012 • |
||
5. Определить значения коэффициента динамичности для каждой формы колебаний с учетом податливости основания сооружения
Круговая частота собственных колебаний здания для каждой формы, с учетом диссипативных свойств конструктивных элемен тов сооружения и податливости, основания определяется по фор мулам Дункерлея:
®! |
©1 ©/>% |
3613-27.31172 |
|
+а>1Шф +шг а>ф |
30.13• 273+3613 ■1L72+273 • 11.72 |
|
|
|
|
||
»2 |
®2©г©ф |
83.9-273 - 1L72 |
? |
<в2а)г +©2©ф+®г®ф |
83.9• 273+83.9 • 1L72+ 27.3• 1172 |
|
|
|
|
||
Щ |
®3©г®ф |
124.8-27.3 1172 |
|
т 3сог +соз(оф+а)г (оф |
124.8• 273 +124.8• 1172+273 -1172 |
|
|
|
|
Соответствующие периоды колебания принимают значения:
230