Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

с точным решением дифференциального уравнения в тех же точках [24,25].

Конечно-разностные методы имеют прозрачный физический смысл и могут трактоваться как выражение определенных фи­ зических законов в конечном объеме пространства.

Известно, что уравнения в частных производных описывают процессы в цепных линиях. Следовательно, уравнению в част­ ных производных можно поставить в соответствие определен­ ную магнитную цепь, называемую магнитной схемой замеще­ ния. В этом случае решение краевой задачи можно свести к ре­ шению системы алгебраических уравнений, соответствующих магнитной схеме замещения электрической машины. Исходя из этих положений, разработаны методы исследования электро­ магнитных процессов электрических машин на основе магнит­ ных схем замещения, позволяющие получать те же результаты, что и при решении полевых задач [26].

Рассмотрим, например, уравнение (2.15) - первое уравнение Максвелла, записанное для неоднородной среды. Полагая, что решается плоскопараллельная задача, будем считать, что век­ торный потенциал и плотность стороннего тока имеют по одной

составляющей векторного потенциала может быть записано в виде

(3.24)

Переходя к конечным разностям и выражая плотность сто­ роннего тока через его величину на рассматриваемом м интер­ вале разбиения пространственных координат, получим

Уравнению (3.28) соответствует схема замещения, представ­ ленная на рис. 3.1. Таким образом, магнитная цепь электриче­ ской машины может быть представлена в виде совокупности магнитных сопротивлений, эквивалентных отдельным участкам этой цепи.

Электромагнитные процессы магнитной цепи описываются уравнениями Кирхгофа для отдельных ее участков, и решение полученной системы уравнений позволяет определить магнит­ ные потоки и соответствующие индукции этих участков.

3.2. Решение системы алгебраических уравнений методом прогонки

3.2.1. Простая прогонка

Для решения системы алгебраических уравнений, получен­ ной в результате аппроксимации дифференциальных операто­ ров, могут быть применены различные методы. Однако на практике наиболее часто используются специальные методы решения, учитывающие структуру полученной системы. К та­ ким методам относится рассматриваемый ниже метод прогон­ ки [24, 27].

Положим, что в области [О, L] решается краевая задача с гра­ ничными условиями первого рода

Будем решать задачу конечно-разностным методом. Для это­ го исследуемую область [О, L] разобьем на конечное число ин­ тервалов N величиной Д х = L/N и дифференциальные операто­

ры аппроксимируем конечно-разностными выражениями. В ре­ зультате замены получим систему алгебраических уравнений

/ = 1,2,-,ЛГ -1 .

Аналогично, подставляя вместо Ut выражение (3.35) и вы­

Полученные выражения носят название рекуррентных и по­ зволяют, зная начальные значения величин а, и Р/, рассчитать все последующие. Выражения для начальных значений а/ и Р/ можно найти исходя из граничных условий (3.33). Для / = 0 име­ ем: с одной стороны

и0 = Ххи х+ ц ,,

ас другой - согласно (3.35)

U 0 = a i ^ i + Pi •

Соотношения будут выполнены, если а, =Xi и Pj = Hi • Таким образом, при известных граничных условиях определяются прогоночные коэффициенты а , , Р) , а затем а,и р. для /' = 2, 3,...

N - 1 (прямой ход). Величина искомой функции на последнем пространственном интервале при i = N определяется из гранич­ ных условий в этой точке. С одной стороны,

UN = Хг^лг-i + И-#» а с другой - по выражению (3.35)

Из этой системы находят значение функции на последнем интервале разбиения пространственной координаты:

Зная эту величину и используя выражение (3.35), рассчиты­ вают значения искомой функции на остальных интервалах раз­ биения i =N - I .N - 2,...,1 (обратный ход).

Используя этот метод, необходимо выполнять определенные условия, обеспечивающие устойчивость вычислительного про­

причем строгое неравенство должно выполняться хотя бы в од­ ной точке;

б) Xi.2 X, + Х2 < 2 - (3.44)

При выполнении этих условий знаменатель выражений (3.41) всегда больше числителя и величина коэффициентов а/ оказы­ вается всегда меньше единицы. Поэтому возникшие в процессе расчета ошибки округления не приводят к их возрастанию и на­ коплению.

Достоинством метода является минимальное число матема­ тических операций, необходимых на его реализацию, и, самое главное, линейная зависимость числа операций от числа алгеб­ раических уравнений (порядка 10 операций). Такие методы принято называть экономичными [24]. Это обстоятельство дела­ ет метод прогонки весьма популярным при решении уравнений математической физики.

Помимо основного варианта метода прогонки разработаны его разновидности, применяемые для решения тех же краевых задач, что и основной вариант. К ним относятся метод обратной прогонки и метод встречных прогонок.

Как следует из названия, метод обратной прогонки отличает­ ся тем, что прогоночные коэффициенты г|, и Q вычисляются в обратной последовательности, начиная с А'-интервала для N - 1, N - 2,...2,1, с использованием выражений (3.35), а искомая функция Uj - в прямой последовательности для / = 1, 2,..., N - 2, N - 1 по следующей формуле:

Метод встречной прогонки применяют в том случае, если не­ обходимо найти решение в одной из точек исследуемой области. Для этого, исходя из граничных условий при / = 0, рассчитыва­ ют прогоночные коэффициенты а, и Р/ до исследуемой точки. Затем определяют прогоночные коэффициенты г|, и Q, исходя из граничных условий на второй границе при / = N. Затем записы­ вают выражения искомой величины в исследуемой точке:

Совместное решение этой системы позволяет определить значение искомой функции в точках / и / + 1. При необходимо­ сти значения функции в других точках исследуемой области рассчитываются по любому из выражений (3.46). Для реализа­ ции метода здесь и далее использован пакет MATLAB [29].

П р и м е р 3 . 1 . Р е ш е н и е к р а е в о й з а д а ч и м е т о д о м п р о г о н к и .

На интервале [0,1] решим краевую задачу методом прогонки:

Y "-2 xY '-2 Y = -4x; Г (0)-Г(0) = 0; У(1) = 1 + е = 3,71828 ,

и сравним решение, полученное численным методом, с анали­ тическим решением [28]

Y = x +exp (JC2) •

Для решения задачи исследуемую область разбиваем на N = 10 интервалов величиной

Дифференциальные операторы уравнения заменяем конечно­ разностными выражениями

f(j)=4.*x(j)*hxA2;

end alf(2)=l./(l+hx);

bet(2)=0.;

forj=2:n

r l=cO)-aO)*alfO); alfO+l)=bO')/rl; bet(j+l)=(aG)*bet(j)+f(j))/rl;

end y(n+l)=3.71828;

forj=n:-l:l

y(j)=alf(j+1)*yO+1 )+bet(j+1); end

disp(y); forj=l:n+l

x(j)=hx*0-l); x]=x(j)A2; x3=exp(xl); xx(j)=x(j)+x3; end

disp(xx)

Результаты расчета приведены в табл. 3.1,3.2.

Таблица 3.1 Коэффициенты системы трехчленных алгебраических уравнений

в зависимости от пространственной координаты