Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

—=4(hl + hl)Al - 2 h U 2 -

\dAJ z

Учитывая равенство нулю производных в левой части этого уравнения и выполняя элементарные преобразования, запишем его в виде

что совпадает с уравнением, полученным конечно-разностным методом.

В качестве примера рассмотрим уравнение Лапласа

14

решаемое методом конечных элементов в работе [35] в пря­ моугольной области [0,2], [0,2] с краевыми условиями

дуемой области [0:2,0:2]

Рассматриваемая область раз­ бита на 16 треугольников с 15 узлами (рис. 6.3).

Система алгебраических уравнений, соответствующая краевой задаче (6.105), получена в работе [35], записана в матричном виде (6.107), а ее решение представлено ниже:

Выполнив элементарные преобразования, получим уравне­ ние (6.106).

В ряде случаев энергетический функционал не известен или его нахождение связано со значительными трудностями. В этом случае система алгебраических уравнений может быть получена непосредственно при интегрировании уравнений Максвелла. Рассмотрим процедуру получения системы алгебраических уравнений для этого случая.

Согласно определению ротор любого вектора может быть выражен через циркуляцию следующим образом:

j H d l

Введем векторный потенциал rot А = В и запишем уравнение Максвелла в виде

Интегрируя полученное выражение по произвольной площа­ ди и используя определение ротора, этому выражению можно придать вид

Таким образом, решение дифференциального уравнения (6.109) можно свести к решению системы уравнений (6.110), записываемых для всех участков площади исследуемой области.

Положим, что исследуемая область разбита на определенное число элементарных площадок в виде треугольников (триангу­ лирована), в каждом из которых векторный потенциал является линейной функцией пространственных координат и записывает­ ся в виде

т.е. уравнения записываются в том же виде, что и при конечно­ разностной аппроксимации.

Линейный интеграл может быть записан в виде суммы двух интегралов:

Интегрирование производится по сторонам треугольника, уравнения которых представляются в виде уравнений прямых линий. Для стороны хху х- х2у 2, например,

Для точки с координатами (х,у,) величина /, = 0, а для точ­

Подставляя в полученное выражение Вх и Ву по (6.113)

Рассмотрим изложенный выше подход для решения краевой задачи (6.105), считая исследуемую область триангулированной

(см. рис. 6.2).

Определим коэффициенты Кх и К 2 для всех треугольников

этой области, используя выражения (6.112). Для треугольника 1, например,

Обозначая значения искомой функции в узлах соответст­ вующими индексами, выразим коэффициенты уравнения (6.111) через значения функции в узлах и их координаты. Полученные данные для всех треугольников сведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2 Коэффициенты уравнения (6.111) для краевой задачи (6.105)

\ в хдх+Вуду)=К2{х5- * ) + * , O', -^ )= % (t/4 - Ц ) (^ 5- * ,)+

1

вулу)=^{и,-u,)+&(u,-us)+

8 О O

+J & , - u , h j ( u . - v , h ± ( u t - c /,) +

+ 2 ~ { u 4-U5) + — {U4-U7)=

Выполняя интегрирование по поверхности треугольников, окружающих узлы 4-12, принимая во внимание заданные гра­ ничные условия, в окончательном виде получим систему алгеб­ раических уравнений, записываемую в матричном виде:

Полученная система алгебраических уравнений эквивалентна системе (6.107), если учесть что значения искомой функции в узлах 1, 2, 3, 13, 14, 15 (см. рис. 6.2) известны (краевые условия). Следовательно, система уравнений может быть упрощена: число неизвестных и уравнений может быть уменьшено до 9, а задан­ ные краевые условия (Дирихле) учтены в правой части полу­ ченных уравнений.

Решение алгебраической системы уравнений (6.133):

с учетом заданных условий Дирихле на нижней и верхней гра­ нице области соответствует решению, приведенному в рабо­ те [35].

Программа решения системы алгебраических уравнений: п=9;

a=zeros(n); for i=l:n a(i,i)=5; end

a(2,2)=9; a(5,5)=9; a(8,8)=9; a(l,2)=-l; a(l,4)=-2; a(2,l)=-0.5; a(2,3)=-0.5; a(2,5)=-4; a(3,2)=-l; a(3,6)=-2; a(4,l)=-2; a(4,5)=-l; a(4,7)=-2; a(5,2)=-4; a(5,4)=-0.5; a(5,6)=-0.5; a(5,8)=-4; a(6,3)=-2; a(6,5)=-l.; a(6,9)=-2; a(7,4)=-2;

а(7,8)=-1; а(8,5)=-4; а(8,7)=-0.5; а(8,9)=-0.5; а(9,6)=-2; а(9,8)=-1; disp(a);

b=[100 200 100 О О 0 200 400 200]; y=b.'; x=lsqr(a,y); disp(x);

lsqr converged at iteration 7 to a solution with relative residual 1,5e-013 62.5000 62.5000 62.5000 75.0000 75.0000 75.0000 87.5000 87.5000 87.5000

Каждое из полученных уравнений соответствует конечно­ разностной аппроксимации дифференциальных операторов уравнения (6.105). Например, уравнение узла 5 системы (6.133) имеет вид

Уравнение (6.105) для этого узла в конечно-разностном виде записывается как

Здесь принято во внимание, что на боковых сторонах иссле­ дуемой области (см. рис. 6.2) заданы условия Неймана. Поэтому дифференциальный оператор по координате х задан как среднее значение узлов 4 и 5 на одной стороне, а 5 и 6 - на другой сто­ роне области.

Подставляя в уравнение (6.135) величины интервалов раз­ биения пространственных координат hx = 1 и hx =0,5 и выпол­

няя преобразования, получим уравнение (6.134).

Метод конечных элементов может применяться для решения трехмерных краевых задач [33]. В этом случае в качестве конеч­ ных элементов применяются элементы в форме призм или па-