Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdfПриведенные рассуждения показывают, что как явная, так и неявная схемы не являются экономичными: число математиче ских операций на одно неизвестное не является постоянным. Однако для решения многомерных уравнений параболического типа могут использоваться экономичные методы с затратой по стоянного числа операций на одну точку исследуемой области. К ним относится рассматриваемый ниже метод переменных на правлений.
4.2. Метод переменных направлений
Одним из наиболее часто используемых на практике методов решения нестационарных краевых задач является м ет од пере
менных направлений, называемый часто продольно-поперечной
схемой [23,24,25].
Решение задачи с использованием этого метода производится следующим образом. Временной интервал разбивается на два полуцелых слоя, и на каждом из них решается краевая задача с использованием неявной схемы по одной координате и явной - по другой. Полученное при этом решение принимается в каче стве начального для второго полуцелого временного слоя, на котором меняются направления явной и неявной схем. Диффе ренциальное уравнение при этом заменяется двумя конечно разностными уравнениями:
(4.7)
+ &2
h i
] ~ |
k 1 ------------ |
Гhiг -------------- |
(4.8) |
|
|
|
|
, , u ^ - iu 'C J + u 'C j- i. f ' i j + f ' u |
|
||
k i — |
й — |
+ ^ |
— |
Первое из этих уравнений содержит три неизвестные вели чины: U'M J iU\*j'5i U ^ j ; значения величин второй группы:
т
(4.11)
или
-Л , Аг^Ш Ъ '-и 'и ). |
(4.12) |
В этом уравнении все члены, за исключением последнего, образуют симметричную неявную схему, рассмотренную ранее, обладающую вторым порядком точности как по пространствен ным, так и по временной координатам. Дискретный оператор Лапласа обеспечивает второй порядок точности по пространст венной координате. Следовательно, последний член этого вы ражения обладает четвертым порядком по пространственным координатам. Для определения погрешности этого члена по
временной координате разложим функции U 'IJ и U'ij в ряд
Тейлора в окрестности точки U\*f's
Тогда
(4.15)
и последний член уравнения (4.12) может быть записан в виде
U(x,yfi) = 0; 1/(0,у, f) = U{\,y,t) = U(x,Q,t) = U(x,\,t) = 0 .
В соответствии с изложенным выше, дифференциальное урав нениезаписываем в виде двух конечно-разностных уравнений:
I |
, .1*0.5 |
Л » ,1 *0,5 . г F/+0.5 |
|
0,5т |
|
~ 2с/,У |
* Ul^ * |
|
|
|
|
|
. £ / U - 2«/W + £/{.y-i . |
,, . |
|
|
t 2 |
+ -'<.Г |
|
|
- u f f * ) = ^ l z 3 u ‘^ s+ ^ - u + |
||
+^ k z W h ^ U |
, , |
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
каждое из которых является |
|||
|
неявным по одному направ |
|||
|
лению и явным - по друго |
|||
|
му. При заданных начальных |
|||
|
и |
граничных |
условиях |
по |
|
следовательно |
рассчитыва |
||
|
ются правые |
части уравне |
||
|
ний, после чего производит |
|||
|
ся решение уравнений с ис |
|||
|
пользованием |
прогонки |
по |
|
|
каждой координате (рис. 4.4). |
|||
Рис. 4.4. Решение краевой задачи |
|
Программа решения дву |
||
методом переменных направлений |
мерной краевой задачи с ис |
|||
(т = 0,001) |
пользованием |
метода пере |
||
|
менных направлений: |
|
||
п1=17; n2=17; h=l Дп1-1); n=l;nk=500; и0(1:п1,1:п2Н).; (1:п1,1 :п2Н).; f(l:nl,l:n2)=0.; f(8:10,8:10)=100.; fl(l:nl,l:n2)=0.; f2(l:nl,l:n2)=0.;
dt=0.001; while n<nk for i=2:nl-l
forj=2:n2-l fl(ijHuO(ij+l)-2.*uO(ijHuO(ij-l)yhA2+2*uO(ijydt+{(ij);
end |
|
end |
|
forj=2:n2-l |
|
for i=l:nl |
|
a(i)=l./hA2; |
b(i)=1.0/hA2; c(i)=2.*(l./hA2+l./dt); |
end |
|
аЩ2)=0.; bet(2)=0.; |
|
for i=2:nl-l |
|
sl=c(i)-a(i)*alf(i); alf(i+l)=b(iysl; $2=fl(ij)+a(i)*bet(i); bet(i+l)=s2/sl; end
u(nl j)=0.;
for i=n 1-1 :-l: 1
u(ij)=alfl[i+l )*u(i+l j)+bet(i+1); end
end
u0( 1 :n1,1 :n2)=u( 1 :n1,1 :n2); for i=2:nl-l
forj=2:n2-l
f2 (ijH u O (i+ lj> 2 .* u O (ij)+ tiO (i-lj)y h A2+2*uO(ijydt+f(ij);
end end
for i=2:nl-l
forj=l:n2
a(j)=l./hA2; b(j)=1.0/hA2; c(j)=2.*(l./hA2+l./dt);
end
alf(2)=0.; bet(2)=0.; for j=2:n2-l
sl=cO>aO)*alf(j); alf(j+l)=bOysl; s2=£2(ij>+a0)*bet(j); bet(j+l)=s2/sl; end
u(i,n2)=0.;
for j=n2-l:-l:l
u(ij)=alf(j+1 )*u(ij+ 1 >+bet(j+1); end
end
u0( 1 :n1,1 :n2)=u( 1 :n1,1:n2); disp(u0(9,9));
n=n+l; end disp(u);
Процедура решения легко программируется, а получаемая точность решения может быть достигнута за меньшее время при более крупном временном интервале. Установившиеся зна чения искомой функции, полученные при решении краевой за дачи, также совпадают с результатами решения, полученными в предыдущих случаях.
4.3. Метод суммарной аппроксимации
Метод переменных направлений является не единственным методом решения нестационарных многомерных краевых задач. Более того, этот метод невозможно применить при числе про странственных координат более двух, так как при решении трехмерных краевых задач не представляется возможным ап проксимация трехмерных операторов на двух полуцелых вре менных слоях. В этом случае весьма эффективными методами
являются м е т о д ы с у м м а р н о й а п п р о к с и м а ц и и , называемые м е т о д а м и р а с щ е п л е н и я п о п р о с т р а н с т в е н н ы м к о о р д и н а т а м или
л о к а л ь н о - о д н о м е р н ы м и [23,24, 33].
Локально-одномерный метод подразумевает решение много мерных краевых задач в несколько этапов, на каждом из кото рыхрешается наиболее простая краевая задача.
В основе этих методов лежит свойство многомерных опера торов, называемое а д д и т и в н о с т ь ю , которое заключается в том, что погрешность аппроксимации многомерной схемы не превышает суммы погрешностей на каждом этапе решения краевой задачи. При этом погрешности решения на каждом этапе могут не соответствовать суммарной погрешности реше ния краевой задачи.
Рассмотрим идею локально-одномерного метода примени тельно к решению многомерного уравнения параболического типа. Пусть, например, электромагнитный процесс описан уравнением
— = LU(x,y,z) + f(x,y,z,t), |
(4.18) |
dt |
|
где 0 <t<tk - время решения задачи; U(x,y,z, 0) - (J0(x,y,z) -
начальное условие; |
U\G= чКО —известные условия на границе |
||||||||
исследуемой области, а трехмерный оператор L записывается в |
|||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д и л |
д ( „ |
dU) |
|
д |
( к |
д и 1 |
(4.19) |
|
|
дх\, |
+— |
дХ2) |
+ — |
1 |
дхз) |
|||
|
дх2 1 |
|
дх3 |
|
|||||
Используя свойство аддитивности многомерных операторов, |
|||||||||
представим его в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£(£/) = Z,(£/) + Ij (£/) + А» (^ ). |
|
(4-20) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц {и)= — |
dU ; L 2{U)=— |
|
К, dU |
|
|
||||
иХ| |
. dxi. |
|
дх2 |
|
дх27 |
|
|||
|
L,{U) = |
г |
ди_ |
|
|
|
(4.21) |
||
|
кз |
дх3 |
|
|
|
||||
|
|
дх. |
|
|
|
|
|||
Аналогично представим правую часть дифференциального уравнения (4.18) на каждом временном интервале в виде суммы трех функций, удовлетворяющих условию
f(x>t) = f\(x,t) + f 2(x,t) + f 2(x,t), |
(4.22) |
причем разбиение f(x,t) может быть произведено произвольно.
Для решения уравнения каждый временной интервал разби вается на р частей, соответствующих числу пространственных координат (в данном случае р =3), и вводятся временные слои
h+aiр — ® Хр > |
а = \ , 2 р , |
где хр- время, соответствующее одной части временного интервала. На каждом временном слое решается одномерное дифферен
циальное уравнение
1 dU |
д |
{ |
dU\ |
f , |
4 |
. . . |
(4.23) |
- — |
= — |
*«— |
+ /„ (* ,./.). |
a = 1,2 |
|||
P 3/ |
0дсД |
д х а ) |
|
|
|
|
|
или для рассматриваемого случая |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( 4 2 |
|
|
3 0/ |
дх{ |
' д х ) |
Ji |
|
|
|
|
1 |
^ = А - ( к 2— ] + / 2-, |
(4.25) |
|||
|
|
3 0/ |
ду{ |
г д у ) |
J2 |
|
|
|
|
1_0(/= _0_|' |
0 t/V |
|
(4.26) |
||
|
|
3 0/ |
d z{ |
J 0 z j |
3 3 |
|
|
Суммирование левых и правых частей этих уравнений дает исходное уравнение (4.18). Производные, входящие в уравне ние, аппроксимируются известным образом:
|
|
1 |
|
» f / + l / 3 __ Y г / + т / 3 |
|
||||
|
|
„1**1J C'l-fij.t |
|
Uj,j,k |
|
||||
|
|
|
Л. l,i+0,5 |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
+ / Г /3; |
(4.27) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
т г ( +2 т / 3 |
Tf l + т / З |
1 |
|
|
Y г / + 2 т / 3 |
г / г + 2 т / 3 |
|
||
U4,k |
" U iJ * |
1 |
„ , + 2 т / Э |
U |
|
|
|
_ |
|
|
X |
hy Л |
2 ,;Ч 0 ,5 |
|
|
hy |
|
|
|
|
|
тr f+ 2 x /3 |
г ,/+ 2 т /3 |
|
|
|
|
||
|
„1+2*11 U |
|
Ui.j-Uk |
+ / Г 5; |
(4.28) |
||||
|
Л 2 ,.,- 0 ,5 |
|
|
hy |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rrf+ T |
— т r f + 2 t /3 |
_ |
- |
|
Г T’, + I |
— |
Г 7’,+ T |
|
|
U iJ*k UjJ,k |
1 |
|
I / i\M + l |
UiJ*k |
|
||||
|
* |
|
h2 |
*3,*+0,5 |
|
hz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
_ iri+xT |
j jt+x |
_rr*+* |
|
|
|
|
||
|
|
'•/.* С/i,j,k-\ |
+ /Г |
(4.29) |
|||||
|
Л З Д - 0 , 5 |
|
|
|
|||||
hz
Каждое из уравнений (4.27), (4.28), (4.29) после прео разований может быть представлено в виде системы трехчленных ал гебраических уравнений, решаемых методам прогонки вдоль
одной координаты. Так, для уравнения (4.27) решение системы трехчленных уравнений производится вдоль координаты i для всех значений j = 1,2,...,N2;k =1,2,...,N3. Аналогично решается
уравнение |
(4.28) |
по |
координате j |
для |
значений |
i = 1,2,..., Nx\k =1,2,...,N3, а уравнение (4.29) - |
по координате к |
||||
для i = 1,2,...,Nx;j =1,2,....,N2. |
|
|
|||
Для начала расчета используются значения исследуемой ве личины, известные из начальных условий краевой задачи. На каждом последующем временном интервале в качестве началь ных принимаются значения искомой функции, полученные на предыдущем временном слое.
Каждое одномерное уравнение решается экономичным спо собом, с постоянным числом математических операций, затра чиваемых на одну точку. Поэтому число математических опера ций, затрачиваемых на решение одного уравнения методом про гонки, пропорционально Nx. Поскольку при решении первого
уравнения (4.27) требуется реализовать N2N3 прогонок по осям j и к, то общее число операций, необходимых для решения первого уравнения (4.27), оказывается пропорциональным про изведению NXN2N3. Точно такое же количество операций тре буется для решения уравнений (4.28) и (4.29). При использова нии неявных схем величина временного интервала т может быть выбрана произвольно. В этом случае для достижения конечного времени расчета Т потребуется выполнить 77т временных шагов. Следовательно, число математических операций, затрачиваемых на решение краевой задачи, окажется пропорциональным про-
Т
изведению —NXN2N3. Число точек в исследуемой области рав
но произведению N,N2N3. Поэтому число операций, приходя
щееся на одну точку, постоянно, т.е. локально-одномерный ме тод оказывается экономичным.
Рассмотрим вопрос о погрешности локально-одномерного метода. Запишем уравнения (4.24), (4.25), (4.26) в виде
(4-30)