книги / Строительная механика.-1

ходится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потен­ циальная энергия обладает, минимумом по сравнению со всеми со­ седними состояниями системы; если в состоянии неустойчивого равновесия — то максимумом; а если в безразличном, т.е. кри­ тическом — то потенциальная энергия является постоянной вели­ чиной.

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциальной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состоя­ ния к соседнему можно записать таким образом:

dU= dVdT,

где dV— вариация потенциальной энергии внутренних сил; йТ— вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энер­ гетическому критерию, определяется из условия

dU= 0 или dV =dT.

При решении задач устойчивости по динамическому критерию исходят из предположения, что колеблющаяся система около своего положения равновесия не способна возвращаться к первона­ чальному положению. Данное предположение равносильно утверж­ дению, что в критическом состоянии спектр собственных частот

при /-й форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому критерию составляется уравнение собственных колебаний заданной системы, далее определяется выражение частот собственных колебаний, и из условия их равенства нулю определяется критическое значение

внешних сил.

Так, например, для сжатого осевой продольной силой Р стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, часто­ та основного тона поперечных колебаний выражается формулой

где ©о — собственная частота поперечных колебаний при отсутст­ вии сжимающей силы, т.е. при Р - 0.

Очевидно, что при Р-+Ркр> © ->0 и период колебаний Т= = 2 л/© оо, т.е. стержень, колеблющийся около своего положе­ ния равновесия, не способен возвращаться к первоначальному со­ стоянию.

171

Суть статического критерия заключается в следующем. Иссле­ дуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпада­ ющая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой рав­ новесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, спо­ собных удержать систему в новой форме равновесного состояния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в но­ вом равновесном состоянии, при соблюдении граничных условий по исходному состоянию, являются критическими.

В дальнейшем здесь рассматривается решение задач теории ус­ тойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практических расчетов упругих консервативных систем.

4.3.Задача Эйлера

Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, по­ стоянного поперечного сечения, расположенного на двух шар­ нирно-опертых концах, при действии продольной силы переменной величины Р (рис. 4.2).Впервые эта задача была поставлена и реше­ на Л. Эйлером в середине XVIII века.

На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р очевидно, что в попереч­ ных сечениях стержня во­ зникают только продольносжимающие силы и стер­ жень испытывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния ( 1). Считая дан­ ную форму деформирован­ ного состояния в качестве

начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р= Ркр стержень изогнется, т.е. в некотором новом равно­ весном состоянии принимает искривленную форму (2), изображен­ ную на рис. 4.2.

Обозначая величину прогибов стержня через y(z) в сечении, расположенном на расстоянии г от начала системы координат yz, значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения

М = -Ру.

172

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продоль­ ными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

уравнение (4.1) можно представить в следующем виде:

условий закрепления балки, т.е. у (0) = 0; у(1) = 0.

Из первого условия вытекает, что Cj = 0, а из второго

очевидно, соответствует первоначальному равновесному состоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. предполагая, что Cj * 0, из (4.5) следует, что sin kl = 0. Откуда следует, что kl = тс,

Эта сила носит название первой критической или эйлеро­

173

Графики функции

значения критических сил.

4.4. Устойчивость стержией с различными концевыми условиями их закрепления

Рассмотрим однопролетный упругий стержень постоянного по­ перечного сечения, по концам которого приложены сжимающие силы Р, всегда направленные параллельно оси недеформированного стержня. Поместим начало системы декартовых координат xyz в

центре тяжести левого крайнего сечения. Ось z направим по про­ дольной недеформированной оси стержня, а ось у — по направ­ лению наименьшей жесткости поперечного сечения.

С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (кри­ тическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены по­ перечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформиро­ ванного стержня и поворачиваться вокруг оси х (рис. 4.4).

z

Рис. 4.4

Дважды дифференцируя каждый член уравнения (4.1), получим дифференциальное уравнение, описывающее деформированное со­ стояние рассматриваемого стержня в общем виде:

174

Общее решение которого имеет вид:

Составляя первые три производные от функции прогиба, соста­ вим выражение для углов поворота, изгибающих моментов и попе­ речных сил, возникающих в произвольном сечении, расположенном на расстоянии 0 <, z <, 1 атначала принятой системы координат:

у' = С2 +C2kcoskz-C 4ksmkz ;

Мх = EJx y" = -EJX к2 С3 sin kz - & х .к2Q coskz ; (4.9)

Qx = EJx y"' = -EJx k 3 C3 cosкz + EJx k 3 C4 sinkz .

Произвольные постоянные Cj, C2, C3 и C4 определяются из гра­ ничных условий закрепления стержня. Очевидно, что произвольные постоянные в первоначальном, т.е. докритическом равновесном со­ стоянии независимо от граничных условий закрепления стержня, тождественно приравнивают нулю, так как в первоначальном рав­ новесном состоянии (1) (см. рис. 4.4) имеем:

У= У' = Qy = Мх = 0.

Вновом равновесном (критическом) состоянии необходимо учесть, что независимо от граничных условий закрепления стержня произвольные постоян­ ные Сь С2, С3 и С4 одно­ временно не могут быть равными нулю. Данное обстоятельство является

необходимым и доста­ точным условием для оп­ ределения нового равно­ весного состояния сис­ темы соответственно ве­ личинам критических значений внешних про­ дольных сил Р.

Продемонстрируем данный подход при решении задач по опре­ делению критической величины силы Р для стержней с различными концевыми условиями закрепления (рис. 4.5.).

175

В случае, когда стержень с.двумя концами шарнирно-оперт (рис. 4.S, в), граничные условия задачи имеют вид:

Подставляя выражения прогиба и изгибающего момента соответ­ ственно из (4.8) и (4.9) в граничные условия задачи, получим

Су + СА =0; Су + СУ+ С3 sin kl + САcos kl = 0 \ - k 2EJxCA= 0;

- k'E J.C i sin*/ - k2EJx CAcos kl = 0 .

Однако из третьего уравнения, а затем из первого уравнения последней системы легко установить, что в данном случае СА= О, Ci = 0, следовательно, алгебраическая система относительно неиз­ вестных произвольных постоянных принимает виц:

Cil + C$smkl = 0;

-k^EJjfii smkl fe 0.

Так как С2 и С3 одновременно не могут быть равными нулю в новом — критическом равновесном состоянии. стержня, поэтому необходимо требовать, чтобы определитель последней системы од­ нородных уравнений был равен нулю, т.е.

n2EJY

г*9~=k2EJv

Последнее выражение, как нетрудно заметить, полностью сов­ падает с результатом решения задачи Эйлера.

Для стержня, изображенного на рис. 4.5, 6, граничные условия задачи имеют вид:

у(1) = ? « ) = 0; Мх(0) = 0; Мх(1) = Р Л = EJX к2у0..

Подставляя выражения прогибов, углы поворотов и изгибающих моментов в граничные условия задачи, получим:

176

С, + С2/ + С3 sin kl + С4 cos kl = 0; С2 + С3* cos Л/ - C4ksmkl = 0;

- k 2EJx CA = 0-

- k 2EJx C3 sink!- k2EJ^ 4 cos k l- EJJc1 (C, + C4).

Из третьего уравнения следует, что С4 = 0. С учетом данного обстоятельства последняя система уравнений окончательно записы­

Раскрывая определитель и после некоторых преобразований получим: coskl = 0. Наименьший корень данного уравнения являет­

ся Ш= у . Следовательно, критическое значение внешней силы определяется по формуле

n2EJx n2EJx

Ркр=к2Ых

(21)2 = 4/2

Для стержня, изображенного на рис. 4.5, в граничные условия задачи записываются в виде у(0) =у(!) = 0; у (!) - 0; АГх (0) = 0. Следовательно, система уравнений относительно произвольных постоянных в данном случае записывается в форме

С1+ С4 = 0 ;

С\ +C2l + C3 sinkl + C4 coski = 0;

С%+ С3 kcoskl -C4ksmkl = 0 ;

177

f C2/+ C 3sin*/ = 0 ; |C2 +C3 kcoskl = 0 ,

определитель которого в критическом состоянии стержня должен быть равен нулю, т.е.

И наконец, рассмотрим стержень с двумя защемленными кон­ цами, изображенный на рис. 4.S, г, граничные условия которого удовлетворяют условиям у (0) = у(1) - 0; у (0) = у (I) = 0.

Cj + С4 = 0 j

С, + C2I + С3 sin М + С4 coski = 0;

С2 + С3Л = 0 ;

C2 +C3 * c o s * /-C 4 * s in * /= 0.

Откуда

Раскрывая последний определитель и после ряда преобразований получим: к I sinkl = 2 (l- c o s * /), наименьший корень которого

имеет значение к1= 2п. Следовательно, критическое значение силы Сбудет

Pv =k2EJx = n2EJx

(051? /2

178

4 .5 . В ы раж ения изгибающих моментов и поперечных сил в концевых сечениях стержней

Следуя статическому критерию, при решении задач устойчивости рамных систем, метод перемещений, наряду с другими классичес­ кими методами, является наиболее эффективным методом.

При применении метода перемещений для решения задач ус­ тойчивости статически неопределимых рамных стержневых систем, важным этапом является определение выражения внутренних уси­ лий узловых сечений элементов основной системы, с учетом нали­ чия продольной силы при единичном угловом или линейном сме­ щении узлов основной системы.

В связи с этим для расчета рам на устойчивость необходимо предварительно определить выражение изгибающих моментов и по­ перечных сил в концевых сечениях стержней при различных конце­ вых условиях их закрепления и одновременном действии продоль­ ной сжимающей силы и единичном линейном или угловом смеще­ нии одного из концов рассматриваемого стержня.

С этой целью постоянные Сь С2, Сз, С4 в выражениях (4.8) и (4.9) выразим через начальные параметры у<), Уо, Щ, Оо стержня, изображенного на рис. 4.4. С учетом начальных условий, т.е. у = - Уо»У'~Уо р Мх= MQ, Qy = fib при z = 0 из (4.8) и (4.9) получим

С\ + Q = у0; С2 +С$к = уЬ;

-k 1EJx С4 =М(,;

-k 2EJx Ci =0).

Откуда, определяя выражения постоянных и подставляя в выра­ жения (4.8) и (4.9), получим

Для дальнейшего нужно будет иметь выражения изгибающих мо­ ментов и поперечных сил на концевых сечениях стержця при двух вариантах закрепления — жестко защемленного с двумя концами, же­ стко защемленного на одном конце и шарнирно-опертого на другом.

179

Для деформирован­ ного состояния (2) имеем следующие граничные условия:

Уч = У/ = о;

yb = 1-,у 1 - о-

С учетом последних условий из первых двух уравнений (4.10) получим

Решение систем уравнений (4.11) можно записать в следующем виде (значения специальных функций приведены в табл. 4.1):

Оо = -уФзМ» tfo=4i'<Pi(v)-

Опорные реакции б/ и Mi на противоположном конце стержня определяются из условия ее равновесия, т .е .£ у = 0; "ZMA = 0. Из

первого уравнения получим fib = - б / , а из второго Mj = 2 / <р2(0).

Теперь предположим, что продольная сжимающая сила Р = 0. В этом случае все расчетные зависимости сильно упрощаются и при­ нимают вид

Ф1“ Ф2=Фэ= 1; М) = 4/; Mi=2i- б Ь = - у ; б/ = -бо-

180