книги / Строительная механика.-1

статически определимых системах значения усилий можно одно­ значно определить методом сечений с применением уравнений рав­ новесия статики.

Статически определимые системы имеют и свои недостатки, главным из которых является отсутствие резервирования. В случае разрушения одного из элементов заданной системы, она превраща­ ется в геометрически изменяемую. Данное обстоятельство снижает надежность и безопасность статически определимых систем в экс­ плуатационных режимах. В этом отношении преимущество имеют системы с «лишними» связями, т.е. с отрицательной степенью из­ меняемости, получившие название статически неопредели­ мых систем.

1.5.Расчет статически определимых многопролетных

балок

В плоских балочных и рамных системах отдельные стержни мо­ гут быть соединены между собой жестко, с помощью шарниров, ли­ бо подвижными связями. Для определения внутренних усилий в стержнях можно составить условия равновесия каждого стержня, получив таким образом систему уравнений с неизвестными внут­ ренними усилиями: концевыми значениями продольных сил, попе­

речных сил и изгибающих моментов

уравнений с многими неизвестными. Присоединенной называется такая часть системы, которую можно уда­ лить без нарушения неизменяемости оставшейся чагти.

Присоединенную систему можно рассчитать независимо от ос­ тавшейся части, причем опорные реакции присоединенной системы

12

будут служить внешними силами для оставшейся. На рис. 1.5 пока­ заны статически определимая многопролетная балка и этапы ее расчета.

Основной балкой в данном случае является балка 1, балка III яв­ ляется присоединенной, балка II присоединенная по отношению к балке I и основной по отношению к балке III (рис. 1.5, б).

Степень изменяемости системы, согласно п. 1.4:

п ~ 3D - С= 3 3 - 9 = 0.

Число степеней свободы системы определяется из (1.1):

W—3 D - 2 Ш- СЬ= 3-3 - 2-2 - 5 = 0.

Так как в данном случае выполняются необходимое и доста­ точное условие, т.е. п = 0 и Ж =0, то данная схема геометрически неизменяемая и статически определимая. Рассчитав последователь­ но присоединенную балку III, получим реакции, передающиеся от балки III к основной балке II. Далее рассчитываем балку II, как присоединенную и получим реакцию, передающуюся балке I. Оп­ ределение внутренних усилий в каждой балке рассматривается са­ мостоятельно, считая их статически определимыми системами.

1.6. Линин влияния и их применение для расчета статически определимых балок

Принцип независимости действия сил позволяет расчленять нагрузку на отдельные части и вести расчет порознь на действие каж­ дой из них. Простейшей базовой нагрузкой является единичная со­ средоточенная сила, приложенная в определенной точке и в опре­ деленном направлении. Из сосредоточенных сил можно получить любую нагрузку, в том числе и распределенную, путем предельного перехода к бесконечной сумме бесконечного числа сосредоточен­ ных сил. Поэтому имея расчет системы на действие единичной со­ средоточенной силы, приложенной в произвольной точке и по про­ извольному направлению, мы сможем легко рассчитать систему и на любую нагрузку. Данный подход является аналогом известного метода функций Грина из математики.

При перемещении точки приложения сосредоточенной силы усилие в рассматриваемом сечении системы, естественно, изменяет­ ся. График, изображающий закон изменения усилия или дефор­ мационного фактора в данном сечении в зависимости от положения на сооружении единичного груза с= 1, называется линией влия­ ния.

Точно также можно определить линию влияния какого-либо пе­ ремещения, например прогиба в определенной точке, от действия

13

единичной сосредоточенной нагрузки, приложенной в различных местах системы.

Линии влияния главным образом применяют в балочных системах (а также в ар-

ла может переме­ щаться вдоль проле­ та, сохраняя свое направление. При помощи линий вли­ яния легко рассчи­ тать балку на подви­

жную нагрузку, возникающую, например, при движении поезда или потока автомашин на мостовом пролете.

Нетрудно построить линии влияния усилий в простых статиче­ ски определимых балках. Опорные реакции балки (рис. 1.6, а) при единичной сосредоточенной силе, приложенной на расстоянии х от левой опоры, равны:

1 - х ,

( 1.2)

I ' « > - Т

где I — пролет балки.

Для сечений, расположенных слева от точки приложения сил (а < х), изгибающий момент МА = RAа , а для сечений, располо­

женных справа от этой точки (а > х), МА = RB (/ - а).

Следовательно, линию влияния изгибающего момента в сечении, расположенном на расстоянии а от левой опоры однопролетной

Откуда следует, что линия влияния имеет вид треугольника с вершиной в заданном сечении а (рис. 1.6, а).

Линия влияния изгибающего момента в консольной балке для сечения, расположенного на расстоянии а от свободного конца (рис. 1.6,6), выражается формулами:

м

Or распределенной нагрузки q(х) усилие через линии

ВЛИЯНИЯ

определяется:

ь

N = \q (x )y (x )d x , ( . )

18

где а и b — координаты начальной и конечной течек действия рас­ пределенной нагрузки.

Для равномерно распределенной нагрузки (рис. 1.9) q = const:

где Clot, —площадь, ограниченная линией влияния, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ъ.

Следует подчеркнуть различие между понятиями линии влияния и эпюры, которая по определению также является графическим изображением закона изменения усилия или перемещения.

Ординаты yi и линии влияния, и эпюры моментов являются здесь функциями от координаты х. Однако в случае линий влияния эта координата определяет положение груза Р = 1, а в случае эпю­ ры — положение сечения, в котором находится момент.

Часто нагрузка передается на конструкцию не непосредственно, а через систему статически определимых балок (рис. 1.10, а). Тогда, если единичный груз находится в начале пролета балки, т.е. в точке а, то он целиком передается на основную конструкцию и вы­ зывает усилие, для которого построена линия влияния, численно равное уа —ординате линии влияния, соответствующей I основной конструкции (рис. 1.10, б).

Если груз находится в конце пролета балки (точка Ь), то он так­ же передается на основную конструкцию, вызывая усилие, численно равное уь — ординате линии влияния в точке b основной конструкции.

16

Рис. 1.10

Наконец, если груз находится в пролете балки на расстоянии t от точки а (рис. 1.10, в), то левая реакция балки будет фавна (/, - /)//], а правая ///,, (/, — пролет балки). Значение усилия в ос­ новной конструкции:

т.е. линия влияния на участке движения груза по балке будет пря­ молинейная. Если основная линия влияния на этом участке лома­ ная или криволинейная, то при передаче нагрузки через статически определимую балку при переходе от ординаты уа к ординате уь эта линия влияния спрямляется.

Описанный способ передачи нагрузки на основную конструкцию называется узловой передачей нагрузки. Он особенно часто встречается в фермах, где опоры балок настила располагаются нал узлами фермы, и балками служат сами панели верхнего или ниж­ него пояса (рис. 1.11).

Правило построения линии влияния усилия S при узловой пе­ редаче нагрузки заключается в сле­ дующем:

1. Построить предварительно ли­ нию влияния искомого усилия при движении груза по основной части конструкции.

2.Зафиксировать ординаты построенной линии влияния под уз­ лами передачи нагрузки.

3.Соединить прямой линией ординаты линий влияния под узла­

ми передачи нагрузки.

17

Жвила для построения линии влия­ ния изгибающего момента для

сечения К балки приведен на рис. 1.12.

1

Рис. 1.12

1.7. Матричная форма расчета усилий

При проведении расчетов с использованием вычислительной техники широко применяются матрицы влияния, т.е матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача расчета конструкции формулируется следующим образом.

Пусть требуется произвести расчет какой-либо статически оп­ ределимой системы на действие заданной нагрузки (рис. 1.13, а).

Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего на­ метим сечения / = 1, 2, 3,..., п, в которых требуется вычислить уси­ лия S t(i-1, 2,3,..., л).

Заменяя распределенную нагрузку сосредоточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в

18

где yik — значение искомого усилия в /-м сечении от единичной силы Рк — 1, приложенной в к-й точке (рис. 1.13, б).

Вводят векторы S т = (Л), S2, .S3,..., SJ; Р т = (Рь Р2, Р2, ..., />„) и матрицу Ls, элементами которой являются ординаты линий влия­ ния:

У\1 У\2 - У\п

У21 У22 ” ■ У2п

(П2)

Уп\ Уп2 -

Эта матрица называется матрицей влияния усилия S. При помощи введенных обозначений соотношения ( 1.12) можно запи­ сать в виде:

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов LM. Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться форму-

Л Л dM

лой Q = и осуществить переход от матрицы влияния изгиба­

ющих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для оп­ ределения поперечной силы, действующей на произвольном /-м участке балки, ограниченной сечениями / и /—1, пользуясь диск­ ретным аналогом последней формулы в виде

а

она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов. Преобразованная матрица моментов может быть получена путем

перемножения двух матриц:

где К0м — матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов LMв матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят единицы, а под диагональю - 1.

19

1.8.Расчет статически определимой многопролетной

балкп (задача № 1)

Для многопролетной статически определимой балки требуется (рис. 1.14, а):

1.Проверить геометрическую неизменяемость системы.

2.Построить эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Qот заданной нагрузки.

3.Построить линии влияния М и Q для заданного сечения I статическим способом.

4.Загрузить эти линии влияния заданной внешней нагрузкой и

сравнить полученные результаты со значениями ординат эпюр М и Qв этом же сечении в п. 2.

Ре ш е н и е

1.Проверка геометрической неизменяемости системы

Размеры балки и заданная система внешних сил показаны на рис. 1.14, а.

Многопролетная статически определимая балка (рис. 1.14, а) состоит из трех балок (дисков), соединенных между собой шар­ нирами С и £, и имеет 5 опорных стержней. Число степеней сво­ боды рассматриваемой системы подсчитываем по формуле ( 1.1):

W - 1D -2IU - Q = 3-3 - 2 - 2 - 5 = 0. Степень изменяемости системы, согласно п. 1.4:

n= 3D - С= 3-3 - 9= 0 .

Следовательно, рассматриваемая статически определимая балка имеет необходимое количество связей и является геометрически неизменяемой системой. С методической целью проведем анализ геометрической неизменяемости балки и другим способом.

Для проверки неизменяемости данной многопролетной балки начнем геометрический анализ с рассмотрения балки АВС. Она соединена с землей тремя непараллельными и не пересекающимися в одной точке опорными стержнями и, следовательно, геометри­ чески неизменяема, и может быть названа основной.

Балка CDE, являясь дополнительной по отношению к балке АВС, прикреплена к неизменяемой системе с помощью шарнира С, кинематически эквивалентного двум связям, а к земле — с помо­ щью одного опорного стержня D. Так как направление указанного опорного стержня не проходит через шарнир С, балка CDE является геометрически неизменяемой.

20