Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

Программа решения двумерной краевой задачи конечно­ разностным методом:

nl=17; n2=17; dn=16; hx=l./(nl-l); hy=l./(n2-l); dt=0.001; a(l:225,l:225)=0.; f(l:225)=0.;

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Решение краевой задачи

/

где В, - произвольно выбранный оператор.

Отсюда следует, что итерационный процесс можно рассмат­ ривать как разностную схему, соответствующую нестационар­ ной задаче. Следовательно, для его реализации могут быть ис­ пользованы рассмотренные ранее методы решения нестацио­ нарных краевых задач. В качестве оператора В можно использо­ вать любой оператор, позволяющий быстро находить значения искомой функции U1и обеспечивающий быстрое затухание на­ чальных данных. К таким операторам можно отнести операто­ ры, используемые при решении нестационарных задач продоль­ но-поперечным и локально-одномерным методами.

В отличие от схем решения нестационарных краевых задач продольно-поперечные и локально-одномерные схемы реализу­ ются таким образом, чтобы необходимая точность решения дос­ тигалась за минимально возможное время. В качестве примера рассмотрим решение стационарной краевой задачи с использо­ ванием продольно-поперечной схемы.

Пусть решается рассмотренная выше (см. пример 5.2) ста­ ционарная краевая задача.

Аппроксимируя дифференциальные операторы конечно­ разностными выражениями, запишем дифференциальное урав­ нение в виде

Для решения задачи итерационным методом представим запи­ санное уравнение как уравнение нестационарной задачи (5.32):

U\j ~ U'ij _ UM J ~ 2UV + U'i-x.j , Ulj+x~ 2Ujj + Ujj-i

Полученное уравнение решается методом переменных на­ правлений с учетом заданных граничных условий и принимае­ мых нулевыми начальных условий. Величина временного ин­ тервала для неявной схемы выбирается максимальной, обеспе­

чивающей достижение необходимой точности за минимальное число итераций (Д а= 0,1 против 0,001 при решении нестацио­ нарной задачи в примере 3.4).

(ДАО

табл. 5.7, где приведены значения искомой функции в центре исследуемой области, а также на рис. 5.4, где показана зависи­ мость искомого решения в одной из точек исследуемой области U(N) от числа итераций N. Как видно из таблицы, для дости­

жения необходимой точности (см. примеры 5.1, 5.2) потребова­ лось 18 итераций, хотя уже при 5 итерациях относительная ве­ личина погрешности не превышает 0,5 %, при 10 итерациях - 0,05 %.

Рассматриваемая задача может быть решена с использовани­ ем локально-одномерного метода. Однако в этом случае для достижения необходимой точности приходится уменьшать ве­ личину временного интервала и увеличивать число итераций,

так как простейшие схемы метода обладают первым порядком точности.

6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Конечно-разностные методы предполагают замену диффе­ ренциального уравнения системой алгебраических уравнений путем аппроксимации дифференциальных операторов конечно­ разностными выражениями. Однако такой подход не является единственно возможным. Альтернативный способ получения системы алгебраических уравнений - представление решения краевой задачи в виде разложения по системе базовых функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям.

Аналогичный случай рассматривался ранее при решении уравнения Пуассона методом разделения переменных. Однако в отличие от этого метода собственные значения и собственные функции дифференциального оператора в общем случае неиз­ вестны. Поэтому коэффициенты разложения не могут быть рас­ считаны с использованием простейших выражений. Их опреде­ ление связано с решением системы алгебраических уравнений, получаемой для различных методов по определенным условиям.

В работах [32, 33, 34] показано, что решение краевой задачи с заданными граничными условиями, эквивалентно поиску мини­ мума функционала определенного вида. Проблемы отыскания минимума рассматриваются разделом математики, называемым вариационным исчислением. Напомним, что если каждой из множества функций может быть поставлено в соответствие оп­ ределенное число, то говорят, что на данном множестве задан

функционал.

Для решения задач вариационного исчисления, в частности нахождения минимума функционала, наиболее часто использу­ ются приближенные методы, к которым относятся методы Ритца и Бубнова —Галёркина. Эти методы, так же как и конечно­

разностные, приводят к системе алгебраических уравнений, ре­ шаемых известными методами. Однако в отличие от последних методов система уравнений находится из условия:

-минимума функционала, если используется метод Ритца;

-ортогональности невязки уравнения к базовым функциям разложения при использовании метода Галёркина.

Метод Ритца применим для решения краевых задач с само­ сопряженными и положительно определенными операторами дифференциальных уравнений.

Напомним, что самосопряженным уравнением называется дифференциальное уравнение, записываемое в виде

К самосопряженному виду путем определенных преобразо­ ваний может быть приведено любое линейное дифференциаль­ ное уравнение второго порядка [34]:

Дифференциальное уравнение считается положительно оп­ ределенным, когда все собственные значения дифференциаль­ ного оператора уравнения положительны.

Идея метода Ритца сводится к следующему. Пусть функцио­ нал J (и) в области D , с граничными условиями на контуре Г, ограничивающем эту область,

Как указывалось выше, решение краевой задачи соответству­ ет поиску минимума этого функционала.

Будем считать, что решение и представляется в виде разло­ жения по системе пробных функций различного вида, удовле­

творяющих заданным граничным условиям. Чаще всего в каче­ стве пробных функций используют степенные или тригономет­ рические ряды с неопределенными коэффициентами]

Подставляя указанное разложение (6.5) в выражение функ­ ционала (6.4), выполняя дифференцирование, интегрирование и другие, соответствующие функционалу математические преоб­ разования, получим выражение, представляющее определенную функцию коэффициентов разложения с,,с2,...,сп :

Для нахождения минимума функционала, необходимо при­ равнять производные полученного выражения по искомым ко­ эффициентам к нулю:

в результате чего получаем относительно коэффициентов сис­ тему алгебраических уравнений. Решение этой системы позво­ ляет определить коэффициенты разложения и восстановить ре­ шение краевой задачи (6.5).

Вряде конкретных задач решение может быть упрощено, ес­ ли пробные функции являются линейными относительно иско­ мых коэффициентов разложения, вследствие чего уравнения системы (6.7) оказываются первой степени, и для получения не­ обходимой точности число уравнений может быть относительно небольшим.

Вметоде Галёркина решение краевой задачи также ищется в виде разложения (6.5), а система алгебраических уравнений оп­ ределяется из условия ортогональности невязки уравнения крае­ вой задачи. Если, например, уравнение краевой задачи с одно­ родными граничными условиями записано в виде

решение краевой задачи представлено в виде разложения

/=1

где L - дифференциальный оператор, а фДд:,^)- выбранная система базовых функций, то условие ортогональности записы­ вается как

Я \LU{x,y)-f{x,y)\ cp,.(x,y)dxdy =

Опять получаем систему алгебраических уравнений, позво­ ляющую определить коэффициенты разложения С, и восстано­ вить искомую функцию и(х,у).

Недостатками рассмотренных «классических» способов реше­ ния краевых задач является сложность их реализации для полу­ чения необходимой точности. Поэтому в настоящее время эти методы подверглись совершенствованию, направленному на уп­ рощение построения системы алгебраических уравнений. Основ­ ной идеей совершенствования является использование функций с финитным (конечным) носителем, т.е. функций, отличных от ну­ ля лишь в окрестности рассматриваемой точки, в качестве базо­ вых. В этом случае число членов каждого уравнения системы ал­ гебраических уравнений для коэффициентов разложения будет определяться числом точек, принадлежащих финитному носите­ лю базовой функции, а члены уравнения, соответствующие точ­ кам за пределами носителя, будут равны нулю.

Примем для упрощения область определения решения крае­ вой задачи 0 < х < L одномерной. Разобьем указанную область 0 <x<L на конечное число интервалов N и для каждого к-го интервала введем функцию