Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdf± 9 l A . +J _ ^ A L+± d ^ 4 L_ |
dAL |
|||
Vy дх2 к |
д у2 |
py dz1 |
я dt |
|
= - J |
|
d |
( |
M L |
|
H---- |
\^y |
||
|
CTZ |
dz |
dx |
|
|
|
|
|
|
Для решения уравнения (2.58) выразим ср из уравнения ка либровки (2.61)
|
|
\ |
(ИуЛ + ^ - 1 |
M i |
|
Ф = — |
^ |
J dz |
|
(2.67) |
|
и подставим его в выражение при втором члене этого уравне ния. После преобразования имеем
1 |
дАх , |
1 |
дАг , |
|
1 |
дАх + |
----- —i + --------£ + у = — |
||||||
ц |
дх |
ц |
dz |
у |
ц |
дх |
^ Х 2 |
|
П XZ |
|
|
* XZ |
|
|
+ |
|
|
дА, |
i b z M i |
(2.68) |
|
|
|
|
ду |
У» Ру 92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и записываем уравнение (2.58) в виде
1 |
д2Ау |
ч |
|
лд2Ау |
1 |
д2Ау |
-у |
д А |
СПу - |
|
^хг |
дх2 |
-Ч ~ \ |
|
+ ---------- - |
-y = - J |
|||||
\У* |
7 ду2 |
Pxz |
dz2 |
y~dt |
|
|||||
|
д |
1 ( |
|
У 1 |
дАх |
1 |
Уу дАг |
|
(2.69) |
|
|
|
|
1 —— |
|
|
|
|
|
||
|
ду Л * 1 |
У») |
дх |
цуУх2 & _ |
|
|
||||
Таким образом, получается совместно решаемая система трех уравнений параболического типа. Для ее решения необхо димо иметь начальные значения трех составляющих векторного потенциала и условия на границах исследуемой области. После-
довательность решения системы уравнений точно такая же, что и для непроводящей среды.
2.3. Нелинейные магнитные среды
Магнитопроводы электрических машин выполняются из ферромагнитных материалов, магнитная проницаемость кото рых является функцией магнитной индукции или напряженно сти магнитного поля. Кроме того, кривая намагничивания фер ромагнитного материала вследствие гистерезиса неоднозначна. Эти факторы в значительной мере затрудняют решение уравне ний магнитного поля. Для магнитомягких материалов, обла дающих узкой петлей гистерезиса, неоднозначностью кривой намагничивания можно пренебречь, что несколько упрощает решение задачи. Тем не менее, расчет магнитных полей в фер ромагнитных средах всегда связан с решением нелинейных дифференциальных уравнений, реализуемых итерационными методами.
2.3.1. Непроводящая ферромагнитная среда
Сторонний ток отсутствует, J |
= 0, ц = f(H ). |
|
СТ |
Уравнение магнитного поля имеет вид |
|
r o t # = 0 ; |
tf = grad(pM. |
Тогда условие непрерывности магнитного поля (2.3) записы вается в виде
div [ц(я) grad <pJ= 0 |
(2.70) |
И Л И
i ^ H^ t + t 1w ^ - ° ■ <Z 7 ,>
23.2. Проводящая ферромагнитная среда
Плотность стороннего тока является функцией пространст венных координат: ц = f(H ); у = const; J = f(x,y,z).
СТ
Уравнение магнитного поля имеет вид
rot Я = 7 + 7 ,
ст
где J - плотность тока проводимости,
{ |
дАл |
(2.73) |
J = у |
- + grad(p |
|
|
о t |
|
Выражая напряженность магнитного поля через проницае мость среды и магнитную индукцию, а последнюю - через век торный потенциал, выполняя преобразования, получим уравне ние магнитного поля:
^ - ц ( Я ) у Я ^ (/ф я + ^ |
г0й + |
+ grad div А + ц (я) уgrad ф . |
(2.74) |
Этому выражению Можно придать более компактную форму, если ввести известную калибровку div А = цуф. Последний член
вправой части уравнения (2.74) при постоянной у записывается
ввиде
ц (# ) Y grad ф= grad [р(я) уф] - уфgrad [д(я)]. |
(2.75) |
|||
Если div А = - ц ( Я |
)уф , то уф = - ^ ^ 1 |
и уравнение (2.74) |
||
принимает вид |
|
|
|
|
Д Л - р ( я ) у $ = _ ц (я )у |
+ .8РаД |
Н.) гоЫ + |
|
|
°г |
ст |
ц(я) |
|
|
|
div А = - ц ( я ) у ф |
(2.76) |
||
Для некоторых зацач ПрИ введении определенных допуще ний и специальной калибровки уравнение (2.74) может быть уп рощено. Однако пракуически ддЯ всех случаев при решении
При численном решении уравнений действия над непрерыв ными функциями заменяются действиями над числовыми вели чинами, характеризующими электромагнитное поле. При этом исследуемая область принимается конечномерной, а уравнению в частных производных ставится в соответствие разностная за дача. Решение разностной задачи должно быть корректным, т.е. оно должно [23]:
1)существовать и быть единственным при любых входных данных;
2)непрерывно зависеть от исходных данных задачи: погреш ности входных данных не должны приводить к искажению ре зультатов.
Поскольку получаемое при этом решение является прибли
женным, необходимо использовать такие методы, которые обеспечивали бы минимальную погрешность.
Различают следующие виды погрешностей:
-погрешности входных данных (начальные и граничные ус ловия, коэффициенты уравнений, правая часть дифференциаль ного уравнения), которые при переходе от краевой задачи к раз ностной задаются с определенным приближением;
-погрешности метода, определяемые погрешностями мето дов преобразования дифференциальных операторов, реализую щих разностную задачу;
-погрешности вычислений, определяемые точностью вы полнения математических операций ЭВМ.
Естественно стремиться к тому, чтобы суммарная погреш ность решения, возникающая вследствие этих причин, была бы минимальной, не возрастала в ходе решения задачи и не приво дила к искажению результатов решения.
Свойство непрерывной зависимости решения разностной за дачи от входных данных принято называть устойчивостью за дачи по входным данным. Погрешности входных данных, кото рые неизбежно возникают в ходе решения разностных задач, не должны нарастать и выходить за пределы машинного нуля или машинной бесконечности. Необходимо, чтобы выбранные мето ды решения разностных задач исключали подобные ситуации, т.е. были устойчивыми.
Важным требованием, предъявляемым к методу решения краевых задач, является время решения. Среди эквивалентных по точности методов необходимо выбирать такой, который обеспечивал бы минимальные затраты машинного времени. При решении сложных краевых задач это условие подчас становится решающим для выбора метода.
Конечно-разностные методы предполагают замену диффе ренциальных операторов конечно-разностными выражениями, в результате чего дифференциальные уравнения сводятся к системе алгебраических, которые решаются известными мето дами [24]
Пусть рассматриваемая область решения лежит в пределах [О, L]. Разобьем эту область на конечное число N интервалов величиной
А х = L - О |
(3.1) |
N |
|
Производная дифференциального уравнения на интервале i конечной величины Ах может быть аппроксимирована сле дующими выражениями:
GU U1+ ~ U i. dU .. U j-U i-i. |
dU Ц м -Ц i_, |
|||
дх |
А х ’ дх |
А х ’ |
дх |
2А х |
Первое из этих выражений называется правой разностью, второе - левой разностью, третье, являющееся усредненной суммой двух первых, - центральнойразностью.
Замена производной конечно-разностным выражением обу словливает появление погрешности, т.к. точное равенство воз можно лишь при А х -> 0 Оценим погрешности, возникающие
для таких видов аппроксимации дифференциального оператора. Рассмотрим порядок точности аппроксимации правойревностью.
Для оценки погрешности разложим функцию U(x + А х) в ряд Тей лора в окрестноститочки х:
U(X + A X) = U(X) + A X ^ |
+ U A X )2^ - + --- (3.3) |
|
ох |
2 |
дх |
Тогда точное выражение производной
dU |
U(x + A x)-U(x) |
А х |
d2U |
дх |
А х |
2 |
дхг + |
Основной член погрешности аппроксимации
А х d2U
(3.5)
т.е. пропорционален первой степени величины Ах. Говорят, что конечно-разностное выражение аппроксимирует производную с точностью первого порядка или аппроксимация имеет первый порядок точности. Точно так же, используя выражение левой разности, будем иметь
dU |
U i - U i - x |
(3.6) |
|
дх |
А х |
||
|
Погрешность аппроксимации и в этом случае имеет первый порядок точности.
Рассмотрим порядок точности аппроксимации производной центральной разностью. Раскладывая функцию в ряд Тейлора, будем иметь
гг/ |
* |
, |
гт/ \ |
* |
dU |
(Ах)2 d2U |
|
V оЗ, |
|
(Ах)3 дги |
|||||||||
U(x+ Ax) = U(x) + A x ----- — *---------г-+ -— |
^----- г- |
||||||||
|
|
|
|
|
дх |
|
д х 1 |
|
дх* |
п , |
д |
. |
тт, \ |
* |
dU |
(А х)2 d2U |
( A x f d3U |
||
U(x-Ax) = U (x)-Ax — |
+y - А |
- Г г " |
< |
з + - |
|||||
|
|
|
|
|
дх |
2 |
дх |
6 |
дх |
Вычитая из первого равенства второе, получим |
|||||||||
|
|
U(x +A x)-U (x -A x) _ dU | (Д х)2 д3У ( |
|||||||
|
|
|
|
2Ах |
|
дх |
6 |
д х 3 |
|
(3.7)
(3.8)
(3.9)
ИЛИ
dU _ U(x +A x)-U (x -A x) |
(А х)2д3и { |
|
дх |
2Ах |
6 д х3 |
Главный член погрешности
с _ (а *)2 э3и
6 д х 3
пропорционален второй степени величины интервала разбиения. В этом случае центральная разность аппроксимирует производ ную со вторым порядком точности. При малой величине Лх точ ность аппроксимации производной оказывается более высокой.
Вторую производную функции в точке / исследуемой облас ти можно представить в виде разности первых производных:
|
(d U } |
(d U \ |
д2и |
_\ д х ) . +1 |
У д х ) ^ |
дх2 |
|
(3.12) |
Д х |
||
Заменяя в этом выражении производные левой и правой раз ностями, будем иметь
д2 U U(x + Ах )- 2U(x) + Ц(х - Ах)
д х 2 ~ |
( Д х ) 2 |
( ) |
Рассмотрим порядок точности аппроксимации второй произ водной указанным выражением. Для этого разложим функции U(x + Д х) и U(x - Д х) в ряд Тейлора в окрестности точки х:
и подставим полученные выражения в правую часть второй производной (3.13).
Тогда |
|
|
|
U(x + Д х) - 2 U(x) + U(x - Ах) _ д ги |
(Ах)2 д4 и |
||
(Ах)2 |
д х 2+ |
12 д У + |
|
Отсюда погрешность аппроксимации второй производной |
|||
с _ (А*)2 |
д4Ц |
(3.17) |
|
12 |
д х 2 |
||
|
|||
пропорциональна второй степени величины интервала разбие ния, т.е. имеет второй порядок точности аппроксимации.
Порядок точности конечно-разностного выражения может быть повышен, если увеличить число точек для его аппроксима ции. Если, например, в выражение погрешности аппроксимации первой производной подставить конечно-разностное выражение второй производной, то порядок точности аппроксимации по вышается. Однако такой способ повышения точности требует Увеличения числа интервалов разбиения, что приводит к воз растанию сложности аппроксимирующих выражений. Поэтому Чаще предпочитают иметь для аппроксимации более простые Выражения, увеличивая при этом число интервалов разбиения Исследуемой области. Порядок системы алгебраических урав нений при этом возрастает, но сами уравнения имеют более Простой вид, и решение системы требует меньших затрат мате матических операций.
При решении краевых задач с переменными коэффициентами Приходится аппроксимировать дифференциальные операторы, содержащие переменные коэффициенты. Для нахождения ко эффициентов системы алгебраических уравнений наиболее час- Т'о используют консервативные разностные схемы, для которых оказываются справедливыми разностные аналоги физических Законов.
Пусть краевая задача описывается одномерным уравнением с Переменными коэффициентами и заданными граничными усло виями:
д_ 8U
дх дх
Исследуемую область разбивают на N интервалов одинако вой величины, дифференциальный оператор аппроксимируют конечно-разностным выражением, а дифференциальное урав нение заменяют системой трехчленных алгебраических урав нений вида
а,-U i - 1 - с, U i + Ь ; U |+| = ~ h 2x f i ,
коэффициенты которых надлежит определить. Для этого уравнение (3.19) записывают в виде
Г, и м - и , |
dj |
и , - и , . i\ |
1 II |
||
bi |
hx |
hx |
1 |
||
l |
|
J |
|
||
x _ C j~ a ,- b i. _ ^ n . |
b,> 0; |
d-t 2:0. |
|||
d i |
2 |
j |
ai >0, |
||
hr
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Исследования порядка аппроксимации дифференциального оператора показывают, что записанная схема обеспечивает вто рой порядок точности при выполнении следующих условий:
o(x +hx)-a{x) |
,/ у |
a(x + hx)+a{x) _ |
|
hx |
K h |
= ^(х); |
|
2 |
|
||
|
b(x) = a(x + hx). |
(3.22) |
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
а(х) = К { х - 0,5 hx); |
Ь(х) = К{х +0,5 hx)-, |
|
|
d(x) = q(x) ; |
<p(x) = f(x). |
|
|
Это значит, что коэффициенты системы алгебраических уравнений рассчитываются как средние их значения на интерва лах. Более высокая точность достигается, если коэффициенты системы алгебраических уравнений рассчитываются как средне интегральные значения (наилучшая схема). В этом случае реше ние разностного уравнения в узлах сетки практически совпадает