книги / Строительная механика.-1

Изобразив примерный вид упругой линии основной системы от усилия М\ = 1, получим модель линии влияния момента М\ .

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опо­ ры 1) для определения изгибающих моментов на опорах от действия ATi — 1:

| A/ , / 2 + 2 A/ 2 ( / 2 + /3 ) + A/3 ^ = 0 ;

{M i /3 + 2Л/3 ( /3 + /4 ) =* 0 .

Расчеты будем вести в табличной форме (табл. 2.7, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Аналогично строим линию влияния опорного момента М2. За­ пишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2)

Учитывая, что /4 = 0, а М2 = 1, получим

[2МХ*(4.8 + 6)+ 6 -2 5 9 2 = 0 ;

131

Решив эту систему, получим

М\ - - т у т = -0.2778кН'М; М3 « - £ | = -О ЗкН м.

21.6 У.о

Взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на

Расчеты будем вести в табличной форме (табл. 2.8, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, рас­ положенном посередине второго пролета М/2/2 , определяем по

формуле

нии, расположенном посередине второго пролета, если этот пролег рассматривать как балку на двух шарнирных опорах; М\ и Mi — ор­ динатылиний влияния опорных моментов М\ и M i.

132

По полученным данным строим линии влияния опорных изги­ бающих моментов М\ и M i, а также линию влияния изгибающего момента М ^р (см. рис. 2.27).

Для дальнейших расчетов подсчитаем методом трапеций пло­ щади линий влияния М и M i и АГ/2/2 для каждого из пролетов.

Линия влияния М\

^ 1 = 0 Л 4 9 |- Ж я т * 9

соц = ~ - (0.17533 + 0.28050 + 0.24542)= -0.63112 м2;

0t>2l = ~ “ р ‘ (0*52926 + 0.S3S43 + 0.27386) = —2.00784 м2;

0>з1 =i~(0,28050+0,24938 + 0,09357)=0.23400 м2.

Линия влияния Ml

<°*2 ~ ~ 004^7^ 0 72 = -0.01684 м2;

133

3. По линиям влияния, полученным в п. 2 , проверка ординат эпюры М, полученным в п. 1

Как известно, определение усилий с помощью линий влияния производится по формулам:

- от действия сосредоточенной силы: S = Р\У( ,

где У( — ордината линии влияния усилия S, расположенная под си­ лой />,;

- от действия равномерно распределенной нагрузки: S= fycoy, где ©у— площадь участка линии влияния в пределах действия рав­

M[2j2 ординаты эпюры изгибающих моментов, построенной в п.1, в сечениях 1,2 и 0^ / 2.

Ml = РУы+Яг (<D*| + ® н )+ ^ У(ол,)1 + Яз ®31 = 5 • 014969 +

+115 ■(0.05389 - 0.63112)+16 • (-0.53643)+7 i • 0.23400 = -13.279 кН-м,

13 .6 9 6 -Ш 7 9 10ла, погрешность при этом составляет------\2 в%-------= 3*0^ '

Далее определяем

м 2 = р Ук2 + Я\ ■(ю*2 + ®12) + Ъ У(№ г) 2 + f t ®32 = 5 • (-0-4678)+

134

-*-12.5(—0.01684+0.19744) +16(—033543) + 73 (—0.74814) = -12154 кН м,

= 5 • 0.05146+125(001852-021684)+1609645+7.5(-02570б) = 11283 кНм,

погрешность составляет 11,2^ ~ ^ 967 100% = 28%.

Рис. 227

135

4. Построение объемлющей эпюры изгибающих моментов

Построим объемлющую эпюру изгибающих моментов для вто­ рого пролета балки по трем точкам 1, 2 и 0,5/2 . Объемлющую эпю­

ру строим при одновременном действии постоянной и временной нагрузок. Так как временная равномерно распределенная нагрузка может располагаться в одном или нескольких пролетах балки (иногда не лежащих рядом), то подсчитаем изгибающие моменты М\, М2 и Mhfi от загружения временной нагрузкой последова­

тельно каждого из пролетов балки. Затем, суммируя отдельно все положительные и все отрицательные значения моментов в сечениях 1,2 и 0,5/2 от временной нагрузки и складывая с моментами от по­

стоянной нагрузки в соответствующих сечениях (рис. 2.27, б), най­ дем максимальные и минимальные значения изгибающих моментов в сечениях 1,2 и 0,5 /2.

Все подсчеты проводим в табличной форме (табл. 2.9). По по­ лученным данным строим объемлющую эпюру изгибающих момен­ тов для второго пролета балки (рис. 2.27, б).

Таблица 2.9

3.Перечислите классические методы расчетов статически неопределимых стержневых систем.

4. Сформулируйте понятие работы внешних сил на возм ож ны х перемещ е­

ниях.

5.Перечислите методы расчета перемещ ений стержневых систем и дайте соответствующее пояснение, раскрывающее их суть.

6. Д айте определение основной и эквивалентной системы по м етоду сил. 7. Раскройте суть канонических уравнений метода сил.

136

ГЛАВА 3

К О Н С Т Р У К Ц И И Н А У П Р У Г О М О С Н О В А Н И И

3.1.Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании

В инженерной практике часто встречаются балочные элементы конструкций, лежащие на сплошном упругом основании. К та­ ким конструкциям могут быть отнесены шпалы железнодорожного пути, ленточные фундаменты зданий, .фундаменты плотин, опи­ рающиеся на грунты и др. Кроме того, к таким конструкциям отно­ сятся также и рельсы, у которых число опор бесконечно велико, а расстояние между ними мало по сравнению с длиной.

В машиностроении и различных других областях техники для многих конструкций в эксплуатационном режиме, находящихся в условиях сплошного контакта с другими изделиями, можно приме­ нить расчетную схему балки на упругом основании.

Расчет балки на упругом основании в строгой постановке сво­ дится к решению контактной задачи между конструкцией и осно­ ванием. Сложность решения контактных задач в строгой постановке общеизвестна. Поэтому для решения инженерных задач, связанных с расчетом балки, применяются приближенные подходы, суть кото­

На рис. 3.1. показана деформация балки от внешней нагрузки, распределенной по произвольному за­ кону. Реакция со стороны основания в произвольной точке, при со­ блюдении условий проскальзывания на контактной поверхности между подошвой балки и основанием, принимается пропорцио­ нальной прогибу

138

где fix) - реакция основания, приходящаяся на единицу длины бал­ ки, (Н/м); .К*) — просадка основания; к = к\ Ь; Ь — ширина по­

дошвы балки; к\ — коэффициент, характеризующий жесткость ос­ нования и называемый коэффициентом податливости ос­ нования или коэффициентом постели, [Па/м].

Этот коэффициент представляет собой отпор основания, при­ ходящийся на 1 м2 площади при просадке, равной единице. Знак минус в выражении (3.1) означает, что реакция противоположна направлению просадки.

Значения коэффициента постели к\ для некоторых грунтовых и скальных оснований приведены в табл. 3.1.

Таким образом, со стороны основания на балку действует сплошная распределенная нагрузка интенсивностью fix). Суммар­ ная интенсивность распределенной нагрузки, приложенной к балке,

где q{x) — приложенная к балке, заданная распределенная на1рузка (например, вес погонной длины балки).

Дифференциальное уравнение изгиба упругой балки в данном

Физический смысл модели, приводящий к уравнению (3.4), мо­ жет быть различен. Так, если основание принимать в виде упругого полупространства, взамен модели Винкперовского основания, из приближенных решений контактных задач, то коэффициент к име­ ет вид

*_ _ 5 _ 2(1 V ) ’

где Е0 — модуль деформации грунта основания; ц — коэффициент Пуассона.

В случае балки постоянного сечения интегрирование уравнения (3.4) не представляет особых затруднений. Вводится обозначение

где р — называется коэффициентом относительной жесткости осно­ вания, [1/м].

139

Таблица 3 .1

Замени коэффициента посгела к\ для различных грувтоа

Решение уравнения (3.5) можно получить общими методами ре­ шения дифференциальных уравнений с постоянными коэффици­ ентами, и оно имеет следующую структуру:

У(х) = С, и (х ) + С2уг(х) + С3у3(х) + С4 у4(х) + у\х), (3.6)

где Cj — произвольные постоянные, у = 1, 2, 3, 4; yj(x) — частное линейно-независимое решение соответствующего (3.5) однородного уравнения

У*(х) — частное решение неоднородного уравнения (3.5), зависящее от характера внешней нагрузки д(х).

Частное решение однородного уравнения (3.7) представляется в виде у(х) =Сехр(Хх), подставляя которое в (3.7), получим характе­ ристическое уравнение

140