книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

Дальнейшее увеличение первеанса невозможно — пучок становится неустойчивым, потенциал на оси спадает до нуля, образуется вир­ туальный катод.

Если осесимметричный пучок не полностью заполняет проводя­ щую трубку (г0< га, где га— внутренний радиус трубки), то потен­ циал на границе пучка оказывается ниже потенциала трубки, т. е. часть падения потенциала приходится на зазор между пучком и внутренней стенкой трубки. Считая, что иоле в зазоре описывается формулой (2.7), оценим величину падения потенциала A U в прост­ ранстве между пучком и трубкой:

ГГ

Величина U-,/s в формуле (2.7) считалась постоянной (равной

Uo' " ) , так как при выводе этой формулы не учитывалось падение потенциала в пучке. В общем случае U = U(r) и при вычислении ин-, теграла (2.59), строго говоря, эту зависимость необходимо учиты­ вать. Однако расчеты показывают, что потенциал на границе пучка при небольших зазорах [(га— Го)<^г0] сравнительно мало отличает­ ся от потенциала проводящей трубки и в первом приближении в (2.59) можно положить U=Ua. Тогда для падения потенциала в зазоре получается простое выражение:

Разделив почленно (2.60) на Ua, получим относительное изме­ нение потенциала в зазоре:

Поскольку радиус проводящей трубки большинства реальных приборов СВЧ-диапазона превышает средний радиус пучка в 1,5—

2 раза, In— < 1 и относительное «провисание» потенциала в зазо-

Го

ре при микропервеансах в несколько единиц мка1вг1‘ составляет всего несколько процентов от Ua, т. е. приближенно можно считать потенциал на границе пучка, равным потенциалу проводящей трубки.

Выразим /л в (2.65) через полный ток / и ширину пучка 2х0: /л = //2*о. Тогда

(2.66)

и0/иа

Рис. 2.13. Зависимость потенциала от микропервеанса:

а —в средней плоскости пучка, заполняющего проводящий канал; б —на гра­ нице пучка, не заполняющего проводящий канал

Из выражения (2.66) следует, что относительное падение потен­ циала в пучке зависит от первеанса и отношения толщины (2у0) к ширине (2*о) пучка. Чем выше первеанс и чем больше отношение Уо/хо, тем больше относительное падение потенциала в пучке. За­

висимость и0/иа от Р ( — ) «приведена на рис. 2.13, а. Как видно из

рисунка, с ростом первеанса потенциал в средней плоскости падает

и по достижении Р I — \ значения 18,64 •10-6 а/в’ *потенциал UQ

\ Х о /

скачком спадает до нуля — пучок обрывается.

Если ленточный пучок не полностью заполняет проводящий ка­ нал (tjo<ya, где 2уа— толщина канала), то часть падения потен­ циала ложится на зазор между пучком и стенкой канала. На рис.

сунка видно, что при неслишком больших первеансах, отношении х0/уо не меньше 10 (ленточный пучок) и заполнении Уо1Уа>0$ по­ тенциал границы пучка отличается от потенциала проводящего ка­ нала не более чем на несколько процентов. Приведенная оценка показывает, что и в случае ленточного пучка, не полностью запол­ няющего проводящий канал, падение потенциала в зазоре невели­ ко, и во многих практических случаях им можно пренебречь.

Аналитическое и экспериментальное исследования интенсивных электронных потоков различных конфигураций показывают, что в любом случае пучок в пространстве, свободном от внешних полей, неограниченно расширяется. Ограничение расплывания внешними полями снижает потенциал в самом пучке и при достаточно боль­ ших первеансах пучок становится неустойчивым, образуется вир­ туальный катод, токопрохождение нарушается. Для любого интен­ сивного пучка существует предельное значение коэффициента про­ странственного заряда, превышение которого приводит к обрыву пучка.

§2.2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

ИПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

Аналитическое решение'задач о распределении потенциала, нахож­ дении формы электронных траекторий в интенсивных пучках с уче­ том пространственного заряда выполнимо далеко не во всех практи­ ческих важных случаях и то лишь при введении ряда упрощающих допущений (см. § 2.1). Поэтому при исследовании электроста­ тических полей с учетом пространственного заряда широко приме­ няются методы моделирования таких полей в электролитической ванне и графо-аналитические методы построения траекторий.

Наибольшее распространение получил предложенный В. С. Лукошковым метод моделирования электростатического поля с уче­ том пространственного заряда при помощи электролитической ван­ ны с токовводящими элементами. Рассмотрим этот метод на при­ мере двумерной (плоской) задачи. Распределение потенциала в плоском поле при наличии пространственного заряда описывается уравнением Пуассона:

где р(х, у) — плотность пространственного заряда.

Сущность метода В. С. Лукошкова состоит в имитации распре­ деленного в объеме пространственного заряда токами, вводимыми в электролит при помощи придонных токовводящих элементов (рис. 2.14).

верхности электролита, вблизи каждого токовводящего элемента создается резкий подъем потенциала, соответствующий логарифми­ ческой бесконечности потенциала в центре бесконечно тонкой игол­ ки, т. е. полученное распределение потенциала будет весьма дале­ ким от истинного, имеющегося при непрерывно распределенной плотности объемного заряда.

Это затруднение можно преодолеть, как это теоретически пока­ зал и экспериментально подтвердил В. С. Лукошков, с помощью ко­ ротких придонных токовводящих элементов, под которыми имеется еще достаточно толстый слой электролита. При введении тока у дна ванны он «растекается» в толще электролита во все стороны, создавая на поверхности электролита «облако» непрерывно распре­ деленных источников. В этом случае с достаточной для большин­ ства практических задач степенью точности удается смоделировать на поверхности электролита непрерывное распределение источни­ ков, составленное из «облаков», создаваемых отдельными токовво­ дящими элементами. Конечно, небольшая «зарифленность» потен­ циала на поверхности электролита, вызванная дискретностью то­ ковводящих элементов, остается, однако погрешность при этом не превышает общую погрешность метода электролитической ванны.

При практическом использовании метода придонных токовводя­ щих элементов необходимо установить соответствие между плот­ ностью пространственного заряда в исследуемом электронном пото­ ке и величинами токов, вводимых в электролит через токовводящие элементы. Обозначим объем электролита в ванне, обслуживае­ мый током AZ-го токовводящего элемента, через vn. Так как токо­ вводящие элементы обычно располагаются в углах квадратной сет­ ки, ип является объемом прямой или наклонной (при моделирова­ нии осесимметричных полей) призмы с квадратным основанием. Аналогичный объем с распределенной плотностью объемного заря­ да р„ моделируемого электронного потока обозначим Уп. Тогда, очевидно, в объеме Vn будет содержаться заряд gn=pnVn. Выра­ зим плотность объемного заряда через плотность тока и скорость электронов в соответствующей точке электронного потока:

(2.72)

где Un— потенциал в точке электронного потока, соответствую­ щий в модели n-му токовводящему элементу.

Введем понятие «трубка тока» в электронном потоке. Предпо­ лагая поток ламинарным, выделим в нем канал, ограниченный тра­ екториями электронов, выходящих с контура площадки SK на ка­ тоде. Этот канал и будем называть трубкой тока. Очевидно, в лю­ бом поперечном сечении трубки полный ток неизменен:

(2.73)

где /к — плотность тока на катоде; Sn— площадь поперечного се­ чения трубки тока.

большинстве случаев удобно выбрать наибольшую разность потен­ циалов между электродами моделируемой системы (обычно анод­ ное напряжение). Безразмерный потенциал одинаков в соответст­ венных точках оригинала и модели.

При моделировании электронно-оптических систем в электроли­ тической ванне, как было указано в § 1.4, целесообразно использо­ вать увеличенную модель электродов и пропорционально изменен­ ные (обычно уменьшенные) по отношению к напряжениям оригина­ лов напряжения электродов модели. Введем масштабные множители

оригинала и модели соотношениями S= k?s, V—k?v. Электрическое поле Е оригинала будет связано с полем £ м в соответствующей точке модели выражением Е= (ku/ki)EM.

И, наконец, введем размерный коэффициент соответствия, свя­ зывающий ток 1(a), вводимый в электролит, с зарядом в междуэлектродном пространстве исследуемой системы согласно уравне­ нию (2.72). Используя известные выражения для тока в электроли­

Тогда ток 1п, вводимый через п-й придонный токовводящий элемент, моделирующий объемный заряд qn, сосредоточенный в объеме Vn оригинала, получится умножением выражения (2.73) на коэффициент соответствия (2.74). Используя соотношение (2.74) и безразмерный потенциал Ф, окончательно получим

где ua = UJku— опорное напряжение в электролитической ванне.

В уравнении (2.75) множитель ооиа является постоянным при решении всей задачи (при условии постоянства электропроводно­ сти ао), второй множитель (выражение, стоящее в скобках) пос­ тоянен для данной трубки тока в данном приближении, третий

множитель (sKvn/snУФ„) вычисляется для каждого (я-го токо­

вводящего элемента.

Практическое решение задач о распределении потенциала при наличии пространственного заряда ведется методом последова­ тельных приближений. Необходимость использования метода по­ следовательных приближений определяется тем, что вначале не из­ вестно ни распределение потенциала, ни распределение пространст­ венного заряда, ни ход электронных траекторий, ограничивающих трубки тока. Поэтому в качестве нулевого приближения обычным методом находят распределение потенциала без пространственного заряда. Затем одним из графо-аналитических методов или при по­ мощи траектографа строят траектории электронов и весь электрон­ ный поток разделяют на трубки тока. После этого рассчитывают плотность тока на катоде.

Наиболее просто расчет можно выполнить по известному зако­ ну степени 3/г для отдельных участков катода, считая пространст­ во между выбранным участком катода и ближайшей к катоду най­ денной, примерно параллельной поверхности катода, эквипотенци­ альной поверхностью междуэлектродным пространством плоского диода. С учетом найденной величины /„ и определенного графиче­ ски расширения трубки тока sn/sKпо формуле (2.75) рассчитывают значение токов токовводящих элементов, обслуживающих выбран­ ную трубку тока. Аналогично находят токи /„ токовводящих эле­ ментов, обслуживающих все трубки тока, на которые разбит элект­ ронный поток. Рассчитанные токи /„ вводят в соответствующие токовводящие элементы, снова снимают эквипотенциальные линии и строят электронные траектории. Таким образом, получается пер­ вое приближение.

По данным первого приближения с учетом изменения распре­ деления потенциала и траекторий электронов (а следовательно, и трубок тока) пересчитывают токи токовводящих элементов, уста­ навливают согласно расчету токи / п, находят эквипотенциали и траектории электронов второго приближения и т. д. Процесс про­ должается до тех пор, пока распределение потенциала, полученное в я-м приближении, будет отличаться от полученного в (п— 1)-м приближении не более чем на величину, соответствующую прису­ щей методу электролитической ванны общей погрешности. В боль­ шинстве случаев бывает достаточно 4—5 приближений.

Наиболее трудоемкими этапами решения является расчет то­ ков токовводящих элементов и графо-аналитическое построение траекторий. Поэтому при использовании метода последовательных приближений весьма целесообразным является автоматическое построение траекторий с помощью траектографов. Схема электро­

не

литической ванны с токовводящими элементами приведена на 1>ис. 2.15.

Для установки заданных величин токов токовводящих элемен­ тов последовательно с каждым из них включена цепочка из трех

измерение малых переменных напряжений может быть выполнено достаточно точно, например, при помощи лампового вольтметра.

Электролитическая ванна с придонными токовводящими элемен­ тами может быть использована и при моделировании осесимметрич-

Рис. 2.15. Схема электролитической ванны с токовводящими элементами

ных электрических полей с учетом пространственного заряда. В этом случае дно ванны делается наклонным. Опыт эксплуатации электролитической ванны с токовводящими элементами показывает, что при тщательном проведении эксперимента погрешность в опре­ делении распределения потенциала с учетом пространственного за­ ряда может быть не более 1%, что вполне допустимо в большинстве практических случаев.

Второй метод моделирования электростатического поля с уче­ том пространственного заряда был предложен французским ученым Р. Муссон-Женоном и развит в Советском Союзе В. М. Брейтманом. По этому методу, пригодному для решения двумерных и осе­ симметричных задач, искажение поля пространственным зарядом имитируется изменением толщины слоя электролита в междуэлектронном пространстве модели, погруженной в электролитическую ванну. Изменение толщины слоя электролита в ванне достигается деформацией дна, поэтому этот метод часто называют методом электролитической ванны с профилированным дном.

Сущность метода электролитической ванны с профилированным дном рассмотрим на примере моделирования плоского поля. Как было показано (см. § 1.4), распределение потенциала в электроли­ те плоской электролитической ванны описывается двумерным урав­ нением Лапласа (1.37). Предположим теперь, что дно ванны дефор­

мировано так, что слой электроли­

ме ванны существует отличная от нуля производная

и распределение потенциала описывается трехмерным уравнением Лапласа

дЮ d2U dW

(2.76)

Тх* д у ^ И я

Последнее слагаемое в общем случае является функцией коор динат х, у и толщины (глубины) h слоя электролита:

Подставив последнее равенство в (2.76), получим уравнение, совпадающее с двумерным уравнением Пуассона (2.67) при

f(x,y, h) = Р (х,у)

ео

Таким образом, если дно ванны деформировано так, что в лю­ бой точке на поверхности электролита функция f(x, у, h) совпадает с функцией распределения плотности пространственного наряда