книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

2= 2Пдо Z = Zn+l.

Для определения угла поворота ф необходимо проинтегриро­ вать второе уравнение системы (1.98):

клона траектории и угла поворота вокруг оси в конце n-го интер­ вала. Очевидно, полученные значения будут начальными данными для расчета траектории в следующем (я-Ы ) интервале. Применяя последовательно указанный прием, можно построить проекцию всей траектории на поворачивающуюся меридиональную плоскость, а суммируя углы ф, подсчитанные для каждого интервала, опреде­ лить конечный угол поворота.

Погрешность рассмотренного метода нахождения траекторий зависит от выбора величины и числа интервалов, на которые раз­ бивается исследуемая область поля. При удачном разбиении удается построить траекторию с относительной погрешностью не более 1,5— 2%, что обычно допустимо при решении практических задач.

Графо-аналитические методы нахождения траекторий электро­ нов в магнитных полях получили меньшее распространение, чем в случае электростатических полей. Это объясняется некоторым ус­ ложнением расчета и построения, связанным с необходимостью находить проекции траектории, по крайней мере, на две плоскости, так как в большинстве практически важных случаев траектория электрона, движущегося в магнитном поле, является пространст­ венной (не плоской) кривой.

Для примера рассмотрим метод графо-аналитического нахожде. ния траекторий электронов, движущихся в магнитном поле, в ос­ нове которого лежит определение радиуса кривизны проекций тра­ ектории на две взаимно перпендикулярные плоскости, рчевидно, что проекции пространственной кривой на две взаимно перпенди­ кулярные плоскости однозначно определяют всю траекторию.

Выберем две взаимно перпендикулярные плоскости X0Y и X0Z. В-случае осесимметричного поля в качестве одной из плоскостей Целесообразно выбрать меридиональную плоскость, тогда другая Плоскость будет перпендикулярна к оси. Предположим, что распре­ деление магнитного поля в исследуемой области известно (рас­ считано или измерено) и в любой точке (х, у, z) могут быть опре­

делены составляющие магнитной индукции Вх, Ву, Bz. Предполо­ жим также, что в исследуемой области электрическое поле отсут­ ствует, т. е. 0(х, у, z) = C/o=const. В этом случае кинетическая энергия электрона во всех точках будет одинаковой:

Если касательные к проекциям траектории в плоскостях X0Y и X0Z составляют с осью ОХ углы а и р, то для составляющих ско­ рости электрона vx, vy, vz будут справедливы соотношения:

По составляющим скорости и ускорения можно определить ра­

Аналогично, комбинируя второе и третье уравнения системы (1.131), получим

Рис. 1.33. Построение траектории электронов ме­ тодом радиусов кривизны

и подставляя (1.132) и (1.132а) в (1.130), получим окончательные выражения для радиусов кривизны проекций траектории электро­ на, движущегося в магнитном поле, на плоскости X0Y и X9Z:

2

Используя формулы (1.133)', можно рассчитать радиусы кри­ визны проекций траектории на взаимно перпендикулярные плоско­ сти по известным значениям магнитной индукции В(х, у, z) и ско­ рости электрона v(x, у, z)'. Построение проекций траектории ме­ тодом радиусов кривизны производят в такой последовательности (рис. 1.33).

Выбирают начальную точку проекции траектории А0 на одной из плоскостей, например X0Y. Исходя из начальных условий (по­

водника, обтекаемого током в поперечном магнитном поле:

(1.134)

Для «равновесного» радиуса кривизны получается выражение

1 _1В г

(1.135)

R Г

Формула (1.135) справедлива для любого элемента проводни­ ка, поэтому, используя известное выражение радиуса кривизны (1.59), получим дифференциальное уравнение кривой, по которой расположится проводник, натянутый силой Т, обтекаемый током I в поперечном магнитном поле Вг:

&у_

dx2 IB2

В случае однородного поперечного магнитного поля (Bz = const) кривая, описываемая уравнением (1.136), будет дугой окружности.

Теперь используем выражение (1.13) для радиуса кривизны траектории электрона в поперечном магнитном поле: R=mvleB. Сравнивая (1.13) с (1.135), нетрудно убедиться, что при выполне­ нии равенства e/mv= I/T траектория электрона будет описываться тем же уравнением (1.136), что и кривая, по которой расположит­ ся проводник, обтекаемый током. Таким образом, при соответст­ венно выбранных величинах тока / и силы натяжения Т проводник, помещенный в магнитное поле, расположится по кривой, совпада­ ющей с траекторией электрона, обладающего импульсом p= mv = = еТ/1.

Можно показать, что совпадение кривой, по которой распола­ гается проводник, обтекаемый током, с траекторией электрона справедливо для любого магнитного поля. Единственным условием, которое должно выполняться при моделировании траекторий гиб­ ким проводником, является устойчивость равновесия проводника в поле. Анализ показывает, что это условие выполняется в тех слу­ чаях, когда в исследуемой области поля нет точки пересечения тра­ екторий, т. е. нет фокуса.

Практически при моделировании траекторий электронов в маг­ нитном поле при помощи гибкого проводника с током используется тонкая (диаметром 0,03— 0,05 мм) медная или серебряная прово­ лока. Выбор малой величины диаметра обусловлен необходимостью пренебрегать весом и упругостью проводника. Кроме того, провод­ ник должен иметь возможно меньшее удельное сопротивление, что­ бы при малой величине поперечного сечения можно было исполь­ зовать не слишком малые токи; этим обусловлен выбор в качестве

п и т , одинаково удаленных от оптической оси. Это свойство по­ зволяет определить положение главных плоскостей, зная ход двух лучей — одного параллельного оси в пространстве объектов, дру­ гого в пространстве изображений. Продолжая прямолинейные уча­ стки лучей, лежащие вне линзы, до их пересечения, получим в пер-

Рис. 1.35. Кардинальные элементы линзы

вом случае положение плоскости h2, во втором — положение пло­ скости hi. Расстояния от главных плоскостей до соответствующих фокусов называются фокусными расстояниями fi = FiHu f2=F2H2. Между фокусными расстояниями пространств объектов и изобра­ жений имеется простая связь:

f i _ _ n 1

(1.137)

h~~ « 2’

где п\ и «2— показатели преломления в пространствах объектов и изображений.

Рис. 1.36. Построение изображения (для световой линзы)

Построение изображений по известному положению кардиналь­ ных точек производится в следующем порядке (рис. 1.36).

Из точки А проводятся два луча — один параллельно оси в про­ странстве объектов (луч АВ), второй — через фокус Л (луч АС),

ниже, стр. 47), следствием чего является смещение первой глав­ ной плоскости в сторону пространства изображений, а второй глав­ ной плоскости — в сторону пространства объектов, так что часто обе главные плоскости лежат по одну сторону от средней плоскости линзы, и вторая главная плоскость оказывается левее первой. Та­ кое перекрещивание главных плоскостей типично для большинства электронных линз.

откуда следует известное как уравнение Ньютона соотношение меж­ ду положениями объекта и изображения:

Если определить положение объекта и изображения расстояния­ ми а и &от главных плоскостей, то a=la+ fь b= lb+f2, и из (1.140), получается удобная для практического использования формула

аЬ

Следует еще доказать, что светооптическое соотношение (1.137) справедливо и для электронно-оптических систем. Допустим, что имеются два линейно независимых решения уравнения (1.82) — П(z) и r2(z). Подставим значения г\ и г2 в уравнение (1.81):