книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

линзы. В любой точке, не лежащей в плоскостях антисимметрии, на электрон будет действовать сила, имеющая составляющую, прижи­ мающую электрон к плоскости X0Z и удаляющую его от плоскости Y0Z. Таким образом, магнитная квадрупольная линза будет соби­ рающей в плоскости Y0Z и рассеивающей в плоскости X0Z.

Запишем уравнения движения электрона в квадрупольной маг­ нитной линзе:

Составляющие магнитной индукции, подобно тому, как это бы­ ло сделано для осесимметричного поля (см. § 1.5), можно предста­ вить в виде рядов:

частных производных дВх/ду и дВу/дх на оси системы.

В рамках параксиального приближения вполне допустимо в разложении (1.232) ограничиться первыми членами. Тогда подста­

Для определения оптических параметров квадрупольной линзы рассмотрим траекторию электрона, входящего в линзу параллель­ но оси 0Z. В этом случае Х о ' = г/о '= 0 и

x = x0ch% (г + ^ - ) ,

(1.238>

У = */0c o s x (z +

Фокусные расстояния (см. § 1.8) равны:

(1.239)

Продифференцируем (1.238) и определим х' и у' при 2 = 1/2 (в «выходной» плоскости линзы):

Подстановка (1.240) в (1.239) приводит к выражениям:

Выражения для фокусных расстояний (1.241) показывают, что действительно в плоскости Y0Z линза является собирающей (fy> 0, фокус действительный), а в плоскости X0Z — рассеивающей \fx< 0, фокус мнимый).

Таким образом, по прохождении квадрупольной линзы парал­ лельный оси электронный пучок деформируется так, что в фокаль­ ной плоскости пространства изображений создается линейный фо­ кус — отрезок прямой, проходящей через точку пересечения фо­ кальной плоскости осью и параллельной оси ОХ (рис. 1.67).

Длина этого отрезка равна 2x(z/„) = 2 [хо+ / > ' ( — )] Под­

ставив x'(L/2) из (1.240) и fy из (1.241), получим

sh %L

(1.242)

sinxL

В общем случае фокусные расстояния следует отсчитывать от главных плоскостей, положения которых определяются выраже­ ниями:

ИЗ

В случае тонкой слабой квадрупольной линзы xL<C 1. При этом sin x L «sh x L «x L и выражения для фокусных расстояний упро­ щаются:

т. е. для тонких слабых линз фокусные расстояния равны по вели­ чине, а главные плоскости совпадают со средней плоскостью лин­

кусные расстояния начинают заметно раз­ личаться по величине, так как shxL растет быстрее, чем sinxL.

Приведенные уравнения для оптических параметров, строго говоря, справедливы лишь для линз с постоянным градиентом поля. Это условие выполняется при исполь­ зовании электродов электростатической линзы или полюсных наконечников магнит­ ной линзы в виде гиперболических цилинд­ ров, расположенных симметрично относи­ тельно оси линзы. Практически чаще ис­ пользуют электроды и полюсные наконеч­ ники, имеющие форму (со стороны, обра­ щенной к оси) круговых цилиндров, как более простые в изготовлении. В случае замены гиперболических цилиндров круго­ выми поле меняется сравнительно мало при правильном выборе величины радиусов кру­

электродов или полюсных наконечников является довольно грубым приближением. Однако можно получить удовлетворительные ре­ зультаты, если величину L, входящую в выражения для оптических параметров, рассматривать как «длину» линзы с учетом полей рас­ сеяния за пределами электродов или полюсных наконечников. Опытным путем найдено, что хорошее совпадение расчетных дан­

ных с экспериментальными получается при подстановке в расчет­ ные формулы L— l+l,\a, где I— длина электродов, или полюсных

поскольку практически легко осуществимы поля с приблизительно постоянными градиентами. Расчет магнитных линз значительно сложнее ввиду необходимости рассчитывать или определять экс­ периментально величину магнитной индукции, а затем — ее произ­ водной. В качестве примера приведем приближенную формулу для фокусного расстояния квадрупольной магнитной линзы, образован­ ной двумя прямоугольными катушками седлообразной формы, име­ ющими п витков каждая и расположенными по цилиндрической по­ верхности с радиусом R:

_ 4 R2 iU о

(1.245)

~ I ' til ’

где / — ток в катушках, a, U0— ускоряющее напряжение, в. Квадрупольные линзы отображают точечный объект в виде от­

резка прямой («штрих-фокуса»). Однако две квадрупольные лин­ зы, расположенные вдоль оси, при определенных условиях могут создавать точечное изображение точечного объекта. Такая система, состоящая из двух квадрупольных линз, носит название д у б л е т а . Очевидно, каждая линза дублета создает линейное изображение точечного объекта. Но если поле второй линзы дублета повернуто на 90° относительно поля первой линзы, то оптические параметры линз можно подобрать так, что в некоторой плоскости линейные изображения, создаваемые каждой линзой, сольются в одно точеч­ ное изображение.

Дублет не вполне идентичен одной осесимметричной линзе. В частности, увеличение дублета из двух квадрупольных линз не оди­ наково по направлению ОХ и 0Y (МхфМ у). Поэтому при отобра­ жении протяженного объекта, имеющего осевую симметрию, напри­ мер небольшого кружка, изображение получится в виде эллипса. Можно показать, что при этом меньшая полуось эллипса будет меньше радиуса изображения, создаваемого осесимметричной лин­ зой, а большая полуось — больше этого радиуса. Кроме того, по­ лучение точечного изображения возможно лишь при определенном соотношении положений объекта, обеих линз и плоскости изобра­ жения. Поэтому при смещении объекта вдоль оси сливающиеся изображения раздвигаются и становятся линейными. К такому же расхождению приводит изменение оптических параметров линз дублета.

Квадрупольным линзам в общем случае присущи те же абер­ рации, что и осесимметричным линзам. Но в отличие от осесим­ метричных линз в некоторых типах квадрупольных линз удается скомпенсировать сферическую аберрацию. Возможно также соз­ дать ахроматическую комбинированную квадрупольную линзу с на­

лагающимися в одной области электрическим и магнитным полями. Если полярность электродов и магнитных полюсов комбинирован­ ной линзы такова, что силы, действующие на электрон за счет элек­ трического и магнитного полей, имеют противоположное направле­ ние, то оптическая сила такой линзы в некотором интервале энер­ гий электронов оказывается не зависящей от величины энергии. Таким образом, комбинированная линза в некотором интервале ускоряющего напряжения свободна от хроматической аберрации.

Необходимо отметить, что фокусировка при помощи квадрупольных линз является более «жесткой», т. е. силы, фокусирующие электрон, при его отклонении от равновесной траектории возрас­ тают быстрее, чем в осесимметричных линзах. Поэтому использо­ вание квадрупольных линз весьма перспективно при фокусировке быстрых (движущихся со скоростями, соизмеримыми со скоростью света) электронов.

§ 1.11. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ФОКУСИРОВКИ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ

Рассмотренные методы расчета и экспериментального исследова­ ния электронно-оптических систем являются непрямыми. Непрямые методы как первый этап решения электронно-оптических задач предполагают задание, расчет или экспериментальное нахожде­ ние электрических и магнитных полей, используемых для фокуси­ ровки электронов. Затем находят траектории электронов в этих полях и по положению траекторий определяют оптические парамет­ ры электронно-оптических систем. Если найденные оптические па­ раметры не удовлетворяют заданию, приходится изменять поле и повторять расчет. Как было показано в предыдущих параграфах, во многих практически важных случаях нахождение в явном виде траекторий электронов или определение оптических параметров линз оказывается довольно сложным и трудоемким. Поэтому впол­ не понятен тот интерес, который проявляется в настоящее время к прямым методам электронной оптики. П р я м ы м и называют­ ся методы расчета электронно-оптических систем, использующие в качестве исходных данных конфигурацию фокусируемого пучка (задание нескольких траекторий) или оптические параметры фо­ кусирующей системы. Затем по этим исходным данным находят электрические или магнитные поля, обеспечивающие существова­ ние пучков заданной формы или заданные электронно-оптические параметры фокусирующей системы.

Как прямые, так и непрямые электронно-оптические задачи ох­ ватываются общей теорией фокусировки заряженных частиц, раз­ работанной Г А. Гринбергом.

Рассмотрим, пользуясь основными положениями теории Г. А. Гринберга, задачу фокусировки электронного пучка в элект­ ростатическом поле. Введем некоторые упрощающие предположе­ ния. Во-первых, ограничимся узкими пучками; во-вторых, не будем учитывать собственное поле электронного пучка, т. е. пренебрежем

действием пространственного заряда электронов, и, наконец, бу­ дем рассматривать электроны, движущиеся со скоростью, значи­ тельно меньшей скорости света, и не будем учитывать начальные скорости электронов.

При сделанных допущениях скорость электрона в любой точке

других траекторий можно харак­ теризовать вектором р, соединя­ ющим точку основной траектории

сточкой соседней, причем вектор

рлежит в нормальной к основ­ ной траектории плоскости. Все

величины, относящиеся к сосед­ ней траектории, будем обозна­ чать звездочкой.

Введем «естественную» систе­

му координат, совместим оси OX, OY, 0Z соответственно с касатель­ ной, главной нормалью и бинормалью основной траектории в точ­ ке N. Положение смежной траектории АВ* будет полностью опре­

вектор р лежит в плоскости Y0Z, то pi = 0, Р= /?2Т|+ Рз£ (£, л, £ — орты координатной системы) и

Уравнение движения электрона по смежной траектории имеет

где Е* — напряженность электрического поля на смежной траек­ тории.

Преобразуем левую часть уравнения (1.248)— перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по дуге, ис-

где штрихи обозначают дифференцирование по s.

Определим дифференциал дуги ds* смежной траектории через дифференциал дуги ds основной траектории:

* * = К ( T s + ^ i d s = n i + p ' ) ‘ d s -

Для узких пучков (р — малая величина) можно ограничиться членами первого порядка малости относительно р, р', р" Тогда

ds* « У 1 + 2(|p')ds « [1 + (| p ,)]ds.

Используем известные из дифференциальной геометрии форму­ лы Френе, связывающие производные ортов касательной, главной нормали и бинормали с радиусами кривизны р и кручения т:

(1.251)

Тогда

(1.252);

Скорость электрона вдоль смежной траектории v* согласно за­

кону сохранения энергии представим как у* = У— V*. ' т

Распределение потенциала (1.252) вдоль смежной траектории U*(s*) можно выразить через известное распределение потенциа-

Подстановка выражений для R', R", р' и р" в (1.256) позволяет получить проекции левой части уравнения движения на направле­ ния осей 0Y и 0Z.

Найдем проекции градиента потенциала на направления осей 0Y и 0Z в точке N* смежной траектории. Для этого необходимо скалярно умножить grad U на векторы rj и £:

дЮ д*Ц \

(1.259)

dydz ) NZ^

Ограничиваясь членами первого порядка малости и подставляя координаты точки N*(0, рг, Рз), получим проекцию правой части уравнения (1.259) на направление оси 0Y:

Приравнивая проекции на одинаковые направления левой и правой частей уравнения (1.248) и производя некоторые преобра­ зования, получим

( * - а д + * к + 4

{PlUyz -f- p3UZz) = 0.

Уравнения (1.262) можно преобразовать, используя некоторые дополнительные соотношения. Так как в точке N основной траектории направление оси ОХ совпадает с g, то

£/*(Л0 =