Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

где погрешность e' представляет разницу между точным реше­

нием дифференциального уравнения задачи й\ и точным реше­

нием разностного уравнения Uj:

(3.75)

Положим, что в исследуемой области максимальное значение

погрешности достигается в точке М: шах ej = е

Тогда заведомо справедливо соотношение

и для максимума погрешности уравнение (3.74) записывается в виде

последующее значение погрешности оказывается меньше пре­ дыдущего, т.е. нарастания погрешности не происходит. Таким образом, для устойчивости счета необходимо, чтобы интервалы разбиения пространственной и временной координат были свя­ заны соотношением

(3.78)

Отсюда следует, что при больших значениях коэффициента уравнения K(x,t) приходится выбирать временной интервал

Д? очень малым, и решение дифференциального уравнения тре­ бует больших затрат времени.

Вычитая из первого выражения второе и деля результаты на т, будем иметь

Таким образом, исходное уравнение (3.79) обеспечивает вто­ рой порядок точности и по временной координате. Преобразуя указанное выражение для всех внутренних точек исследуемой области, получим трехчленную систему алгебраических уравне­ ний, правые части которых имеют более сложную структуру, а коэффициенты

Краевые и начальные условия при этом сохраняются. Полу­ ченная система трехчленных алгебраических уравнений решает­ ся описанным выше методом прогонки с минимальными вре­ менными затратами.

Пример 3.3. Решение смешанной краевой задачи. На ин­ тервале [0, 0,6] решим краевую задачу, описываемую урав­ нением [28]

dU _ d 2U dt дх2 ’

end

for t=1: nt-1 forj=2:nx-l

u(t+l j)=u(tj)+ht*(u(tj+l)-2.*u(tj)+u(tj-l))/(hx*hx);

end end disp(u);

Результаты решения приведены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Результаты решения краевой задачи с использованием явной схемы

Решение краевой задачи для неявной схемы с опережением.

Аппроксимируем дифференциальные операторы уравнения сле­ дующим образом:

Полученная система трехчленных алгебраических уравнений решается методом прогонки. Недостающие до определения сис­ темы уравнения записываются исходя из краевых условий. Для определения правых частей уравнений на первом временном интервале используются начальные условия, а на последующих интервалах - полученные ранее решения.

Программа расчета приведена ниже, а результаты решения краевой задачи, полученные с использованием неявной схемы с опережением, представлены в табл. 3.6.

Программа решения краевой задачи:

bet(j+l)=(uO(j)+a(j)*bet(j))/r; end

Результаты решения приведены в табл. 3.7. Сравнение рас­ смотренных вариантов показывает, что они обладают практиче­ ски одинаковой точностью, но наиболее простой в реализации оказывается явная схема. К сожалению, эта схема является ус­ ловно устойчивой, т.е. дает правильное решение при определен­ ных соотношениях между пространственным и временным ин­ тервалами (3.78).

Рассмотрим характер протекания переходного процесса при решении нестационарной одномерной краевой задачи при раз­ личных соотношениях между указанными интервалами.

Пример 3.4. Решение смешанной краевой задачи с исполь­ зованием явной схемы при различных величинах временного интервала. Пусть краевая задача на интервале [о, l] описана уравнением параболического типа

dU

(3.85)

dt

снулевыми начальными и граничными условиями

£/(0,0 = £/(1,/) = £/(*, 0) = 0.