Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

в квадрате [0:1,0: l] при нулевых граничных условиях

Щ0,у) = U(l,y) = U(x,0) = U(x,1) = 0 .

Задачу решаем в следующей последовательности. Разбиваем стороны квадрата на N интервалов величиной

Записываем решение задачи и правую часть дифференциаль­ ного уравнения в виде разложения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа:

Подставляя указанные разложения в дифференциальное уравнение, имеем

ф*= £ / ( 'J ) M y ) .

У=1

а Д] и Аг - дискретные двумерные операторы Лапласа. Учитывая, что

получим

V* (Л {л, [у*0')]- h Yk(О+ Ф*(0} = о.

к=\

С учетом ортогональности собственных функций уравнения для всех членов разложения записываются в виде

Заменяя в уравнениях оператор Лапласа конечно-разностным выражением, получим для каждого систему трехчленных алгеб­ раических уравнений

Собственные значения дискретного оператора Лапласа из­ вестны:

Полученную систему совместно с нулевыми граничными ус­ ловиями решаем методом прогонки с минимальной затратой математических операций. Подобные решения осуществляем для всех £ = 1,2,..., N2-1 членов разложения. Восстанавливаем искомую функцию, используя приведенное выше выражение.

Результаты решения при Nt =N2=N=\6, f ( l : N l,l:N 2) = 0;

/(7 -г 9,7 9) = 100 представлены ниже.

Программа решения краевой задачи методом разделения пе­

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 5.1-5.5 и показаны на рис. 5.1.

Таблица 5.1 Собственные значения дискретного оператора Лапласа

Таблица 5.3 Преобразованные по Фурье правые части

дифференциального уравнения

Таблица 5.5

Решение краевой задачи i

Кк

Преобразовывая полученные выражения при естественной нумерации неизвестных, приходим к системе пятичленных ал­ гебраических уравнений, записываемых в виде

Aij U,-и +Bij UMJ+Cij Uij-i + Dij Utj+i~ Etj Uij = FIJ , (5-30) i = l,2,...,tf,; 7= 1,2,...,N2.

Особенностью этой системы является во-первых, ее большая размерность: число неизвестных системы равно Np, где р - чис­ ло координат исследуемой области. В частности, для рассматри­ ваемого уравнения (5.28) число неизвестных равно N1N2. Вовторых, матрица системы оказывается слабо заполненной. В ка­ ждой строке матрицы отлично от нуля лишь незначительное число элементов: при решении плоскопараллельной задачи число отличных от нуля элементов равно пяти, а для объемных задач - семи. Матрица системы имеет ограниченное число диа­ гоналей с ненулевыми элементами (рис. 5.2). Для уравнений второго порядка с постоянными и переменными коэффициента­ ми (5.28) матрица является симметричной и положительно оп­ ределенной. В этом случае элементы диагоналей, расположен­ ных симметрично относительно главной, имеют одинаковые значения, а все миноры системы положительны. Для уравнений других видов эти условия могут не выполняться.

Полученная система с учетом граничных условий может быть решена известными методами: прямыми и итерационными.

Ввиду значительной размерности полученной системы алгеб­ раических уравнений приходится использовать специальные методы, учитывающие ее особенности. Если, например, приме­ нять для решения хорошо известный метод Гаусса, то число ма­ тематических операций будет равно приблизительно 2/3 (Л^Л^)3

При этом, однако, боль­ шая часть операций является несодержательной, так как проводится над нулевыми элементами. Поэтому метод Гаусса применяется лишь для решения систем малой размерности. Чаще всего для подобных систем урав­ нений применяются методы факторизации с исключени­ ем несодержательных опе­ раций. Эти методы исполь-

зуют возможность представления прямоугольных матриц в виде произведения треугольных и диагональных матриц [25, 27]. Реше­ ние системы, таким образом, сводится к последовательному реше­ нию систем с треугольными матрицами, что дает значительное уменьшение числа математических операций. Для систем с сим­ метричными матрицами рациональнее всего использовать метод квадратного корня, который помимо уменьшения число математи­ ческих операций позволяет сократить объем используемой для ре­ шения машинной памяти. Подробно ознакомиться с этими мето­ дами можно в указанной выше литературе, а программы, реали­ зующие эти методы, достаточно широко представлены в матема­ тических пакетах ЭВМ (MathCAD, MATLAB и др).

В качестве примера решения двумерной краевой задачи ко­ нечно-разностным методом рассмотрим приведенное выше ре­ шение уравнения Пуассона.

Пример 5.2. Решение двумерной краевой задачи конечно­ разностным методом. В квадрате [0:1,0:1] решим стационар­ ную краевую задачу