книги / Строительная механика.-1

2. Выбор основной системы

Известно, что основная система определяется из заданной путем отбрасывания лишних связей и приложением соответствующих уси­ лий, возникающих в отброшенных связях в заданной системе. При этом основная система должна быть статически определимой и гео­ метрически неизменяемой.

Сравнивая три варианта основных систем (рис. 2.9, б — 2.9, г), приходим к выводу, что наиболее целесообразно в качестве основ­ ной системы выбрать I вариант (рис. 2.9, б), так как в этом случае:

-не требуется предварительное вычисление опорных реакций;

-эп ю ры изгибающих моментов, построенные в этой схеме от

воздействия на нее каждого из усилий Х\ = 1, Хг = 1, Р и q, будут распространены на меньшем количестве участков системы и пред­ ставлены простейшими геометрическими фигурами. Это значи­ тельно облегчает процесс определения коэффициентов канониче­ ских уравнений.

3. Составление системы канонических уравнений

Канонические уравнения, необходимые для решения статически неопределимых задач, представляют собой уравнения совместности деформаций. Число их всегда равно степени статической неопреде­ лимости. Физический смысл каждого из канонических уравнений, как было указано выше, состоит в том, что суммарное перемещение по направлению усилий Я/ от всех действующих в основной системе силовых факторов, включая и неизвестные, равно 0, так как в дей­ ствительности в этих направлениях стоят связи, препятствующие возникновению перемещений по направлению этих неизвестных.

Для рассматриваемого случая канонические уравнения имеют вид:

621*1 + &22*2 + А2Р + A2tf ~

А. Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Так как все коэффициенты канонических уравнений представ­ ляют собой перемещения, то для их вычисления вначале строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе. Затем по формуле Мора с применением готовых формул (см. табл. 2.1) или правила Верещагина с использованием табл. 2.2 определим их значения.

91

Эпюры изгибающих моментов, построенные в основной системе от воздействия на нее каждого в отдельности усилия Х\ * 1; Xi = 1; Р и q, показаны на рис. 2.9, д - 2.9, з.

Исходя из единичных и грузовых эпюр определяем коэффици­

5.Проверка правильности подсчета коэффициентов

Правильность расчета коэффициентов канонических уравнений осуществляется путем универсальных проверок, при этом должны выполняться следующие условия:

£ 8 = 5*;

(2.11)

= АsPqy

где L5 — сумма всех найденных главных и побочных коэффици­ ентов

26 * 8ц + 6i2 + 621 + 622;

— величина, полученная в результате умножения единичной

суммарной эпюры на себя

92

к hM z My

8 „ * I J— = ^ r- dx\ У=1о & j

£Л — величина, определяемая сложением значений, полученных в результате умножения эпюры М£ на эпюру Мр и эпюры М£ на эпю­ ру Мд; к — количество участков эпюры.

Эпюра М£ (рис. 2.9, и) строится в основной системе от одновре­ менного воздействия на нее всех неизвестных единичных усилий (Х\ = 1; Х2 = 1), т.е. путем сложения единичных эпюр М\ и Mi

М£ = (Mi + М2).

Таким образом, оба условия удовлетворяются. Следовательно, коэффициенты канонических уравнений рассчитаны верно.

6.Решение системы канонических уравнений

ипроверка ее правильности

Подставив в систему уравнений значения коэффициентов кано­ нических уравнений, получим

93

Решив эту систему уравнений, найдем значения неизвестных

*1 = 4.267 кН; * 2 = 0.865 кН.

Правильность вычисления неизвестных проверим путем под­ становки найденных значений Х\ и *2 в исходные уравнения:

108-4.267 - 25.5-0.865 - 438.750 = 460.836 - 460.808 * 0;

-25.5-4.267 + 11.333-0.865 + 99 = -108.808 + 108.803 » 0.

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов Мок в характерных сечениях заданной системы целесообразно подсчитать в табличной форме (табл. 2.3), предварительно пронумеровав все характерные сечения и задавшись правилом знаков изгибающих моментов (рис. 2.10, б).

Окончательную эпюру изгибающих моментов Мок для заданной системы строим в соответствии с принципом независимости дейст­ вия сил путем сложения «исправленных» эпюр М\ Х\ и М2Х2 с гру­ зовыми эпюрами Мр и Mq, которые построены в основной системе

Мок-МхХi + М2Хг + Мр+Мя.

«Исправленные» эпюры изгибающих моментов М\Х\ и М2Х2 строим путем умножения всех ординат единичных эпюр М\ и М2, соответственно на значения Х\ и * 2 с учетом их знака. Построенные таким образом эпюры М\Х\ и М2Х2 приведены на рис. 2.9, к и рис. 2.10, а.

Так как на участке 2—3. эпюра Мок (рис. 2.10, в) криволиней­ на, то для уточнения ее очертания необходимо найти экстре­ мальное значение изгибающего момента. Для этого рассмотрим элемент 2—3, вырезанный из статически неопределимой систе­ мы. На этот ригель действует равномерно распределенная на­ грузка q = 2 кН /м и два опорных момента М2 = -3.128 кН-м и М3 * 5.071 кН-м (табл. 2.3).

94

х>

7V2_3=0,865KH----

0,865кН

15,733кН 0,865кН «

и)

Рис. 2.10

Расчетная схема этого элемента показана на рис. 2.10, г. Вначале

откуда Л2 ■ 5.733 кН и Л3 = 0.267 кН.

Проверим правильность вычисления опорных реакций, составив

= M d, использовав следующую дифференциальную зависимость

^ J ^ = 0(Z) = * 2 - ? Z = 0 ,

Я2

Тогда для этого сечения получим

= 5.099 кН-м.

96

По найденным значениям ординат строим окончательную эпюру изгибающих моментов Мокдля заданной рамы (рис. 2.10, в).

8. Проверка правильности построения эпюр Мм и Q(z)

Для проведения статической проверки вырезаем жесткие узлы рамы кроме опорных, прикладываем все действующие в них мо­

менты и проверяем условия равновесия ЪМуз = 0.

В нашем примере вырежем узлы В и С (рис. 2.10, д) и проверим их равновесие.

Узел В : Ш уз = 3.128 - 3.128 = 0.

Узел С : I Муз = 5.071 + 1.73 - 6.801 = 0.

Условия равновесия узлов В и С выполняются. Выполнение ус­ ловия равновесия узлов является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности определения Мок является выполнение деформационной проверки заданной системы с приме­ нением эпюры Мок, суть которого заключается в доказательстве от­ сутствия перемещения в точках и по направлению каждой отбро­ шенной связи, т.е.:

_ * \ M0KMS

Л* = /= io EJj dx = 0.

Эта проверка хотя и не имеет физического смысла, так как скла­ дываются различные по направлению перемещения, но она дает возможность доказать правильность построения во всех сече­ ниях заданной системы.

Для удобства вычислений целесообразно расчленить криволи­ нейную эпюру Мок на участке рамы 2-3 (рис. 2.10, в) на трапецеи­

Q(z) = dM(z)/dz или записывая в конечных разностях

где Q° (z) — поперечная сила в сечениях с координатой z по длине участка, имеющего расчетную схему в виде простой двухопорной балки, засуженной заданной внешней нагрузкой (рис. 2.10, г).

Участок 0—1. На этом участке внешняя нагрузка отсутствует, поэтому С° (z) = 0, и О н определяем по формуле (2.14)

flb-1 = - }12g- < - u 9 8 > = -0.865 кН.

У часто к 2—3. В этом случае при наличии нагрузки q - 2 кН /м имеем

У часто к 8—9.

f t - , = i r = 4 2 6 7 кН -

По найденным значениям ординат строим эпюру Q (рис. 2.10, е).

9. Построение эпюры N

Ординаты эпюры продольных сил определяем из условий рав­ новесия I z = 0 и Еу = 0 узлов рамы, вырезанных из эпюры Q. При этом отрицательную поперечную силу направляем так, чтобы она вращала вырезанный узел против хода часовой стрелки, а поло­ жительную - по ходу часовой стрелки. Нормальные силы направ­ ляем от узла, т.е. предполагаем, что стойка и ригель растянуты.

Вырезав узел В (рис. 2.10, ж), составим уравнения равновесия:

Знак «минус» говорит о том, что направления продольных уси­ лий ригеля и стойки были приняты неверно. Поэтому в действи­ тельности ригель и стойка не работают на растяжение, а на сжатие.

Из рассмотрения равновесия узла С (рис. 2.10, з) следует:

98

По вычисленным значениям ординат для каждого участка стро­ им эпюру ЛГ(рис. 2.10, и).

10. Статическая проверка рамы в целом

Статическая проверка рамы в целом производится для под­ тверждения правильности построения эпюр Q, N и Мок. Она за­ ключается в проверке равновесия рамы в целом или любой отсе­ ченной ее части, т.е. проверке удовлетворения условий равновесия Zz = 0; Zy = 0; I,MA= 0 под воздействием внешних нагрузок и внутренних усилий, возникающих в местах проведенных сечений.

Для выполнения этой проверки отсечем заданную раму от всех опор и заменим их действие возникающими в этих сечениях внут­ ренними усилиями Qy N и Ы (рис. 2.10, к), значения которых опре­ деляются по эпюрам Qy N и Мок. Направление всех внутренних усилий при этом должно соответствовать их знаку. Следовательно,

Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, рама рассчитана верно.

2.5. Метод перемещеиий. Степень кинематической неопределимости рам

Для раскрытия сути метода перемещений дадим определение по­ нятия степени кинематической неопределимости. Степенью ки­ нематической неопределимости называется число возмож­ ных перемещений узлов заданной системы.

Как это было показано выше, при расчете статически неопре­ делимых систем по методу сил искомыми величинами принимались усилия в лишних связях (силы и моменты). После определения не­ известных усилий в лишних связях далее по методу сечений опре­ деляются внутренние усилия в произвольном сечении и через них устанавливаются величины перемещений в любой точке конст­ рукции. При расчете статически неопределимых систем по методу перемещений за искомые величины принимаются те перемещения, через которые можно будет определить величины внутренних уси-

99