книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

р(х, у)1&о, то измеренное в ванне распределение потенциала будет соответствовать картине поля в моделируемой системе с учетом пространственного заряда. Глубина электролита связана с плот­ ностью пространственного заряда соотношением

8

(2.77)

где интегрирование ведется вдоль силовой линии поля s.

Поскольку вначале не известны ни величина |gradt/|, ни поло­ жение силовой линии, при практическом применении ванны с про­ филированным дном задачу приходится решать (так же, как и в ванне с токовводящими элементами) методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения используется кар­ тина поля, полученная в ванне с плоским дном, т. е. без учета пространственного заряда. Затем по картине поля находят grad Uy по величине тока и потенциалу определяют р и по (2.77) вычисля­ ют 1г. В соответствии с полученными значениями h деформируют дно, снова снимают картину поля — получается первое приближе­ ние. Затем по полученным в первом приближении данным вычис­ ляют новые значения /г, соответственно изменяют деформацию дна и снимают картину поля во втором приближении. Повторяя эти операции несколько раз, можно получить мало отличающееся в следующем приближении распределение потенциала, которое и бу­ дет с достаточной для практических целей степенью точности опи­ сывать поле в моделируемой системе с учетом пространственного заряда. Электролитическая ванна с прифилированным дном может служить и для моделирования осесимметричных систем при накло­ не ванны.

Метод электролитической ванны с профилированным дном получил меньшее распространение, главным образом из-за практиче­ ских неудобств, вызванных необходимостью при переходе к сле­ дующему приближению освобождать ванну от электролита и моде­ ли, изменять профиль дна и снова устанавливать модель и зали­ вать электролит. Даже при использовании в качестве материала дна легко деформируемых веществ, например воска, решение зада­ чи в пятом-шестом приближении оказывается весьма трудоемким.

тами.

Если поле с учетом пространственного заряда рассчитано или найдено экспериментально в виде системы эквипотенциальных ли­ ний, то построение траекторий электронов может быть выполнено одним из графо-аналитических методов, описанных в § 1.7. Можно поступить и иначе — рассчитать или смоделировать поле без учета пространственного заряда (см. § 1.4), а действие пространственно­ го заряда учесть при построении траекторий. Рассмотрим этот ме­

тод на примере осесимметричного электронного пучка. Как было показано в § 2.1, радиальная составляющая напряженности элек­ трического поля, создаваемого пространственным зарядом на гра­ нице пучка, приближенно с учетом сделанных предположений [см.

уравнаение (2.6)] равна Er = — I/2пгоГ\ — U Это выражение в ’ т

первом приближении можно использовать и при наличии внешнего поля, если значение U, определяющее энергию электрона, равно ис­ тинному значению потенциала в рассматриваемой области.

Метод построения траекторий электронов с учетом пространст­ венного заряда основан на допущении, что вектор скорости электро­ на в любой точке траектории равен сумме векторов: скорости v3, определяемой внешним полем, и скорости Av, определяемой дей­ ствием пространственного заряда:

заряда. Найдем дополнительную скорость До. Импульс силы Tv, соз­

Поскольку До<соэ (относительное изменение потенциала в пуч­ ке невелико), величину At можно оценить как

АI

(2.79)

v3

Тогда на основании (2.6), (2.78) и (2.79) для До получается вы­ ражением

где At — длина отрезка траектории.

Направление До противоположно Ег, т. е. перпендикулярно к оси в сторону от оси пучка. Практически построение траектории с учетом действия пространственного заряда производят в следую­ щем порядке. Рассчитанное или смоделированное поле (без учета

считывают величину v __Т/ ^£_ ц ив том же масштабе из точки О

проводят вектор скорости иэ2 так, чтобы его конец лег на прямую, параллельную оси, проведенную через конец вектора vgi (точка С). Отрезок АС делят пополам (точка В). Рассчитывают величину До по формуле (2.80); входящие в ('2.80) величины означают; ДI— расстояние между эквипотенциалями U\, V2\г — средний радиус пучка (расстояние траектории от оси посередине между эквипотен­

погрешность не превышает нескольких процентов, что вполне допу­ стимо в ряде практических случаев. В то же время при использо­ вании этого метода построения траекторий отпадает необходимость расчета или моделирования поля с учетом пространственного за­ ряда, что дает большую экономию времени.

Достаточно точное и быстрое нахождение траекторий электро­ нов с учетом пространственного заряда получается при сочетании электролитической ванны с токовводящими элементами и траектографа. При наличии траектографа траектории находят методом по­ следовательных приближений. Сначала в ванне обычным методом моделируют электрическое поле без учета пространственного заря­ да и при помощи траектографа вычерчивают семейство траекторий (нулевое приближение). Затем по полученному распределению тра­ екторий и заданному току пучка рассчитывают токи токовводящих

элементов, моделируют поле с учетом пространственного заряда и снова вычерчивают траектории (первое приближение). По полу­ ченному распределению траекторий уточняют токи токовводящих элементов, моделируют поле и вычерчивают траектории (второе приближение) и т. д. Обычно четвертое приближение мало отли­ чается от третьего, и на этом процесс нахождения траекторий за­ канчивается. Использование ванны с токовводящими элементами и траектографа дает погрешность нахождения траектории электро­ нов при наличии пространственного заряда не более 1,5—2%. Осо­ бенно удобен этот метод при автоматизации расчета токов токо­ вводящих элементов. Конечно, наибольшая точность расчета полей и траекторий электронов с учетом пространственного заряда до­ стигается при использовании электронных вычислительных машин.

§ 2.3. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИНТЕНСИВНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ

Интенсивный электронный пучок в пространстве, свободном от внешних полей, неограниченно расширяется за счет расталкиваю­ щего действия пространственного заряда. Поэтому формирование интенсивных пучков определенной конфигурации и проведение сформированного пучка через канал ограниченного сечения воз­ можно лишь при условии компенсации сил пространственного за­ ряда внешними электрическими или магнитными полями.

Аналитическое или экспериментальное нахождение электричеческих и магнитных полей, необходимых для компенсации сил про­ странственного заряда и, следовательно, для удержания электрон­ ного потока в границах пучка заданной формы, является одной из основных задач электронной оптики интенсивных пучков.

Необходимо отметить, что само понятие «электронная оптика» в приложении к интенсивным пучкам несколько условно, так как фокусировка, т. е. сведение траекторий электронов в точку, полу­ чение электронно-оптических изображений при использовании пуч­ ков с не очень малым первеансом теряют смысл. Теоретически только неограниченно широкий ленточный пучок можно свести в линию, т. е. получить линейный фокус. Пучки же конечного сечения не могут быть сфокусированы в строгом смысле, так как при значи­ тельном сжатии пучка расталкивающие силы пространственного заряда неограниченно возрастают. Несмотря на эту условность, термин «фокусировка» интенсивных пучков широко распространен, и, говоря о фокусировке высокопервеансных пучков, следует пом­ нить, что под фокусировкой понимается формирование и удержа­ ние интенсивного пучка в заданных границах. В рамках устано­ вившейся терминологии говорят о фокусирующих и дефокусирую­ щих силах, понимая под первыми силы, направленные в сторону оси осесимметричного пучка или к средней плоскости ленточного пучка; дефокусирующими называют противоположно направлен­ ные силы. В таком понимании силы, расширяющие пучок за счет пространственного заряда, являются дефокусирующими, а силы,

создаваемые внешними полями, ограничивающие расплывание пучка, — фокусирующими. Точно так же фокусирующей силой яв­ ляется сила, возникающая за счет собственного магнитного поля движущихся электронов пучка, заметно проявляющаяся только при релятивистских скоростях.

Таким образом, создание и удержание в определенных границах интенсивного электронного потока можно назвать как формирова­ нием (что более точно), так и фокусировкой (что несколько услов­ но) интенсивного электронного пучка.

Необходимым условием существования интенсивного пучка, как было указано выше, является компенсация расталкивающей си­ лы пространственного заряда на границе пучка силой внешнего по­ ля, т. е. на границе пучка нормальная к границе фокусирующая си­ ла должна быть равна по величине и противоположна по направ­ лению дефокусирующей силе пространственного заряда. Однако для того чтобы пучок был устойчивым (мог стабильно существо­ вать длительное время), равенство нулю суммы фокусирующей и дефокусирующей сил недостаточно. Пучок будет устойчивым лишь в том случае, когда при смещении электронов с граничной траекто­ рии в любую сторону будет возникать сила, возвращающая элек­ трон на границу пучка. Причем, очевидно, пучок будет тем устой­ чивее, чем больше абсолютная величина этой возвращающей си­ лы и чем быстрее нарастает эта сила при смещении электрона с граничной траектории, т. е. чем больше производная силы по нормали к границе пучка. Величина этой производной (dFn/dr — для осесимметричного пучка) является одним из параметров фоку­ сирующей системы, характеризующих жесткость фокусировки. Можно сказать, что в устойчивом пучке любой электрон на грани­ це пучка находится в «потенциальной яме»; чем «глубже» эта «яма» и круче ее «склоны», тем жестче фокусировка, тем устойчивее пучок.

В общем случае для формирования (фокусировки) интенсивных электронных пучков могут использоваться электрические поля, со­ здаваемые системой электродов, магнитные поля, создаваемые ка­ тушками (соленоидами) или постоянными магнитами, а также ком­ бинации электростатических и магнитных полей (фокусировка на­ лагающимися полями). Поля могут быть постоянными, монотонно изменяющимися вдоль пучка или иметь периодическую структуру. В соответствии с этим различают электростатическую фокусировку интенсивных пучков, магнитную фокусировку и фокусировку перио­ дическими электростатическими и магнитными полями. Поскольку магнитная сила Лоренца пропорциональна скорости электронов, а магнитное поле принципиально не может быть ускоряющим (изме­ няющим энергию электронов), перед вводом в магнитно-фокусирую- щую систему электроны пучка должны быть ускорены электриче­ ским полем. Ускоряющее электрическое поле обычно используется и для формирования начальной части электронного потока. Функ­ цией магнитного поля в большинстве случаев является удержание потока, предварительно оформленного электрическим полем, в нуж­

ных границах, т. е. ограничение расширения пучка. Поэтому наря­ ду с термином «магнитная фокусировка» распространено понятие «ограничение пучка» магнитным полем.

Нахождение полей, формирующих интенсивные электронные пучки, является внешней по отношению к пучку задачей в отличие от внутренней задачи, рассматривающей распределение потенциала внутри пучка и на его границе. Различие в решении внутренней и внешней задач вытекает из различного вида уравнений, описываю­ щих распределение потенциала внутри и вне пучка: поле внутри пучка описывается уравнением Пуассона, а вне пучка, где про­ странственный заряд отсутствует, — уравнением Лапласа. Таким образом, при разработке систем для формирования интенсивных пучков приходится решать две задачи — внешнюю и внутреннюю, каждая из которых во многих практически важных случаях ока­ зывается достаточно сложной.

§ 2.4. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ФОКУСИРОВКА ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ

Внутренняя задача для электронных потоков, имеющих прямоли­ нейные траектории, совпадающие с электрическими силовыми ли­ ниями,— таких, как ламинарные потоки между плоскими парал­ лельными электродами, между электродами в виде двух соосных цилиндров и двух концентрических сфер, — имеет достаточно точное аналитическое решение. Этим решением является известное урав­ нение закона степени 3/г, широко используемое в теории токопрохождения в электронных лампах. Например, для плоской системы

где а=2,33 •10_6 ale9/s,U(z) — потенциал в плоскости, параллельной электродам, расположенной на расстоянии z от начального элект­ рода (катода).

При выводе уравнения (2.81) потенциал катода принимается равным нулю и предполагается, что скорости электронов в плоско­ сти катода (при 2= 0) также равны нулю. Очевидно, в плоской системе координат только составляющая напряженности поля Е2Ф0, а составляющие Ех и Еу тождественно равны нулю. В этом случае все электроны потока имеют только одну составляющую скорости vZt отличную от нуля, т. е. все траектории электронов прямолинейны и перпендикулярны к поверхности электродов — па­ раллельны оси 0Z.

В цилиндрической и сферической системах координат траекто­ рии электронов также прямолинейны и направлены по радиусам цилиндра и сферы соответственно.

Таким образом, в указанных системах известно распределение потенциала вдоль любой прямолинейной траектории. Из условия

Уравнение (2.81) получается из (2.52) при подстановке z = /, Umm=0.

существования прямолинейных траекторий непосредственно следу­ ет равенство нулю нормальной к траектории составляющей напря­ женности электрического поля — отсутствие силы, способной искри­ вить траекторию.

Исходя из известного решения внутренней задачи, можно сфор­ мулировать общий подход к решению задачи о формировании ин­ тенсивного потока ограниченного сечения при помощи электриче­ ского поля. Допустим, что из неограниченного потока между двумя плоскими параллельными электродами вырезан параллелепипед с ребрами, параллельными оси 0Z, или цилиндр с образующими, па­ раллельными оси 0Z, т. е. совпадающими с прямолинейными траек­ ториями электронов. В первом случае мы получим ограниченный пучок прямоугольного сечения (ленточный пучок), во втором — осесимметричный (цилиндрический) пучок. Аналогично из потока между соосными цилиндрами можно получить клиновидный (схо­ дящийся ленточный) пучок, а из потока между концентрическими сферами — сходящийся осесимметричный (конический) пучок.

Однако просто отбросить оставшуюся вне ограниченного пучка часть электронного потока нельзя, так как при этом изменятся ус­ ловия на границе пучка, в частности, нормальная к границе пучка составляющая напряженности поля не будет равна нулю (см. § '2.1). Очевидно, в общем случае ограниченный пучок можно получить лишь при условии, что поле, существовавшее на границе пучка за счет отброшенной части окружающего вырезанный пучок электрон­ ного потока, будет создано системой электродов определенной фор­ мы и с определенными потенциалами, расположенной вне пучка. Этот принцип и лежит в основе формирования интенсивных элек­ тронных пучков электрическим полем.

Таким образом, для поддержания интенсивного пучка в задан­ ных границах при помощи электрического поля необходимо, чтобы поле на границе пучка, создаваемое внешними электродами, удов­ летворяло следующим условиям: распределение потенциала вдоль границы пучка должно описываться непрерывной функцией, опре­ деляемой законом степени нормальная к поверхности пучка со­ ставляющая напряженности поля должна равняться нулю во всех точках поверхности пучка.

На основании сформулированного общего принципа формирова­ ния интенсивных пучков рассмотрим фокусировку пучка прямо­ угольного сечения электрическим полем. Из уравнения (2.81) не­ посредственно получается функция распределения потенциала вдоль границы пучка U(z):

Совместим начало координат с границей пучка в исходной пло­ скости (г= 0 ) и направим ось 0Y перпендикулярно к широкой сто­

роне пучка. Для нахождения распределения потенциала вне пучка необходимо в общем случае решить двумерное уравнение Лапласа с граничными условиями U(z)\y=o=Azlt» и dU/ду|„=0=0. Однако, поскольку U(0, z) (на границе пучка) известно, можно найти U (у, z), не решая уравнение Лапласа, воспользовавшись тем, что любая функция комплексного переменного, а также ее действи­ тельная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа. Пред­ ставим U(у, z) в виде действительной части функции комплексно­ го переменного (z + iy):

U(у, z) = R e[ f(z + iy)] = -^-[f(z + iy) + f(z — iy)]. (2.83)

Введенная таким образом функция (2.83) удовлетворяет урав­ нению Лапласа и указанным граничным условиям. Поскольку со­ гласно первому граничному условию при г/=0 U(0, z)= A z<la, для области вне пучка (у > 0)

U(у, z) = Re [Л (г + iyyi’] =

ка / и введем безразмерные координаты у/1 и г//. Тогда, используя уравнение (2.84), удобно представить распределение потенциала вне пучка в виде семейства эквипотенциальных линий U/Ua= = const в плоскости Y0Z (рис. 2.18).

Из рисунка видно, что все эквипотенциальные поверхности

Практически для формирования ленточного пучка необходимо поместить катод между двумя плоскостями, примыкающими к его краям и образующими с осью пучка угол 67,5° В качестве анода следует выбрать электрод, изогнутый по форме эквипотенциально^ поверхности U=Ua со щелью, равной толщине пучка (катода).

Аналогично можно получить осесимметричный (цилиндриче­ ский) пучок. Для этого из сплошного потока, заполняющего про.

странство между плоскими катодом и анодом, перпендикулярны­ ми к оси 0Z, нужно вырезать цилиндр с образующими, параллель­ ными оси 0Z. Задача сводится к решению уравнения Лапласа для

шения. Распределение потенциала вне пучка можно найти либо приближенным аналитическим решением, либо эксперименталь­ но— при помощи моделирования в электролитической ванне.

Удовлетворительная точность получается, если распределение потенциала вблизи пучка аппроксимировать рядом вида

линии тока обтекают диэлектрик, так что вблизи поверхности ди­ электрика линии тока параллельны ей, а эквипотенциальные по­ верхности (к которым линии тока всегда перпендикулярны) нор­ мальны к диэлектрической поверхности. Поэтому, если поместить в электролитическую ванну с наклонным дном (см. § 1.4) диэлек­ трическую пластинку параллельно «линии берега» на расстоянии г0 (в масштабе моделирования) от нее, то эта пластинка будет мо­

делью границы пучка, на которой всегда выполняется одно из гра­ ничных условий d U l d r \ r= r 9 = 0 . У концов диэлектрической пла­ стинки устанавливаются электроды, являющиеся моделью катода

U(Го, z) = A z4/*. Очевидно, найденная таким путем система электро­ дов обеспечит формирование осесимметричного (цилиндрического) пучка.

На рис. 2.19 показано семейство эквипотенциальных линий U/Ua = const в меридиональной плоскости осесимметричного поля, формирующего цилиндрический пучок.

Как видно из рисунка, нулевая (катодная) эквипотенциальная поверхность вблизи границы пучка имеет вид конуса с углом на­ клона образующей к оси 67,5°. По мере удаления от пучка угол раствора конуса постепенно увеличивается и при г>2г0 катодный

ность U=Ua) имеет форму слегка вогнутого тела вращения с от­ верстием по диаметру пучка, причем у края отверстия электрод перпендикулярен к границе пучка.

Ленточный сходящийся (клиновидный) пучок получается выре­ занием части потока, заполняющего пространство между двумя со­ осными цилиндрами. Распределение потенциала вдоль границы пучка по радиусу цилиндра описывается законом степени 3/2 для цилиндрической системы: