книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfАналогично могут быть найдены последующие приближения. Очевидно, они будут содержать убывающие члены с cos 6Z, cos 8Z и т. д. Поскольку в большинстве практических случаев a«Cl, мож но ограничиться вторым приближением (2.254). Для определения коэффициентов Сi и Сг введем начальные условия: начальное от клонение радиуса пучка от среднего значения 6 (Z)|z= 0= 6o и на-
|
|
db |
= о 0. |
чальный наклон траектории крайнего электрона ----- |
|||
Тогда |
|
dZ |
о |
|
|
|
|
80= |
Ci-|-£, |
So — C2u>, |
(2.255) |
где |
|
|
|
$ = - |
2io’ |
------- ------- "I |
(2.256) |
4 — ш2 |
2(16 —ш2) J |
|
|
Подставляя (2.255) в (2.254) с учетом (2.236) и (2.242), полу чим уравнение движения крайнего электрона пучка в периодичес ком магнитном поле:
г(* )= гер + |
г,с р (о0- |
5)cos - |
2тГО) |
8л |
2тгсо |
|
|
|
— |
г -1-------sin— - 2 + |
|
||||||
|
|
|
L |
(в |
L |
|
|
|
а |
4it |
а |
|
а |
COS---- |
2 |
) |
(2.257) |
4 - ш 2 |
COS---- 2 |
2Ш2 |
2 ( 1б — 0)2) |
|||||
L |
L |
|
|
|||||
_ |
уравнении члены |
. |
2 TOD |
и |
|
2ito> |
||
В приведенном |
с s m ------ 2 |
cos --------2 |
||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
Z. |
определяют пульсации пучка, члены |
|
4ir |
|
|
811 |
|||
с cos ~^—z и |
cos-^— 2 — |
|||||||
волнистость. Это уравнение удовлетворительно описывает контур пучка в периодическом магнитном поле при следующих условиях:
а и р меньше единицы, малое отклонение начального радиуса пуч |
|
ка от среднего значения (малом 6о) и малый |
начальный наклон |
траекторий крайних электронов (малом бо')- |
При невыполнении |
этих условий контур пучка может быть найден с помощью вычис лительных машин. Результаты машинных расчетов показывают, что характер изменения контура пучка сохраняется и при больших значениях а, р и 6о, т. е. пульсации и волнистость сохраняются, однако амплитуда пульсаций и волнистости может стать недопу стимо большой.
Как было указано, минимальные пульсации получаются при вы полнении соотношения (2.245). При полностью экранированном ка
тоде |
(/г=0) это условие приводит к равенству р=а. Приравнивая |
а и р , |
можно определить оптимальное, обеспечивающее получение |
пучка с наименьшими пульсациями, значение магнитной индукции.
Из (2.237) и (2.238) имеем
( —7=-У =5эф ф = |
V 2 |
|
U'J'rlр |
|
|
W * |
|
|
69 //*/| 2 |
^]* |
(2.258) |
Uo гср |
|
|
Расчеты, произведенные с помощью вычислительных машин, по казывают, что формула (2.258) справедлива при значениях а и р, не превышающих примерно 0,2. В случае больших значений а и р минимальные пульсации получаются при а > р (рис. 2.46). На ри-
И
Рис. 2.46. |
Оптимальные соотно- |
Рис. 2.47. Зависимость контура |
шения |
параметров а и р |
пучка от отношения p/а (числа |
|
|
у кривых) |
сунке приведены также графики оптимальных соотношений пара метров а и р для £=т^0, т. е. для частично экранированного като да пушки.
Для получения минимальных пульсаций, кроме указанного оп тимального соотношения а и р , необходимо достаточно точное вы полнение начальных условий ввода пучка в периодическую магнит ную систему. Интересно отметить, что характер пульсации при не выполнении оптимального соотношения а/p зависит от величины этого соотношения. При р/а<1 пульсации направлены внутрь пуч ка, при р/а>1 — наружу (рис. 2.47).
Следовательно, при необходимости провести пучок через канал заданного сечения целесообразно иметь а > р , так как в этом слу
чае контур пучка не будет выходить за пределы гср (пульсации на правлены внутрь пучка).
Периодически изменяющееся магнитное поле может быть при менено также для ограничения (фокусировки) ленточного потока. Анализ, аналогичный приведенному для осесимметричного потока, показывает, что и для ленточного пучка при определенных соот ношениях параметров пучка и магнитного поля возможно получе ние устойчивого потока с волнистой границей.
§2.7. ПОНЯТИЕ СИНТЕЗА СИСТЕМ ФОРМИРОВАНИЯ ИНТЕНСИВНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ
Решение задачи о формировании (фокусировке) интенсивных эле ктронных пучков, так же как и решение задач геометрической эле ктронной оптики без учета действия пространственного заряда са мого пучка, может быть выполнено двояко:
1) по заданным и рассчитанным распределениям электростати ческого и магнитного полей, создаваемых внешними по отношению К пучку системами электродов и магнитопроводов, аналитически или путем моделирования найти траектории электронов и конфи гурацию пучка, причем в случае фокусировки интенсивных пучков необходимо учитывать действие пространственного заряда самого пучка;
2) по заданной конфигурации пучка, т. е. граничным траекто риям электронов, можно определить распределение электростати ческого и магнитного полей, обеспечивающее существование эле ктронного потока определенной формы. Общая теория фокусиров ки электронных пучков, развитая Г. А. Гринбергом- (см. § 1.11), позволяет решать как прямые задачи геометрической электронной оптики (по форме траекторий электронов находить электростати ческие и магнитные поля), так и обратные задачи (по заданным полям находить траектории электронов). Однако теория Г. А. Гринберга не применима для фокусировки интенсивных пучков, так как В этой теории не учитывается действие пространственного заряда самого пучка, т. е. предполагается, что распределение потенциала во всем пространстве распространения электронного потока описы вается уравнением Лапласа.
В случае фокусировки интенсивных пучков распределение по тенциала внутри и вне пучка описать одним уравнением невозмож но: внутри пучИа распределение потенциала описывается уравне нием Пуассона, вне пучка — уравнением Лапласа. Вследствие это го при анализе фокусировки интенсивных пучков приходится решать две задачи — внутреннюю и внешнюю (см. § 2.3).
При рассмогрении формирования интенсивных пучков значи тельно больший интерес представляет решение прямых задач, так как для расчета формирующих систем исходными обычно явля ются сведения о границе пучка, т. е. заданными оказываются гра ничные траектории электронов, определяющие конфигурацию
пучка. В этом случае задача сводится к нахождению таких электро статических и магнитных полей, которые обеспечивают существо вание заданного пучка. В общем случае нахождение электростати ческих и магнитных полей, формирующих пучок заданной формы, а следовательно, и нахождение конфигураций электродов и магнитопроводов, потенциалов электродов и величины магнитной индук ции получило название с и н т е з а с и с т е м ф о р м и р о в а н и я и н т е н с и в н ы х э л е к т р о н н ы х п о т о к о в .
Примером использования метода синтеза является расчет или экспериментальное определение формы электродов пирсовских пу шек. В самом деле, используя метод Пирса, прежде всего из элект ронного потока в плоском, цилиндрическом или сферическом диоде вырезают пучок с линейными границами; затем находят (расчетом или при помощи моделирования) форму анода и фокусирующих прикатодных электродов, обеспечивающих граничные условия та кие же, какими они были до удаления окружающего вырезанный пучок электронного потока.
Общая теория синтеза систем формирования интенсивных эле ктронных пучков в последние годы была разработана В. Т. Овчаровым. В этой теории основные уравнения записываются в криво линейной ортогональной системе координат, в которой положение любой точки пространства определяется тремя координатами: qu q2, qз- При этом одну из криволинейных координатных осей выби рают так, чтобы она совпадала с заданной траекторией электрона, либо строят координатную систему таким образом, чтобы одна из поверхностей 9i=const совпадала с граничной поверхностью пуч ка. В криволинейной ортогональной системе координат длина эле
ментарной дуги (в частности, отрезка траектории |
электрона) вы |
ражается равенством |
|
ds* — h\dq\-|- h2dq2-l- h3dq\ |
(2.259) |
i |
|
где hu h2, h3— так называемые метрические коэффициенты Ламе, зависящие от координат q.
С декартовыми координатами х, у, z коэффициенты Ламе свя заны соотношениями
(2.260)
где i = l , 2,3.
Теперь необходимо уравнение движения электрона преобразо вать так, чтобы получить выражения, не зависящие от выбора си стемы координат. Запишем уравнение движения электрона в век торной форме:
(2.261)
m
Определим стоящую в левой части производную, произведя диф ференцирование в декартовой системе координат:
d |
, . |
dv |
dv |
■v„ |
dv |
|
dv |
(2.262) |
------(v) = |
dt |
dx |
dy |
■f ^ |
dz |
|||
dt |
к |
|
|
|||||
где vx, vv, vz— составляющие скорости вдоль координатных осей
OX, 0Y, 01.
Если рассматривать только стационарные процессы, то dvjdt = =0. Сумму трех частных производных в правой части уравнения
(2.262) преобразуем, |
используя известную формулу векторного |
|||||||
анализа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
vx~ - + ' v u- ~ '\ - v z - ^ - = g r a d |
^ ----- [vrot v], |
(2.263) |
||||||
dx |
dy |
|
dz |
|
2 |
|
|
|
Если пренебречь начальными скоростями электронов, |
то сог |
|||||||
ласно закону сохранения энергии |
|
|
|
|
||||
|
|
|
7)2 |
р |
U, |
|
|
(2.264) |
|
|
|
~ = |
— |
|
|
||
|
|
|
2 |
т |
|
|
|
|
|
grad |
2 |
grad i-^—U \ = |
-----— Е |
(2.265) |
|||
|
|
|
\ т |
] |
т |
|
|
|
и левая часть уравнения |
(2.262) в стационарном случае и при ра |
|||||||
венстве нулю начальных скоростей электронов |
может быть пред |
|||||||
ставлена в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
( v ) = -----——Е — [v rot v]. |
|
(2.266) |
||||
|
dt |
|
m |
|
|
|
|
|
Приравнивая |
правые |
части уравнений (2.261) |
и (2.266), |
получим |
||||
|
|
K |
v |
B~ rotv).= 0. |
|
(2.267) |
||
|
|
|
|
|||||
Соотношение (2.267) является уравнением движения электро на в векторной форме, причем оно записано в таком виде, что не зависит от выбора системы координат. Следует отметить, что урав нение (2.267) не содержит в явном виде величину напряженности электрического поля; это оказывается удобным для последующих преобразований.
Дальнейшие преобразования сводятся к нахождению v как
(rot v)7l = |
1 |
Г <?(®A) |
|
h 2h 3 |
L dq2 |
(rotv)?1= ^ 1 |
Гd { v xh x) |
|
|
M 8 1 dq3 |
|
(rot v)9s = |
1 |
Г d { v 2h 2) |
S------- |
|
|
d { v 2h 2) 1
дЯг \
d { v 3h 3) '
(2.263)
d q x |
_ |
<?(T>A)
h t h 2 |
[ |
d q x |
d q 2 |
где vu v2, Уз — составляющие скорости в направлении касательных к криволинейным координатным осям; hu h2, Л3— коэффициенты Ламе, вычисляемые по формуле (2.260).
Систему криволинейных координат, как было указано, необхо димо выбирать так, чтобы уравнения для данной конфигурации пучка имели наиболее простой вид. Например, для осесимметрич ных пучков координату q\ целесообразно считать продольной ко ординатой пучка, т. е. вдоль оси OQi отсчитывать длину пучка (в общем случае криволинейного); координатную поверхность q2= =const следует совместить с граничной поверхностью пучка, в ча стности положить <72=1 на поверхности пучка; тогда внутри пучка <7г < 1, на оси q2= 0; третьей координатой q$ удобно считать угол поворота ф. При таком выборе координат все производные по <73 в силу осевой симметрии обращаются в нуль; кроме того, так как электроны не могут выйти за границу пучка (граница пучка зада на), составляющая скорости v2=dq2/dt=0.
Предположим теперь, что в цилиндрической системе координат контур (граничная поверхность) пучка задан уравнением
г = Ф(г). |
(2.269) |
При этом координатные поверхности в криволинейной ортого нальной системе координат описываются уравнениями
Г= ? 2Ф (2), |
1 |
(2.270)
В общем случае система уравнений (2.270) не решается, т. е. найти в явном виде 91 = 91(2, г) и 92= 92(2, г) не удается. Следо вательно, не удается также вычислить необходимые для преобра зования уравнения (2.267) коэффициенты Ламе. Однако если ограничиться параксиальным приближением, т. е. несколько огра ничить класс рассматриваемых пучков, то задача во многих прак тически важных случаях может быть решена.
Для дальнейших преобразований целесобразно ввести безраз мерные (нормализованные) переменные:
где I— длина пучка; Ф0— максимальный радиус пучка; U0— мас штабный потенциал, имеющий смысл потенциала вдоль оси равно весного пучка, с радиусом Фо в однородном магнитном поле.
С учетом новых переменных условие параксиальности принима ет простой вид:
1х « 1. |
(2.27L4 |
Условие параксиальности в криволинейных координатах не 03. начает, что при преобразовании контура пучка в цилиндрическую систему координат граничные траектории непременно будут обра
зовывать с осью малые углы. Иногда заведомо непараксиальный (в цилиндрической системе координат) пучок при соответствую щем выборе криволинейной системы может с хорошим приближе нием рассматриваться как параксиальный.
В параксиальном приближении
z '_х |
|
W |
|
(2.273) |
|
№1 |
|
|
|||
I |
2 |
|
|
||
и коэффициенты Ламе равны: |
|
|
|
||
Л2ж/р.<р[1 — р.2^ (® ')2], |
|
(2.274) |
|||
|
|
||||
Л3=г. |
|
|
|
|
|
Преобразуем уравнение |
(2.267) с учетом |
vpaBHeHUH Пуассона |
|||
в параксиальном приближении |
|
t |
|
||
(<fV)' -j- 4w<f?" - f i f |
(2.275) |
||||
|
|||||
Yu
(штрихи обозначают дифференцирование по х).
Полученное уравнение, аналогичное по форме обычному урав нению параксиальной электронной оптики, описывает траектории электронов в интенсивных пучках при любой плотности простран ственного заряда, поскольку величина U=uUQ— осевой потенциал, определяемый не только формой и потенциалами внешних элек тродов, но и пространственным зарядом самого пучка.
В выражении (2.275) i=IJI0— нормализованный ток пучка (/■—ток пучка, /о — масштабный ток, имеющий смысл тока равно весного пучка с радиусом Фо в однородном магнитном поле); F — нормализованное магнитное поле:
р, __ ср4/>2—<Ркbl |
|
(2.276) |
<Р20- ? ^ 2к) |
|
|
’ |
|
|
где 6= 5 (z)/В 0— безразмерная величина |
магнитной |
индукции на |
оси пучка в единицах В0; В0 имеет смысл индукции |
однородного |
|
магнитного поля, обеспечивающего поддержание равновесного пуч ка с радиусом Фо, током /о и осевым потенциалом U0; Ьк— значе ние Ь в центре катода (месте пересечения поверхности катода
осью пучка).
Для нахождения распределения потенциала и магнитного поля внутри пучка по заданным траекториям (решение прямой внутрен ней задачи) или нахождения в явном виде траекторий электронов по заданным распределениям электростатического и магнитного
полей (решение обратной внутренней задачи) необходимо отыскать решение уравнения (2.275) с граничными условиями
« U - V = ° и » 'U - v = 0 , |
(2.277) |
где хк— нормализованная координата центра поверхности катода. Однако при таких граничных условиях правая часть уравнения (2.275) обращается в бесконечность и интегрирование в данном случае невозможно. Для преодоления этого затруднения уравнение (2.275) преобразуется в систему двух дифференциальных уравне
ний первого порядка введением вспомогательной функции
У — (c p V )-- 4/<р2Уй. |
(2.278) |
В результате преобразования получается система уравнений:
и '= |
+ |
]/к - 4 - 4 V Уи |
|
(2.279) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
К ' = |
8/cpcp' Yu —(8с?3ср"и |
2/ср2/ 7) и' |
|
|
с граничными условиями |
|
|
||
|
«U -* K= 0 и K U - дк= 0. |
(2.280) |
||
Решения системы уравнений (2.279) |
могут быть найдены мето |
|||
дом численного интегрирования. Таким образом, в параксиальном приближении внутренняя задача (как прямая, так и обратная) может быть решена для всего пространства, занятого пучком — от катода до коллектора электронов.
При указанном выборе координатной системы и отсутствии пе ресекающихся траекторий, т. е. в предположении ламинарности пучка, любая траектория лежит на поверхности <72= const. В этом случае распределение потенциала U(х, q2) и плотности простран ственного заряда р(дг, q2) внутри пучка описывается уравнениями
U = U -{- [Х2^2 ( u w |
" + - \ i F ) |
||
р = |
|
■Уи |
|
|
|
||
Здесь р — нормализованная |
плотность пространственного |
||
в единицах ро*. |
|
|
|
где |
|
w0 |
|
Jo |
I |
» |
|
^2 |
|||
|
|
тгФо |
|
О 8 |
V II |
CN|S |
о£ |
(2.281)
заряда
(2.282)
(2.283)
(2.284)
Входящие в (2.281) величины <р, и и F связаны уравнением (2.275).
Теперь необходимо решить внешнюю задачу, т. е. найти рас пределение потенциала вне пучка. В криволинейной ортогональ ной системе координат лапласиан потенциала U=U(q\, q2) име ет вид
(2.285)
где hi, h2, h3— коэффициенты Ламе, вычисляемые по формулам (2.274).
Подставив значения коэффициентов Ламе в (2.285) и прирав няв лапласиан нулю и — i<p2p, получим уравнения Лапласа и Пуас сона, описывающие распределение потенциала вне и внутри пучка (в координатах х, q2) :
ьди \ ,
—1
дх |
1т |
дх |
) |
|
|
|
1 |
дх (* ’ |
дх |
) |
+ ' № 2 |
1
д 1
QyОю
д1
dq2 \
dU '
(я2- dq2 ,И ’ (2.286)
dU |
— V p . (2.287) |
|
dq2- у |
||
|
Подставив в (2.287) выражение для р из (2.282) и переходя от / и С/о к безразмерным координатам, получим уравнение Пуас сона в виде
д |
I |
а dU \ . |
1______ д _ ( dU \_ |
i |
(2.28S) |
|
дх |
V |
дх } |
р,2<72 dq2 V 2 dq2 ) |
У а |
||
|
На границе пучка потенциал и его первая производная по нор мали к границе остаются непрерывными, тогда как вторая произ водная потенциала по нормали к границе при переходе через границу пучка претерпевает разрыв. Величина скачка второй производной при переходе через границу получается как разность уравнений (2.286) и (2.288):
где верхний индекс ( ± ) указывает значение второй производной на внешней (вне пучка) и внутренней (внутри пучка) сторонах граничной поверхности пучка.
Поскольку при формировании интенсивных пучков существен ное значение имеет форма электродов фокусирующей системы в непосредственной близости к границе пучка (см. § 4.2), распреде ление потенциала вне пучка можно искать в виде разложения по
степеням малой разности (<72— х), ограничиваясь членами ряда до второй степени включительно:
U = U x+ (q 2-v.)U'%+ - ! & |
- ^ - Ul, |
(2.290) |
|
а |
|
где х — значение qi на границе пучка; |
£/х, U'x и U"x — значения |
|
потенциала, его первой и второй производной на внешней стороне
граничной поверхности пучка. |
найдем |
значения |
V х, Ux и 11х |
|
Используя (2.281) и |
(2.289), |
|||
Uк= и + |
/ |
1 |
\ |
) |
Р2к2 Ифф" -1----- iF |
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
(2.291) |
Подстановка (2.291) в (2.290) приводит к выражению
U = u + v?q\ |
+ |
2. |
(2.292) |
В этом уравнении два первых слагаемых в правой части опи сывают распределение потенциала внутри пучка [ср. (2.281)], тре тий член учитывает скачок второй производной при переходе через границу пучка. Таким образом, уравнение (2.292) описывает «ана литическое продолжение» распределения потенциала внутри пучка за его границу с учетом скачка второй производной при переходе через границу пучка.
Уравнение (2.292) удовлетворяет граничным условиям. Чтобы это уравнение описывало распределение потенциала вне пучка (хо тя бы вблизи его внешней границы), необходимо выполнение сле дующих условий: лапласиан потенциала, вычисляемого по (2.292), должен быть обращен в нуль, т. е. должно удовлетворяться урав нение Лапласа.
Лапласиан выражения (2.292) имеет вид
w = - L f - i ( ^ ) + _ ! _ . J . ( , Д .) 1 _ |
|
||||||
|
ф2/2 L |
дх\ |
дх' |
\x2qz |
dq2' |
dq2' J |
|
= |
—— |
Г (ф2« ') ' + 4«фф'/ + |
iF ■ |
4] + |
|
||
|
ср2/2 |
|
|
|
|
I „ J |
|
|
+ р2 { у [ |
ф2 ( «фф" + |
F |
|
|
||
- “ |
|
М |
у ] ' } |
<72— X |
<2-293>. |
||
я* |
<72 |
тг>- |
|||||