Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdfА0Г„-, C0Y0 + В Д — FQ, i —0;
- 4 Г ,-,-С ,¥ ,+ В ,Г М = -Fiy \< i< N -l; |
(3.49) |
l< i< N -l, (3.51)
U0 =0, UN =0,
a Vi - решение однородной задачи с неоднородными краевыми условиями:
AiV i-,-C iVi+ BlVM =0, l< i< N -\, (3.52)
V0 =\, VN =\.
В полном соответствии систем (3.51) и (3.52) краевой задаче (3.49) можно убедиться, умножив (3.52) на Удг и сложив полу ченные выражения с соответствующими членами (3.51).
Каждая из краевых задач (3.51) и (3.52) решается методом прогонки, описанным выше:
**1+1^А'+1 "YР,-+]» Fg—ct(+|^-+| +Y,-+| ) i N |
N 2,...,1, |
Bi |
_ F i + A,P,. |
|
C ,-a,A , |
P,+.= Ct-a,A, |
У/+1 |
|
i = l, 2,...yN - l,N ; |
|
YN = . Pn+I — |
- U): ; Yi = Ui + YNVi; |
|
|
i =\,2,...,N - \ . |
|
AtJt
Ci-a.-A,-
0 < i<N
Для реализации циклической прогонки необходимо затратить 147V - 8 математических операций на один интервал разбиения пространственной координаты, т.е. этот метод также является
4 = i ; 4 = 1 ; |
4 = /Д 2; с. = 2 + о ,4 4 б ^ ; r 0 = V |
||||||
<*1=0, |
Pi 0» Yi~l» ^i+i |
Bi |
> Pz+i —F,+Aifij ?. |
||||
Ci—Aia.i |
|||||||
|
|
|
|
|
С / AiOLi |
||
rM = — |
i = |
|
|
<y„_, =Э„; |
к „ . , = о к +т» |
||
Ci |
AiOLi |
|
|
|
|
|
|
U‘= aMUM +h « ’ |
У‘ = а иУш+Ум> |
i = N - 2 , N - 3,...,2,1; |
|||||
Рк+1+ а д/+1 t/l |
y, = t/, + y wF,; |
i = l,2,...,JV-l |
|||||
У* = |
|
|
|||||
1—Yw+i—a /v+i ^ • |
|
|
|
|
|||
Y N+I = Y I ’> Y 0 = Y n ; |
f a y ^ |
y /+1- y |
|||||
— = - — - |
|||||||
|
|
|
|
Ч^ху, |
|
2hx |
|
По полученным данным построили графические зависимости Л(Х) = У(х)и 5(х) = У'(х), считая, что они описывают распре деление векторного потенциала и магнитной индукции по длине
расточки статора (рис. 3.2).
Л,Вб/м
0,10
0,05
0 -0,05
- 0,01 |
|
|
_______ __________________________________________________________________ |
||||
0 |
5 |
10 15 20 N |
^ 0 |
5 |
10 |
15 |
20 N |
|
|
а |
|
|
|
б |
|
Рис. 3.2. Пространственное распределение векторного потенциала (а) и магнитной индукции (б)
Программа решения краевой задачи:
n=24; dx=2.*pi/n; rl=0.137*dxA2; f(3:10)=rl; f(15:22)=-rl; forj=l:n+l
a(j)=lb(j)=l.; c(j)=a(j)+b(j)+0.446*dxA2; f(j)=0;
end
аЩ2)=0.; bet(2)=0.; gam(2)=l.; forj=2:n+l
r=c(j)-a(j)*alf(j); aif(j+l)=b(j)/r; bet(j+l)=(fO)+a(j)*bet(j))/r1 gam(j+1 )=a(j)*gam(j)/r;
end
u(n)=bet(n+1); v(n)=alf(n+1 )+gam(n+1); for j=n-l:-l:2
u(j)=alf(j+l )*u(j+1 )+bet(j+1); v(j)=alf(j+1 )*v(j+1 )+gam(j+1); eno
r2=bet(n+2)+a|f(n+2)*u(2); r3=] .-alf(n+2)*v(2)-gam(n+2); y(n+l)-r2/r3; y(l)=y(n+l);
forj=2:n
yO)=u(j)+y(n+1 )*v(j); end
bl(l)=(y(2)-y(n))/(2.*dx); bl(n)=(y(l)-y(n-l))/(2.*dx); for j=2:n-l
blO)=(yG+l)-ya-l))/(2.*dx);
end
disp(alf); disp(bet); disp(gam); disp(a); disp(b); disp(c); disp(f); disp(y); plot(y); disp(bl); plot(bl);]
Результаты решения задачи приведены в табл. 3.3,3.4. Таблица 3.3
Коэффициенты системы алгебраических уравнений и прогоночные коэффициенты
/ |
А, |
В, |
С, |
оц |
Р» |
У/ |
|
1 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
|
2 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,0000 |
0,0000 |
1,0000: |
|
3 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,4925 |
0,0000 |
0,4925 |
|
4 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,6502 |
0,0061 |
0,3202 |
|
5 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,7244 |
0,0112 |
0,2319 1 |
|
6 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,7656 |
0,0158 |
0,1776) |
|
7 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,7905 |
0,0199 |
0,1404 |
! |
8 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8064 |
0,0199 |
0,1132 |
; |
9 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8169 |
0,0270 |
0,0925 |
|
10 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8240 |
0,0300 |
0,0762 |
|
/ |
Ai |
Bi |
С, |
a i |
ft |
Y< |
11 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8288 |
0,0326 |
0,0632 |
12 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8321 |
0,0271 |
0,0525 |
13 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8344 |
0,0226 |
0,0438 |
14 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8360 |
0,0189 |
0,0367 |
15 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8371 |
0,0158 |
0,0307 |
16 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8379 |
0,0054 |
0,0257 |
17 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8385 |
-0,0033 |
0,0216 |
18 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8389 |
-0,0107 |
0,0181 |
19 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8391 |
-0,0168 |
0,0152 |
20 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8393 |
-0,0220 |
0,0127 |
21 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8395 |
-0,0264 |
0,0107 |
22 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8395 |
-0,0300 |
0,0090 |
23 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
0,8395 |
-0,0331 |
0,0075 |
24 |
1,0000 |
1,0000 |
2,0357 |
|
|
|
|
Коэффициенты U (J), V(J) |
Таблица 3.4 |
||
|
|
|||
|
и результаты решения краевой задачи YQ) и B L (j) |
|||
i |
Ui |
Vi |
Yi |
В Ц |
i |
0,02333 |
0,84502 |
0,0126 |
0,0973 |
2 |
0,04737 |
0,71586 |
0,0383 |
0,1003 |
3 |
0,07285 |
0,60859 |
0,0652 |
0,0884 |
4 |
0,09118 |
0,51992 |
0,0846 |
0,0613 |
5 |
0,10290 |
0,44715 |
0,0973 |
0,0360 |
6 |
0,10838 |
0,38804 |
0,1035 |
0,0119 |
7 |
0,10778 |
0,34079 |
0,1035 |
-0,0119 |
8 |
0,10109 |
0,30396 |
0,0973 |
-0,0360 |
9 |
0,08810 |
0,27641 |
0,0846 |
-0,0613 |
10 |
0,06841 |
0,25732 |
0,0126 |
0,0973 |
11 |
0,04143 |
0,24610 |
0,0383 |
0,1003 |
12 |
0,01571 |
0,24239 |
0,0126 |
-0,1003 |
13 |
-0,00953 |
0,24610 |
-0,0126 |
-0,0973 |
14 |
-0,03506 |
0,25732 |
-0,0383 |
-0,1003 |
15 |
-0,06166 |
0,27641 |
-0,0652 |
-0,0884 |
Согласно краевым условиям YO—Y N >уравнение (3.56) может быть преобразовано:
Г‘- IV- и |
* Г„-, = Га+Ян у н + |
у. |
(3.57) |
||||
|
Л; |
|
|
|
,=| |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
-7 У 1 -(Л + 9о+ ^ ) Ь |
+ Л = |
Z ?;JV |
(3-58) |
|||
|
й; |
Л; |
|
hx |
м |
|
|
Таким образом, получают систему: |
|
|
|
|
|
||
Л |
у1 - (Л + ? о+ ^ ) Ь + - 4 = |
Ё 9/к, |
»'=0; |
|
|||
Л; |
л* |
Лх |
<=1 |
|
|
|
|
|
A J 0- C J X+ B J 2= - F X, i = 1; |
|
|||||
AiYt-i-CtYi + BiYi = -Fi, |
i' = 2, |
3.... JV-3 ; |
|
||||
А ы - i Y N - b ~ C N - I Y N - 2 ~^~ BN - I Y N - \ |
= ~ F v-2> i - N - 2 |
\ |
|||||
A N-\Y N -2~ C N -\Y N-\ + B N - \Y N = ~ F N - I > |
г = Д1—1; |
||||||
|
|
YQ= Yn - |
|
|
|
|
|
В общем виде эта система записывается так: |
|
|
|||||
АУ/-1-С/У, + АУ/+1= - Л . |
|
1= 1,2,...,Л^-1; |
(3.59) |
||||
|
|
|
N -1 |
|
|
|
|
Л*Глм-С*Улг + Д*У1 = ^ * - £ ? , - У ( , |
1 = ^ , |
(3.60) |
|||||
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
и ее решение ищется |
в виде суммы двух составляющих: |
|
|||||
|
|
Y, = U, + YN V,. |
|
|
(3.61) |
||
Здесь Uj - решение неоднородного уравнения с однородными граничными условиями
AIUH -C,UI + BIUM = -F,1 |
I = 1 |
, , (3.62) |
U0 =0, |
UN =0; |
|
же начальными условиями, задающими распределение иссле дуемой функции в начальный момент времени. Рассмотрим простейшую одномерную краевую задачу:
Q L = K ( x ,t) £ ! f + f ( x , 0 , |
(3.68) |
|
dt |
дх |
|
с краевыми условиями первого рода
U(0,t) = а\ U(L,t) = b,
и начальными условиями
U(x,0) = 0(дг) .
Для решения уравнения исследуемая область разбивается на N пространственных интервалов, временные и пространствен ные дифференциальные операторы аппроксимируются конечно разностными выражениями, в результате чего дифференциаль ное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, решаемых совместно с граничными и начальными условиями известными методами. Помимо дифференциальных операторов в ряде случаев приходится аппроксимировать правую часть уравнения и дополнительные условия краевой задачи. Точность получаемого решения зависит от способов аппроксимации и ве личины интервалов разбиения пространственной и временной координат. Изменяя эти величины, получают семейство разно стных задач, которое называется разностной схемой [24].
При решении краевых задач возможны два варианта аппрок симации:
1. Явная схема
= § ({ /!„ -2U', + [/! -,)+ /'. |
(3.69) |
Л ' Их
Такая схема называется явной, потому что позволяет опреде лить значение функции в каждой точке исследуемой области
и \+], выражая его через известные ее значения на предыдущем
временном интервале и \ :
Таким образом, зная начальные значения функции во всей исследуемой области, рассчитывают ее значения на последую щих временных интервалах.
2. Неявная схема
U 'i+[ U ‘ = |
- 2 V “ ' + £ /м )+ / ,' • |
(3.71) |
At |
hi |
|
Преобразуем это уравнение и запишем его в виде
М , |
и П - |
1+ 2 |
kjh, |
Tjt+\ . |
kjht j jt-fl — |
|
|
h\ |
и i ^ |
L+■9 |
*->1+1 ~ |
||
|
|
|
|
|
(3.72) |
|
=- t/{ - 0 ,5 (F { + F{+,)A r
Вэтом уравнении известна правая часть, однако неизвестны
значения искомой функции на новом временном слое (/)+} • Для нахождения этих значений необходимо ре
шить систему трехчленных алгебраических уравнений, что зна чительно сложнее, чем нахождение этих величин в явной схеме.
Казалось бы, что использование явных схем предпочтитель нее, так как они позволяют получать решение краевой задачи за более короткое время. Однако в настоящее время эти схемы применяются относительно редко, поскольку они являются ус ловно устойчивыми. Явные схемы могут использоваться лишь при определенном соотношении между временными и про странственными интервалами At и hx.
Поясним условия устойчивости явной схемы, для чего запи шем ее в следующем виде:
и Т 1= ^ { и \ ^ и \ М \ - 2 Щ U ‘i + F ih t • (3.73) hi
В силу линейности решаемой задачи аналогичное уравнение оказывается справедливым и для погрешности