книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

которое дает возможность рассчитать осесимметричное электри­ ческое поле, если известно распределение потенциала вдоль оси UQ(Z).

В электроннолучевых приборах часто используются узкие приосевые пучки электронов. В этих случаях нет необходимости ис­ следовать поле вдали от оси системы, так как на формирование электронного пучка оказывает влияние лишь приосевая (паракси­ альная) область поля. Оставаясь в рамках параксиальной оптики, вместо полного разложения потенциала (1.53) с достаточной сте­ пенью точности можно ограничиться лишь двумя первыми членами ряда, т. е. рассматривать распределение потенциала вблизи оси системы:

Осесимметричное поле в приосевой области обладает рядом ин­ тересных особенностей. Продифференцируем (1.54) по г:

Из (1.55) следует, что радиальная составляющая напряженно­ сти электрического поля Ет= — dUldr=l/2 U0"(z)r прямо пропор­ циональна г, т. е. линейно растет с удалением от оси. В то же вре­ мя на самой оси (г = 0) радиальная составляющая напряженности обращается в нуль. Но вторая производная U(z, г) по г

не равна нулю на оси.

Выберем на оси некоторую точку с координатой z= z0 и разло­ жим член Uo(z) вблизи этой точки в ряд Тейлора:

U0(z) = UQ(ZQ-)- Az) £/o(zo) ~f- Uо (zo) Az

+ ± U o ( z 0) (Az)2 +

При небольшом удалении от оси (в параксиальной области) U(z, г) вблизи точки z0 можно представить в виде

Рассмотрим эквипотенциальную поверхность, пересекающую ось в точке г0. Вдоль этой поверхности U(z, г) = U0(z0) = const. Тогда из (1.57) получается уравнение эквипотенциальной поверхности,

Уравнение (1.58) является уравнением гиперболы, откуда не­ посредственно следует, что эквипотенциальные поверхности вблизи оси осесимметричного поля являются гиперболоидами вращения. Таким образом, любое электрическое поле, обладающее осевой сим­ метрией, вблизи оси является гиперболическим.

Определим радиус кривизны эквипотенциальной линии в сече­

представить уравнением r=r(z), то радиус кривизны может быть найден по известной формуле

dz2

Так как вдоль эквипотенциальной линии потенциал постоянен:

Подставляя полученные выражения для drjdz и cPrfdz2 с уче­ том (1.62) в уравнение (1.59), получим радиус кривизны эквипо­ тенциальной линии на оси:

Таким образом, радиус кривизны эквипотенциальной поверхно­

примера можно привести поле круглой диафрагмы, помещенной между двумя плоскими электродами с равными, но отличными от потенциала самой диафрагмы величинами потенциалов (рис. 1.16).

Нетрудно видеть, что при удалении от особой точки (г0) в обе стороны вдоль оси потенциал возрастает, а при удалении в радиальном направлении потенциал уменьшается. Такую особую точку обычно называют седлообразной точкой или точкой «седло­ вины» поля.

В седлообразной точке направление вектора напряженности по­ ля становится неопределенным, а следовательно, производные dUjdz и dU/dr в этой точке обращаются в нуль. Тогда из разло­ жения (1.58), которое справедливо и для седлообразной точки,

непосредственно следует г2= — (Дг)2, поскольку UQ' (го) ф 0.

Таким образом, в седлообразной точке гиперболические экви­ потенциальные линии вырождаются в две пересекающиеся прямые, являющиеся асимптотами гипербол. Уравнение этих прямых име­ ет вид

Следовательно, эквипотенциальные поверхности, являющиеся е общем случае вблизи оси осесимметричного поля гиперболоидами вращения, в особой (седлообразной) точке обращаются в конус с

углом при вершине, равным 2 arctgV2 = 109°28/, независимо от

распределения потенциала вдали от особой точки. Эту особенность часто используют как критерий для оценки точности приближен ного расчета или экспериментального нахождения эквипотенциаль­ ных поверхностей в полях, имеющих седлообразные точки. Замет ное отличие угла наклона эквипотенциальной линии, проходяще!

через седлообразную точку, от величины arctg У2 « 55° свиде

тельствует об ошибке в расчетах или погрешности эксперимента Магнитные поля, обладающие осевой симметрией, удобно пред ставить в виде трех составляющих в цилиндрической системе ко

ординат. Так как B=rot А, то

В силу осевой симметрии В$=0, т. е. В и А не зависят от if Тогда система (1.65) переходит-в уравнения

так как ток, создающий осесимметричное поле, протекает по кру говому витку, т. е. имеет только азимутальную составляющую.

В пространстве, свободном от токов, rotB = 0 и, следовательно

Подставив в ( 1.68) выражение Вг и Втиз (1.66), получим урав­ нение для векторного потенциала, аналогичное уравнению Лапласа для электрического потенциала:

Для осесимметричного поля индукция В является четной функ­ цией г, следовательно, векторный потенциал А (связанный с ве­ личиной В операцией дифференцирования) должен быть нечетной функцией г. Поэтому разложим векторный потенциал в ряд по нечетным степеням г (поскольку в осесимметричном поле А имеет только одну составляющую, достаточно рассмотреть разложение только для Лц,):

Продифференцируем ряд (1.70) дважды по 2, один раз и дваж­

Это уравнение должно быть справедливо для любых г, что воз­ можно в случае обращения в нуль коэффициентов при г, г3, г5....

Приравнивая нулю эти коэффициенты, можно определить функции

т. е. значение fi равно половине величины магнитной индукции на оси поля.

Подставив значения ft, f3... в ряд (1.70), найдем выражение для

или

h = 0

Полученные уравнения позволяют рассчитать векторный потен­ циал в любой точке осесимметричного поля, если известно значе­ ние магнитной индукции на оси, ко­ торое, как было указано в § 1.4, про­ сто определяется для систем, не имеющих ферромагнитных эле­

ментов.

Для часто используемых экрани­ рованных (с ферромагнитной обо­ лочкой) круговых катушек распре­ деление магнитной индукции вдоль оси катушки хорошо аппроксими­ руется выражением

отсутствии насыщения ферромагнетика. В случае насыщения поле на оси экранированной катушки можно приближенно рассчитать по формуле

(-Г

или определить экспериментально одним из описанных выше ме­ тодов.

§ 1.6. ТРАЕКТОРИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЯХ

Составим уравнение движения электрона в осесимметричном элек­ трическом поле. По-прежнему используем цилиндрическую систе­ му координат. Будем считать, что скорость электрона значительно меньше скорости света, т. е. пренебрежем релятивистским измене­ нием массы. Предположим, что электрон начинает движение с нулевой начальной скоростью из точки с потенциалом £/=0 вблизи оси системы. Поскольку в осесимметричном поле нет азимутальной составляющей, электрон, начавший движение в некоторой плоско­ сти, проходящей через ось (меридиональная плоскость), в дальней­ шем будет двигаться по траектории, лежащей в этой плоскости, т. е. траектория будет плоский кривой. В силу осевой симметрии достаточно изучить движение электронов в одной из меридиональ­

ных плоскостей, а все остальные траектории получаются при вра­ щении этой плоскости вокруг оси.

Вначале рассмотрим уравнение приосевой траектории, более простое и удобное для анализа. Оставаясь в рамках параксиальной

Радиальная составляющая напряженности электрического поля Ег в приосевой области определяется выражением (1.55). В этом случае уравнение движения в радиальном направлении записывает­ ся так:

Чтобы получить уравнение траектории вида r=r(z), необходи­ мо исключить t из (1.80). Для этого введем дифференциальный оператор

d dz d

Применяя дважды этот оператор к (1.80) и используя (1.78), получим

или после дифференцирования и небольших преобразований

Уравнение (1.82) является основным уравнением приосевой электронной оптики. Анализ этого однородного дифференциально­ го уравнения второго порядка позволяет сделать ряд важных вы­ водов:

а) в уравнение не входят заряд и масса электрона, следова­ тельно, траектории любых заряженных частиц (электронов, поло­ жительных и отрицательных ионов), движущихся в электростати­ ческом поле при нерелятивистских скоростях, совпадают. Различие будет только во временах пролета [см. уравнение (1.80)];

б) поскольку траектории лежат в одной плоскости и не зависят от заряда и массы, они обратимы, т. е. если направить заряжен­

ную частицу в обратном направлении (сообщив ей скорость, ве­ личина которой определяется потенциалом в точке вылета), она пройдет по той же траектории, что и при прямом пролете данной

использовании электростатических линз нет необходимости в ста­ билизации питающего напряжения, если все элементы электронно­ оптической системы подключены к общему источнику. Из одно­ родности уравнения относительно U следует также возможность исследования электронно-оптических систем на моделях с пропор­ ционально уменьшенными или увеличенными напряжениями, что особенно существенно при моделировании в электролитической ванне, где, как было указано, питающее напряжение не может быть выбрано больше нескольких десятков вольт;

г) уравнение однородно относительно г. Это дает возможность исследовать траектории на пропорционально увеличенных или уменьшенных моделях, при этом траектории остаются геометриче­ ски подобными. Однородность относительно г широко используется при моделировании траекторий с помощью траектографов и в гра­ фо-аналитическом построении траекторий, так как сильно увели­ ченные модели позволяют значительно уменьшить погрешность в построении траекторий.

И, наконец, анализ уравнения (1.82) показывает, что результи­ рующее действие неоднородного осесимметричного электрического поля на пучок заряженных частиц (в параксиальной области) ана­ логично действию оптической линзы на пучок света, проходящий сквозь нее. Докажем это фундаментальное положение.

Общее решение уравнения (1.82) r=r(z) может быть представ­

производная потенциала по z положительна. В самом деле, рас­ смотрение выражения (1.80) показывает, что знак второй произ­ водной U0"(z) определяет направление силы, действующей на за­ ряженную частицу. При U0" ( z ) > 0 сила направлена в сторону оси и, следовательно, траектория, однажды пересекшая ось, будет сно­ ва под действием радиальной силы приближаться к оси и пересе­ чет ее во второй точке. Таким образом первое частное решение возможно при Uo">0, т. е. в случае с о б и р а ю щ и х линз, пред­ ставляющем большой интерес для электроннолучевой оптики.

При указанном выборе частных решений общее решение r(z) однозначно определяет положение точек изображения (в плоско­ сти гь) по заданному положению точек объекта (в плоскости za).

В плоскости объекта r(za)=C2, т. е. с2 есть не что иное, как начальное удаление электрона от оси. В плоскости изображения г(гь) =С2Г2(гь), т. е. все частицы, вышедшие из точки объекта на расстоянии Сг от оси, снова соберутся в одну точку в плоскости изображения. При получении этого результата не накладывались никакие условия на направления скоростей частиц (предполага­ лось лишь, что траектории не выходят за пределы параксиальной области).

Масштаб изображения (линейное увеличение)

= r2(zb),

Сг

т.е. он не зависит от начальных условий и является постоянным. Проведенный анализ показывает, что любое неоднородное осе­

симметричное электрическое поле в параксиальной области являет­ ся электронной линзой. Этот важный вывод можно было бы сде­ лать также на основании того, что любое осесимметричное элект­ рическое поле в приосевой области является гиперболическим [см. (1.58)]. Как известно, в световой оптике преломляющая поверхность в виде гиперболоида вращения обладает свойствами линзы.

Использованное при анализе уравнения (1.82) предположение U0"(z)>0 не снижает общности рассмотрения, так как в случае Uo"(z)< 0 поле будет р а с с е и в а ю щ е й линзой. Поля, облада­ ющие свойствами рассеивающих линз, используются сравнительно редко, так как они не могут создать д е й с т в и т е л ь н ы е изобра­ жения, которые можно рассмотреть на люминесцирующем экране или отобразить на фотоэмульсии.

В сложных оптических системах отдельные области неоднород­ ных осесимметричных электрических полей могут, конечно, обла­ дать свойствами рассеивающих линз, но, как будет показано ниже, во многих представляющих практический интерес случаях собира­ ющее действие поля преобладает и наличие рассеивающих обла­ стей приводит лишь к уменьшению суммарной (положительной) оптической силы системы.

Мы рассмотрели уравнение движения медленных электронов (п<Сс). Если электроны быстрые (скорость электрона v соизмери­ ма со скоростью света), то при выводе уравнения движения следу­ ет исходить из общего выражения

и определять т и о на основании закона сохранения энергии, за­ писанного в релятивистской форме [см. (1.4)]. При этом уравнение траектории электрона, движущегося с любой скоростью (вплоть до

лятивистских скоростях в основном уравнении появляются допол­ нительные множители

и оно становится неоднородным относительно t/o. Однако однород­ ность относительно г сохраняется, и следовательно, в релятивист­ ском случае справедливы все выводы относительно фокусировки и возможности получения изображения.

Интересно отметить, что в предельном релятивистском случае, когда иже (eUo^moC2), основное уравнение снова становится однородным относительно t/o, меняются только численные коэффи­ циенты при втором и третьем членах:

Этот факт может быть физически объяснен тем, что при малых скоростях прирост энергии частицы в ускоряющем поле идет толь­ ко за счет увеличения скорости, а в предельном релятивистском случае — только за счет увеличения массы, тогда как в промежу­ точной области энергия изменяется вследствие изменения и скоро­ сти и массы.

Рассмотрим теперь движение электрона в неоднородном осе­ симметричном магнитном поле. Запишем уравнение движения за­

координат, воспользуемся известным соотношением для перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим:

Для составляющих силы в цилиндрической системе координат получим соответственно: