книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

Поскольку в нашем случае а—О, устойчивое решение возмож­ но лишь при q < 0,8 (рис. 2.40), т. е. фокусировка может быть осу­ ществлена лишь при выполнении условия

Условие (2.219) показывает, что при достаточно большой величине второй производной U" на границе пучка оптическая сила линвы возрастает настолько, что пучок й перефокусируется, начинается оседа­ ние электронов на кольцо фокусирую­ щей системы, токопрохождение нару­ шается. Наличие полосы запирания пучка, соответствующей переходу в об­ ласть неустойчивости на диаграмме Матье, вообще характерно для систем периодической фокусировки. Посколь­

ку величина U"(r0) определяется фо­ кусирующим потенциалом ДU, из (2.219) следует, что получение устой­ чивого потока возможно лишь при

ДС/<С/сР.

нус действительного дробного порядка), вычисляемые с помощью соответствующих рядов; Ci и С2— постоянные интегрирования, оп­ ределяемые начальными условиями; третий член — частное реше­ ние уравнения (2.216).

тельно большим 2L, а последний член — волнистость с периодом, равным 2L (рис. 2.41).

Соответствующим подбором начальных условий пульсации мо­ гут быть сделаны сколько угодно малыми. Например, если при вводе пучка в систему периодической фокусировки его радиус ра­ вен среднему значению Го, то постоянная С2 обращается в нуль;

лучить приближенное выражение, пренебрегая am+1 в сравнении с

&т—1*

Следовательно, ряд быстро сходится и для приближенных рас­ четов вполне допустимо ограничиться его первым членом, опреде­ лив а\ из (2.223).

Таким образом, при принятых начальных условиях (гаач=го и dri/dz|цач= 0) радиальное движение крайнего электрона пучка опи­ сывается приближенным уравнением

Последнее уравнение показывает, что волнистость пучка умень­ шается, пучок становится более гладким при уменьшении периода системы и U', т. е. при малых значениях AU по сравнению с Ucр. Следует отметить, что более точные решения, учитывающие по­ следующие члены ряда (2.221), несущественно отличаются от при­ ближенных выражений (2.227) и (2.228).

Величина фокусирующего потенциала приближенно может быть оценена по формуле

где Р — первеанс пучка, a/е3/2; F — определяется формулой

(2.210);

(2.230)

Jo, Jo', Jo" — модифицированная функция Басселя и ее первая и вторая производные.

% ,'М Ucp-&U UCf*AV UCP-&U Ucp*AU

Рис. 2.42. Система электростатической периодической фокусировки, образованная последовательностью дисков

Приведенные решения для системы периодической фокусиров­ ки, образованной последовательностью колец, справедливы также для фокусирующей системы типа биспирали (см. рис. 2.39, б). От­ личие состоит лишь в том, что «горбы» и «провалы» ВОЛНЙ СТО СТц на поверхности пучка не будут лежать в плоскостях, перпендику­ лярных к оси пучка, а будут образовывать на поверхности пучка винтовые линии в соответствии с положением витков биспирали.

Периодическая электростатическая фокусировка может быть

где Ucp — усредненный потенциал на оси, определяющий среднее значение осевой скорости электронов пучка; U\ — амплитудное зна. чение периодической составляющей потенциала на оси; 2L — п^. риод системы.

Составим уравнение движения крайнего электрона осесиммет­ ричного ламинарного потока в рассматриваемой системе фокуси­ ровки, ограничиваясь параксиальной областью. Используем основ­ ное уравнение параксиальной геометрической оптики (1.8) и уч­ тем действие пространственного заряда согласно (2.7):

иа-&и

Рис. 2.43. Упрощенная форма электродов системы периоди­ ческой фокусировки

Таким образом, и в случае фокусирующей системы, состоящей из последовательности дисков, волнистость будет тем меньше, чем меньше амплитуда изменения осевого потенциала U\ по сравнению с t/Cp; однако это уменьшение возможно лишь при соответственном уменьшении периода системы согласно условию (2.233).

Возможен другой подход к созданию систем периодической эле­ ктростатической фокусировки. Предположим, что вдоль границы интенсивного электронного пучка расположен ряд электродов; форма и потенциалы электродов подобраны так, что в каждой точ­ ке на границе пучка сила расталкивающего действия пространст­ венного заряда уравновешивается силой внешнего электрического поля, создаваемого системой электродов. Очевидно, такая поста­ новка задачи аналогична методу Пирса, используемому при реше­

спечивающей существование приблизительно параллельного элек­ тронного потока.

Рассмотрим систему магнитной периодической фокусировки. Такая система представляет собой последовательность расположен­ ных вдоль оси магнитных линз, образованных короткими катуш­ ками или кольцеобразными постоянными магнитами с полюсными наконечниками (рис. 2.44); магнитные поля в соседних линзах направлены противоположно, т. е. линзы имеют противоположную полярность.

При этом в приосевой области создается знакопеременное пе­ риодическое (вдоль оси) магнитное поле. В общем случае осесим­ метричной системы магнитная индукция изменяется как вдоль оси, так и по радиусу: B= B(z, г). Однако если радиус пучка в несколь­ ко раз меньше внутреннего радиуса полюсных наконечников линз, то с достаточной для практических целей степенью точности в об­ ласти, занятой пучком, можно пренебречь зависимостью В от г, т. е. ограничиться параксиальным приближением и аппроксимиро­ вать приосевое распределение магнитного поля гармонической функцией:

где Вт— амплитудное значение магнитной индукции вдоль оси; 2L — период системы.

Для определения формы осесимметричного пучка в системе пе­ риодической магнитной фокусировки используем уравнение дви­ жения крайнего электрона в продольном магнитном поле (2.136).

параметр катодных условий:

Тогда при подстановке B0{z) из (2.235) в (2.136) с использо­ ванием (2.236), (2.237), (2.238) и (2.239) получим уравнение дви­ жения крайнего электрона осесимметричного пучка в периодичес­ ком магнитном поле:

Полученное нелинейное дифференциальное уравнение с перио­ дическим коэффициентом является уравнением типа уравнения Матье [ср. с (2.216)], но в отличие от (2.216) в рассматриваемом случае а из канонического уравнения Матье (2.217) не равно нулю (а = афО), а и q канонического уравнения связаны соотношением

a=2q. (2.241)

Эта связь представлена на диаграмме устойчивости Матье (см. рис. 2.40) прямой, проходящей через начало координат. Таким об­ разом, получение стабильного пучка, как и в случае периодической электростатической фокусировки, возможно лишь при значениях параметра а, соответствующих областям устойчивости на диаграм­ ме Матье. Как видно из рис. 2.40, первая область устойчивых ре­

шений соответствует значению параметра магнитного поля а от о до 0,66, вторая — от 1,72 до 3,76 и т. д. В большинстве практиче­ ских случаев значение а лежит в пределах 10_2-г10-1, т. е. имеется возможность получить стабильный поток в первой области устой­ чивости — при сравнительно небольшой величине магнитной ин­ дукции.

Приближенное решение уравнения (2.240) возможно в предпо­ ложении малой волнистости потока, т. е. при подстановке

Анализ уравнения (2.244) показывает, что в общем случае гра­ ница интенсивного пучка в периодическом магнитном поле пред­ ставляется волнистой линией. При этом отклонения радиуса пучка от среднего значения зависят не только от соотношения /, U0, Вт>

совпадающему с (2.159) при Вт/у2= В0. Решение уравнения (2.248) имеет вид [ср. с (2.160)]

(2.249)

При полной экранировке катода (5 К=0)

Выражение для гср совпадает с бриллюэновским радиусом (2.145) в_однородном магнитном поле, имеющем величину индук­

ции Вт/}/2. Следовательно, в периодическом магнитном поле воз­ можно существование потока, аналогичного бриллюэновскому, но роль бриллюэновского поля играет не амплитудное, а среднеквад­ ратичное (эффективное) значение магнитной индукции. Конечно, и в этом случае волнистость границы пучка, определяемая периоди­ ческим изменением поля, остается и смысл бриллюэновского ради­ уса имеет средняя за период величина радиуса пучка.

Предположим теперь, что условие (2.245) выполнено. Тогда уравнение (2.244) запишется как

Решение этого уравнения может быть найдено методом после­ довательных приближений. В качестве первого приближения ис­ пользуем решение «укороченного» (без правой части) уравнения (2.251), которое имеет вид

4 — ш2

где со2= 2 а (Ц -£ 2).

Положим Ci = C2=0, представим cos 2Z в виде - 1 (1 + cos 4Z)

и подставим 6 из (2.252) в правую часть уравнения (2.251). Тогда вторым приближением будет решение полученного уравнения:

Запишем общее решение этого уравнения