книги / Строительная механика.-1

Для построения правой прямой линии влияния усилия D\ на левой опорной вертикали откладываем от оси отсчета вниз ординату -1/sina и соединяем ее вершину с нулевой точкой правой опорной вертикали (прямая т'п на рис. 1.39, в). Для построения левой пря­ мой откладываем вверх ординату 1/sina на правой опорной вер­ тикали, вершину которой соединяем с нулевой точкой левой опор­ ной вертикали (прямая mri на рис. 1.39, в). Для учета узловой пере­

передаточная прямая ab линии влияния усилия D\ в раскосе 4 —6

основной фермы (рис. 1.39, в). Линия влияния усилия в рас­

косе 4 —5 шпренгеля идентична линии влияния усилия D f раскоса 6’—5 (см. рис. 1.39, д).

Алгебраическая сумма линий влияния усилий D\ и Df° обра­

зует линию влияния усилия Df (рис. 1.39, в). При этом треугольник

abc представляет линию влияния усилия

При построении линии влияния усилия Ог в стержне 4 — верх­ него пояса, элементе первой категории, проведем сечение 1—1 в основной ферме (см. рис. 1.39, б).

Рассмотрим равновесие левой отсеченной части фермы, когда груз Р = 1 находится справа от сечения. Для этого составим урав­

Полученные уравнения позволяют построить правую и левую прямые линии влияния усилия Oi. При этом они должны пере­ секаться под моментной точкой 4' (см.рис. 1.39, е).

Для построения линии влияния усилия Щ в стержне 6’—Т ниж­ него пояса, элементе третьей категории, вначале проведем сечение

II—II в основной ферме и построим линию влияния усилия U$ в

стержне б'—8' нижнего пояса основной фермы. Составив и решив

71

уравнение равновесия левой отсеченной части фермы 'EM™’ = О,

коша 1руз Р * 1 находится справа от сечения, получим уравнение правой прямой линии влияния:

Рассматривая равновесие правой отсеченной части основной фермы '£М£Р<Я' - 0 при 1рузе Р= 1, расположенном слева от сече­ ния, получим уравнение левой прямой линии влияния:

Построив правую и левую прямые (они должны обязательно пересекаться под моментной т. 6), получим линию влияния усилия Щ(см. рис. 1.39, з). Она имеет вид равнобедренного треугольника с положительной ординатой в вершине, равной 3d/H — 1.5.

К полученной линии влияния Щ в основной ферме следует прибавить усилия в пределах панели 6'—7' шпренгеля, изображен­ ную на рис. 1.39, ж. Линия влияния усилия Щ для заданной (шпренгельной) фермы изображена на рис. 1.39, з. Здесь треу­

гольник bed является линией влияния усилия Ujj* в стержне

шпренгеля 6'—7'.

Теперь построим линию влияния усилия V\ в стойке 2—2'. Стойка — элемент первой категории. Поэтому для построения ли­ нии влияния усилия в ней следует рассматривать только основную ферму (см. рис. 1.39, б). Вырезав узел 2' основной фермы (см. сече­ ние IV—IV на рис. 1.39, б), составим для него уравнение равновесия

ввиде суммы проекций всех сил на вертикальную ось 'Ey = 0. При приложении нафуэки Р - 1 в узле 2', получим

Если фуз Р - 1 расположен в узлах А или 4' основной фермы, то уравнение равновесия примет вид: V\ = 0.

Отложив под узлом 2' ординату (вверх), равную 1, и соединив ее вершину с нулевыми точками под узлами А и 4' прямыми, получим линию влияния усилия V\ стойки 2—2' (см. рис. 1.39, и). Она имеет вид треугольника с наибольшей ординатой, равной единице. Поло­ жительный знак указывает на то, что стойка работает на рас­ тяжение.

72

3.Расчет максимального усилия в элементе пояса при загружении его линии влияния заданной временной нагрузкой от железнодорожного

подвижного состава класса К = 10

Для определения опасного положения нагрузки на линии влия­ ния, имеющей вид треугольника, как известно, необходимо удов­ летворение двух неравенств

где X Р*6*’— сумма грузов, расположенных левее Ркр; Ркр — кри­

тический 1руз, установленный над вершиной линии влияния; 1 Р — общий вес грузов, устанавливающихся в пределах линии влияния; а — проекция наименьшего расстояния от вершины до левого кон­ ца линии влияния (при движении поезда справа налево); / —длина линии влияния.

Для вычисления максимального усилия (hmax в стержне 4—6 верхнего пояса (см. рис. 1.39, к) от заданной поездной нагрузки класса К= 10 вначале найдем невыгоднейшее загружение линии влияния. С этой целью установим, какой из грузов будет критиче­ ским.

Предположим, что груз Р% расположен над вершиной линии влияния. Так как а < Ь, нагрузку от железнодорожного подвижного состава надвигаем справа налево. Тогда общий вес грузов, уста­ навливающихся на линии влияния / = 6Ом, составит

£ Р = Д = 16 -25* + 2 Ы 0 * = 16-25.10 + 21 10 10 = 6100 кН.

Подсчитаем левые и правые части неравенств (1.33) и (1.34):

X Р"*' = 7 - 25 К = 7 - 25 • 10 = 1750 кН;

X Р**’+ Ркр. = 1750 + 250 = 2000 кН;

X P j =6Ю оЦ = 2033.33 кН.

Откуда следует, что неравенства (1.33) и (1.34) не удовлетворя­ ются. Поэтому груз Р^ не является критическим, а данное загруже­ ние не будет невыгоднейшим.

73

Теперь предположим, что фуз Р? располагается над вершиной линии влияния. В этом случае

2 Рш ' =2000 < 2166.67 кН.

Оба неравенства удовлетворяются. Следовательно, ф уз Р$ явля­ ется критическим, а загружение невьподнейшим. Положение нафузки, соответствующее невыгоднейшему захружению линии влия­ ния усилия О;, показано на рис. 1.39, к. Наибольшее усилие 02тях в этом элементе, соответствующее невыгоднейшему зафужению, оп­ ределим по формуле:

где Р/ — вес каждого сосредоточенного фуза заданной нагрузки;

Я/ — значение ординат линии влияния под каждым сосредоточен­ ным фузом; Щ - площадь участка линии влияния под равномерно распределенной нафуэкой.

Значения ординат под каждым сосредоточенным фузом при

приведены в табл. 1.3.

Площадь участка линии влияния под равномерно распределен­ ной нафуэкой равна

<0, = ! Л16• 25 = ! •(-0.825) • 25 = -10.3 м.

74

Итак,

#2 max = 250 (-13.068)+ 100 . (103) = -4298 кН.

4. Определениеусилий в элементе верхнего пояса Oi с помощью загружения еголинии влияния эквивалентной нагрузкой класса К.

Сравнитьрезультаты, полученные в пп. 3 и 4

Процесс определения невыгоднейшего положения поездной на­ грузки и последующего вычисления наибольших расчетных значе­ ний усилий с помощью линий влияния их является довольно гро­ моздким и трудоемким. Этот процесс может был» упрощен благо­ даря использованию таблицы эквивалентных нагрузок (табл. 1.3).

Вычислим эквивалентную нагрузку для данной линии влияния по указанной таблице и сравним ее с полученной. Положение вер­ шины линии влияния определяется соотношением

75

где а — проекция наименьшего расстояния от вершины до конца

линии влияния, а —20 м.

Величину эквивалентной нагрузки при классе К= 1 найдем ин­

числим величину усилия в элементе верхнего пояса по формуле

<h * ©2-Яжв. = 1.33-60.10.34/2 = 4126 кН,

где ©2 - площадь всей линии влияния 02-

Сравнение величин усилия Oi, полученных аналитическим спо­ собом и по эквивалентной нагрузке, показывает, что погрешность

5. Определениеусилий в раскосе D\ с помощьюзагружения его линии влияния собственным весом фермыq - 40 кН /м

и сравнить срезультатом, полученным в л. 1

Загрузив линию влияния D\ равномерно распределенной на­ грузкой q * 40 кН/м, усилие в этом элементе вычисляем по форму­ ле D\ = ФФ-tga, гае

Тогда А * 404-10.611) = -424.34 кН.

Сравнение значений усилий D\ , полученных двумя способами показывает, что погрешность составит

А 426-42434 100% - 0.37%. 42434

Таким образом, результаты вычислений практически совпадают.

76

Г Л А В А 2

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

2.1.Статически неопределимые стержневые системы

Статически неопределимой называют такую систему, ко­ торая не может быть рассчитана по методу сечений с использова­ нием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лиш­ ними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, ко­ торые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превратить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую сис­ тему.

Количество лишних связей, которые следует удалить из ста­ тически неопределимой системы для обращения ее в статически определимую и геометрически неизменяемую, называют сте­ пенью статической неопределимости.

Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.

Внешне статически неопределимой называют такую сис­ тему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные закрепления. Примером внеш­ не статически неопределимой плоской системы является трехпролетная рама

(рис. 2.1).

Степень статической неопределимо­ сти системы С легко установить путем вычитания из общего числа опорных стержней т число стержней, необходи­ мых для сохранения геометрически не­

плоских и шесть — для пространственных систем).

Для плоской рамы, изображенной на рис. 2.1, учитывая, что за­ щемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем

т = 3 + 2-2+1 = 8; С = /я - 3 = 8-3 = 5, т.е. данная система 5 раз статически неопределима.

78

Внутренне статически неопределимой называют сис­ тему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.

Двухопорная рама с затяжкой (рис. 2.2, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис. 2.2, 6) получена из заданной (рис. 2.2, а) путем разрезания за­ тяжки аЪ. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой JVj. Следовательно, в ста­ тически определимой системе, изображенной на рис. 2.2, б, имеем одно лишнее неизвестное , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис. 2.2, а) яв­ ляется один раз статически неопределимой.

Ьг irkr.

Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис. 2.3, а, то получим трижды статически неопределимую систему.

Действительно, в данном случае после разрезания нижнего риге­ ля аЪ, взаимодействие частей ас и Ьс характеризуется уже тремя не­ известными усилиями N\, Qi, М\ (рис. 2.3, б), которые нельзя опре­ делить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис. 2.3, а, является три раза внутренне статически неопределимой.

Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замк­ нутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следова­ тельно, если плоская система содержит п замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3-л раз статически неопределима.

Отметим следующие основные свойства статически неопреде­ лимых систем.

Статически неопределимые системы ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­ делимой системой, оказываются более жесткими, а при идентичном характере нагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.

Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой, геометрически неизменяемой системе, в то вре­

79

мя как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

В строительной механике различают следующие два классиче­ ских метода расчета статически неопределимых систем: метод сил я метод перемещений.

При расчете по методу сил основными искомыми величинами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений, как это было показано в первом разде­ ле учебника, выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

При расчете по методу перемещений основными искомыми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные де­ формацией системы. Знание этих перемещений необходимо и дос­ таточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.

2.2.Определение перемещений в стержневой системе

При расчете статически неопределимых систем, кроме уравнений равновесия, как известно, приходится составлял» и решать уравнения совместности деформаций системы. Для составления таких уравнений необходимо умел» определял» перемещения заданной системы. Эго приходится часто делал» и при расчете статически определимых систем, которые должны обладал» не только достаточной прочностью, но и же­ сткостью, так как в процессе их эксплуатации нормируются не только напряжения, но и перемещения конструкций.

Таким образом, изучение общих методов определения переме­ щений упругих систем является одной из основных задач строи­ тельной механики.

При определении перемещений заданной системы очень важным является понятие работы внешних сил на возможных пе­ ремещениях, которая при их статическом действии на сооружение равна сумме половины произведения значения этир сил на ве­ личину соответствующего им перемещения. Работа внешних сил на вызванных ими перемещениях может быть выражена через вну­ тренние усилия (изгибающие моменты, продольные и поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях стержней конструкт ции. На этом основан один из наиболее распространенных спосо­ бов определения перемещений — способ, предложенный немецким ученым О. Мором в 1874г.

Пусть рассматриваемая заданная стержневая система под влия­ нием внешнего воздействия деформируется и требуется определить

80