Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

33 dt

аисходноеуравнение в виде

имеет первый порядок точности по времени и второй —по про­ странственным координатам. Временной порядок точности мо­ жет быть повышен, если при решении одномерных уравнений использовать симметричные схемы.

Локально-одномерный метод является универсальным. Он применим для решения уравнений с переменными и разрывны­ ми коэффициентами, нелинейных задач с достаточно гладкими границами исследуемой области.

Метод суммарной аппроксимации относится к группе мето­ дов решения сложных математических задач, объединяемых

названием методы расщепления. Локально-одномерные методы предполагают расщепление по пространственным координатам. Однако такое расщепление не является единственным. При ис­ следовании сложных физических процессов часто используется расщепление по процессам, когда сложный процесс рассматри­ вается в виде комбинации более простых процессов. В этом случае решение задачи сводится к последовательному решению более простых задач, а полученные решения предыдущей задачи используются в качестве начальных условий для решения по­ следующих задач.

Например, к таким сложным процессам можно отнести про­ цесс сушки бумажной изоляции высоковольтных кабелей. Суш­ ка изоляции производится в условиях глубокого вакуума в обог­ реваемых сосудах за счет нагревания жилы кабеля сначала от источника постоянного тока, затем от генератора высокой час­ тоты. При нагревании жилы происходит процесс теплопередачи от ее поверхности в глубь толщи бумажной изоляции. Одновре­ менно испаряется содержащаяся в бумаге влага и изменяется ее количество в радиальном направлении изоляции. Кроме того, различное содержание влаги обусловливает возникновение гра­ диента концентрации влаги, а при испарении жидкости возни­ кают градиенты давления водяных паров. На второй стадии сушки при включении высокочастотного генератора в толще изоляции возникают диэлектрические потери, что приводит к локальным нагревам бумаги. Все эти причины обусловливают движение жидкости в массиве изоляции, этот процесс принято называть тепломассопереносом. Непосредственно решить сис­ тему уравнений, описывающих процесс тепломассопереноса, изза его сложности невозможно. Поэтому его рассматривают как последовательность отдельно существующих во времени про­ цессов, в качестве начальных условий каждого из них принима­ ют значения концентрации влаги в изоляции, полученные при выполнении предыдущего процесса.

Методы расщепления используют для исследования тепло­ вых процессов, расчета и проектирования ядерных реакторов,

исследования процессов химического производства, атмосфер­ ных явлений и т.д. [32, 33].

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Многомерные уравнения эллигггического типа описывают стационарные процессы, их можно рассматривать как частные случаи параболических уравнений при стремлении времени ре­ шения последних к бесконечности. Поэтому на практике для решения эллиптических уравнений полностью применимы ме­ тоды, разработанные для решения уравнений параболического типа. Однако такие методы требуют значительных затрат ма­ шинного времени. Для решения краевых задач, описываемых эллиптическими уравнениями, чаще используются специальные методы.

Все методы решения эллиптических уравнений можно разде­ лить на аналитические и численные. Аналитические методы по­ зволяют получить математически строгое решение. Однако круг решения задач с использованием этих методов весьма ограни­ чен, и в настоящее время основными методами решения крае­ вых задач с эллиптическими уравнениями являются численные методы. Эти методы также предполагают замену аналитиче­ ских функций числовыми полями, над которыми производятся математические операции. В результате аппроксимации беско­ нечно малых величин операторов конечными приходят к систе­ ме алгебраических уравнений, которые решаются известными методами. Все методы решения систем алгебраических уравне­ ний, аппроксимирующих эллиптические уравнения, можно раз­ делить на две большие группы: прямые и итерационные.

Прямые методы позволяют решать системы алгебраических уравнений с использованием конечного числа математических операций. При этом погрешность решения системы определяет­ ся погрешностью округления ЭВМ и может быть уменьшена специальными методами.

Итерационные методы можно рассматривать как специаль­ ным образом организованный переходный процесс. Используя начальное приближение и систему алгебраических уравнений, процесс решения системы строят таким образом, чтобы на каж­ дой последующей итерации погрешность решения уменьшалась.

Полученное решение всегда является приближенным, а время решения определяется заданной точностью.

5.1. Метод разделения переменных

Метод разделения переменных известен давно и применялся для решения уравнений Лапласа и Пуассона. Однако широкое распространение метод получил в последнее время в связи с разработкой быстрого дискретного преобразования Фурье (БДПФ) [23, 27, 32, 33].

Идея быстрого преобразования Фурье заключается в сле­ дующем. Пусть на интервале [О,Z.] имеет место разложение функции / ( х) в дискретный ряд Фурье

/ (0) = f(L) = 0.

Если применять непосредственное вычисление f(x) с ис­ пользованием приведенной формулы, то число математических операций, необходимых для расчета, окажется пропорциональ­ ным N 2 ■Действительно, вначале необходимо вычислить значе-

ровать полученные произведения. Быстрое преобразование Фу­

= sin 135° и т.д. Вместо того, чтобы непосредственно выполнять умножение в выражении (5.1), рационально вначале вынести в нем общие множители, в результате чего число членов суммы сократится приблизительно в два раза. В получившемся ряду снова отыскивают одинаковые множители, выносят их, сокра­ щая в дальнейшем число членов разложения, и т.д. И лишь со­ кратив до минимума число членов разложения, вычисляют ос­ тавшиеся произведения.

Наибольший выигрыш в уменьшении числа математических операций будет в том случае, если число членов разложения яв­

ляется степенью числа е - 2,71828... Однако ЭВМ оперируют с

числами, представленными в двоичной системе счисления. Для реализации БДПФ число членов разложения принимают крат­

ным степени 2” В общем случае решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных с использованием

Так, при N = 32 число операций пропорционально 1024, если коэффициенты разложения непосредственно вычислять по вы­ ражению (5.1), и 32-log232 = 160 при использовании БДПФ. Число математических операций уменьшается в 1024/160 = 6,4 раза. Если число N увеличить до 128, то соответствующие зна­ чения составят 1282= 16384 и 281og2l28 = 896 и число операций уменьшится в 16384/896 = 18,28 раза. Учитывая слабую зависи­ мость логарифмической функции от аргумента, можно утвер­ ждать, что БДПФ по скорости реализации лишь незначительно уступает наиболее быстрому методу прогонки [27].

Метод разделения переменных предполагает разложение ис­ комой функции и правой части дифференциального уравнения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа,

при нулевых граничных условиях U0= 0; UN = 0 .

Значения А,, удовлетворяющие этому уравнению, называются собственными значениями.

Исследуемую область разбивают на N интервалов величи­ ной hx. Решение краевой задачи ищут в виде U = sin а х , коэф­

фициент а определяют из граничных условий.

Запишем значения функций для точек i +1 и / —1 с коорди­

Заменяя производную в уравнении (5.2) конечно-разностным оператором, будем иметь

Поскольку находится нетривиальное решение sin a х * о ,то

Х = * Г 1П

Определим а , используя граничные условия. При х =0 гра­ ничное условие выполняется всегда. Второе граничное условие при х = L выполняется в том случае, если аЬ= кж, где к = 1,2,... - целое число. Отсюда

а собственные значения ~ выражением

_ 4 2 кж Xk~ ~ ^ sm w '

Все собственные значения положительны и лежат в диапазоне

О^А.* < — . А,2

Собственные функции ортогональны на интервале [О, L\, а их норма

В этом случае собственные функции с учетом нормировки

В работах [18, 23, 25, 27, 32, 33 ] показано, что финитную функцию можно представить в виде разложения по собствен­ ным функциям дискретного оператора Лапласа:

Рассмотрим метод разделения переменных при решении двумерного уравнения Пуассона при нулевых граничных усло­ виях первого рода

цах исследуемой области в нуль, их можно разложить по собст­ венным функциям дискретного оператора Лапласа, например

И* (У):

Поскольку |0.£ (J) не зависит от координаты x =i , эту собст­ венную функцию можно вынести за знак производной по /. Аналогично, Uk(i) не зависит от координаты у = j Поэтому эту функцию также можно вынести за знак производной по j Тогда будем иметь

Собственные функции дискретного оператора Лапласа Д2, как показано выше, находятся при решении уравнения

В силу ортогональности собственных функций дискретного оператора Лапласа указанное равенство выполняется для каж­ дого члена разложения. Тогда

при краевых условиях Uk(0) = Uk (Nk) = 0.

В этом выражении собственные значения дискретного опера­

нию (5.16) восстановить искомую функцию во всех точках ис­ следуемой области. Нахождение коэффициентов разложения Ф*(0 и восстановление искомой функции производится с ис­ пользованием БДПФ с минимальной затратой математических операций. Подобный подход распространяется и на решение

многомерных краевых задач с уравнениями Пуассона, а также других, более сложных задач, допускающих разделение пере­ менных. В качестве одномерного в этом случае может быть взят оператор вида

т.е. оператор, коэффициенты которого зависят лишь от одной пространственной переменной. Полученная краевая задача с указанным оператором также решается методом прогонки.

Решение уравнений Лапласа и Пуассона методом разделения переменных с использованием БДПФ является самым быстрым и точным способом решения этих уравнений.

Уравнения Лапласа и Пуассона могут быть решены методом редукции. Идея метода заключается в том, чтобы постепенно понижать порядок системы, исключая последовательно сначала неизвестные с нечетными номерами, затем неизвестные с номе­ рами, кратными двум, затем - кратными четырем, восьми и т.д.

Если число неизвестных кратно 2к, то в результате последова­ тельного исключения остается одно уравнение, из которого можно найти неизвестное с номером к / 2. После этого осуще­ ствляется обратный ход, в результате которого вычисляются значения неизвестных с номерами к /4, к /8, к/\6...,к/2к,

к/к .

Метод редукции по числу вычислительных операций срав­ ним с методом разделения переменных, т.е. У log2 N , однако

имеет более сложный алгоритм реализации. Описание этого ме­ тода и его использование для решения краевых задач можно найти в работах [27, 32, 33].

Рассмотрим использование метода разделения переменных для решения двумерной краевой задачи из предыдущего раздела (см. пример 4.1).

Пример 5.1. Решение двумерной краевой задачи методом разделения переменных. Решим уравнение Пуассона