Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

Дельта-функция может быть аппроксимирована различными аналитическими функциями, например:

я 1 + (тес)

Если х * 0, то б(дс) —> 0. Если, наоборот, х =0, то

5(х) -> — = оо.

п

Дельта-функция связана с единичной функцией Хевисайда следующей зависимостью:

нечно большое число раз. Производные дельта-функций также пред­ ставляют комбинацию импульсных функций. Если, например, представить дельта-функцию в виде треугольника, высота кото­ рого стремится к бесконечности, с основанием, стремящимся к нулю (рис. 1.5), то производная дельта-функции будет изобра­ жаться в виде комбинации прямоугольников различной поляр­ ности.

Производная дельта-функции имеет определенный физиче­ ский смысл. Если, например, дельта-функция описывает плот­ ность сосредоточенного в точке электрического тока, то ее про­ изводная описывает плотность диполя - системы двух зарядов, удаленных друг от друга на бесконечно малое расстояние [15].

В электротехнике дельта­ функция может быть использо­ вана для описания многих элек­ трических величин. Известно, что объемная плотность электриче­ ских зарядов записывается в виде [16]

При стремлении ДV к нулю плотность р стремится к беско­ нечности. Поэтому приходится особо оговаривать, что AV име­ ет конечные размеры, значительно меньшие, чем возможные расстояния между отдельными зарядами. Между тем объемная плотность электрических зарядов может быть математически строго описана следующим выражением:

где x0,y0,z0 - координаты точки расположения электрического

заряда.

Точно так же можно описать и поверхностную плотность за­ рядов - плотность электрического заряда, распределенного в слое поверхности, толщина которого стремится к нулю.

AS

В терминах обобщенных функций поверхностная плотность записывается как

Вместе с тем необходимо отметить, что действие над самой дельта-функцией не является корректной математической опе­ рацией, поскольку ее значение в данной точке равно бесконеч­ ности, т.е. не определено. Для выполнения математических опе­ раций с дельта-функциями необходим переход от бесконечно больших величин к конечным. Этот переход осуществляется путем распределения дельта-функции на конечный интервал пространственной координаты:

1.2. Квантование функций

При математическом моделировании ЭМ приходится решать сложные системы дифференциальных уравнений. Аналитиче­ ские решения таких систем возможны лишь в исключительных случаях, а нелинейные уравнения аналитически решить нельзя. Поэтому основными методами решения указанных уравнений в настоящее время являются численные, предполагающие замену аналитических функций числовыми полями, над которыми про­ изводятся необходимые математические операции. В связи с этим термин «математическое моделирование» адекватен тер­ мину «численное моделирование», или «численный экспери­ мент».

Таким образом, для реализации математической модели не­ обходим переход от непрерывных аналитических функций к числовым полям. Переход от непрерывных функций к последо­ вательностям дискретных значений величин обозначим как квантование функций.

С процессом квантования различных величин человек зна­ ком с древнейших времен. Различного рода измерения пред­ ставляют не что иное, как квантование этих величин. Именно операции с дискретными величинами явились основой матема­ тики. С развитием математики широкое распространение полу­ чил термин «функция» и последовательности дискретных зна­

чений стали рассматриваться в виде непрерывных последо­ вательностей.

Новое рождение «кванта» произошло в работах М. Планка, когда использование непрерывных функций не позволило ре­ шить задачу об излучении «черного» тела. С тех пор термин «квант» широко вошел в обиход. Возникли новые понятия и термины «квантовая механика» в механике, «квантовая биоло­ гия» - генетика в биологии. С этих позиций современные чис­ ленные методы, широко используемые для решения самых раз­ личных задач математики, с полным правом можно определить одним понятием «квантовая математика».

Для различного рода сигналов известны и широко исполь­ зуются на практике следующие виды квантования функций [13,18]:

-квантование по координате;

-квантование по уровню сигнала;

-квантование по частоте спектра.

Наиболее распространенным видом квантования, применяе­ мым в теоретических исследованиях и на практике, является квантование по временной или пространственной координате. При этом виде квантования пространственная или временная координата делится на ряд интервалов и в каждом из них произ­ водится измерение исследуемой функции. Таким образом, не­ прерывная функция заменяется последовательностью одиноч­

ных импульсов, величины кото­ рых равны значениям исследуе­ мой функции в данный интервал пространственной или времен­ ной координаты (рис. 1.6). Ука­

F(t)

занный вид квантования лежит в основе всех конечно-разностных методов.

При квантовании функции по уровню ее величина срав­ t нивается с «квантом» функ­ ции. Ширина получаемых при этом отрезков характеризует

градиент функции в зависимости от временной или пространст­ венной координаты (рис. 1.7). В этом случае непрерывная функ­

ние коэффициентов разложения, т.е. нахождение амплитуды отдельных гармоник, составляющих ряд Фурье. Таким образом, искомая функция может быть представлена в виде последова­ тельности гармоник заданных частот с определенными ампли­ тудами. Для восстановления таких функций достаточно знания амплитуд гармоник в заданном интервале частот.

Для квантования математических функций в настоящее вре­ мя наиболее часто используются первый из вышеназванных способов - квантование по координате и третий - квантование по частоте спектра. Первый способ лежит в основе конечно­ разностных методов решений уравнений, третий - используется для решения уравнений в частных производных методом разде­ ления переменных.

Что касается второго способа квантования - квантования по уровню, то он для решения уравнений практически не применя­ ется, так как не разработан математический аппарат для систем алгебраических уравнений, получаемых при аппроксимации дифференциальных уравнений. Хотя в ряде случаев, при кван­ товании функций с малыми градиентами, этот способ мог ока­ заться весьма эффективным.

Ск = 7 7 — J / M < P * d * b - a aJ

Существует бесчисленное множество ортонормальных базо­ вых функций, однако на практике используются лишь некото­ рые из них. К ним относятся:

1. Система единичных базовых функций.

Любая точка непрерывной финитной функции может быть выражена в виде интеграла от дельта-функции:

Если заставить точку а непрерывно изменять свои координа­ ты, то указанный интеграл будет определять семейство точек, принадлежащих непрерывной кривой. Другими словами, любую непрерывную на интервале функцию можно представить в виде разложения:

Из-за неопределенности дельта-функции в каждой рассмат­ риваемой точке, от бесконечно малых интервалов в разложении переходят к конечным величинам Аде. В этом случае вместо ин­ теграла будем иметь

Дельта-функция представляется в виде прямоугольного им­ пульса с единичной площадью, шириной AJC и высотой 1/Дх. Под­ ставляя выражение дельта-функции в формулу (1.29), получим

При численном решении дифференциальных уравнений часто используется система ортонормальных дискретных триго­ нометрических базовых функций, определяемая на интервале разложения [О, N] выражением

коэффициенты разложения которого определяются следующим образом:

а . - У р b - y t / O X n f . ( 1.35)

При решении дифференциальных уравнений с комплексны­ ми коэффициентами используется разложение с дискретными комплексными экспоненциальными базовыми функциями.

.2ICKI

Особенностью разложений по тригонометрическим и экспо­ ненциальным базовым функциям является то, что расчет коэф­ фициентов разложения и восстановления функций требует оп­ ределенных затрат математических операций.

Кроме рассмотренных базовых функций при исследовании различных процессов, описываемых уравнениями в частных производных, широко используются полиномы Чебышева, Ле­ жандра, а также специальные функции Уолша, Радемахера, Наара и некоторые другие.