Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfИз них можно исключить функцию J следующим образом; производя дифференцирование, имеем:
и |
дг |
3м |
д г ___ дН\ |
3 |
дМ^ |
|
t i l d y ~ '2 M l2dx~~dy |
? ~ д х ~ ' |
|||||
и |
дг_ |
3м |
д г___ дН2 |
3 |
дМ^ |
|
|
2дх |
2 |
12 ду |
дх |
2 |
ду * |
где |
z = |
1п У. Решим |
эти |
|
уравнения |
относительно |
производных |
|||||||||
функции г\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Гтт |
и |
9 |
„2 |
= |
|
3 ( Кл |
|
дН2 |
и |
dMia\ |
, |
и |
дН2 |
9 |
dMVi |
|
|
|
т |
М а ) ш |
Т (Ж19 |
|
|
|
|
4-и , |
ж - |
т |
M n - g r |
||||
t и |
тт |
9 |
ш,2 \ д г __3 |
f ш |
дН^ |
»» |
1- ^ |
) |
. |
»• |
д Н \ |
9 |
«# дА/1^ |
|||
(Я 1Я 9- |
т |
Ж 12) д- |
= |
^ (Л 1 1а- ^ |
- Я |
+ |
Я 9 -5 Г - - т |
М1а - А |
||||||||
Теперь обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
— Я ,Я а + ^ М ? 2 = |
Д |
|
|
|
(4.234') |
|||||
и исключим из последних уравнений г. Тогда получим дифферен
циальное |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
М 1 _ ^ _ Г ^ 1 2 J L ( J M 1 |
|
|
|
|
|||
дх LД |
дх \ Л412/ J |
ду LА ду \ М12 )J |
|
|
|
||||
|
|
|
_ |
2 н д [I |
дНЛ |
2 и |
д (1 дНЛ |
|
|
|
|
|
= |
-3H'd j l T |
1 7 ) — |
з Я ^ 1 д |
-ду7)- |
(4 -235> |
|
Система |
уравнений |
(4.234), (4.235) вместе |
с |
конечным |
соот |
||||
ношением |
(4.233) |
определяет |
несущую |
способность пластинки. |
|||||
Вместо моментов M lt Ж 2, |
|
|
|
М' |
|
||||
Л4]£ и их |
линейных |
комби |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
наций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я1 = Ж1— уЛ42, |
|
|
|
|
|
|
|||
# а = |
Жа — ±-M t |
|
|
|
|
|
|
||
удобно ввести |
новые |
неиз |
|
|
|
|
|
||
вестные. Для |
этого |
обозна |
|
|
|
|
|
||
чим через 9 удвоенный угол, |
|
|
|
|
|
||||
составленный |
нормалью к |
|
|
|
|
|
|||
одному из главных |
напра- |
|
|
|
|
|
|||
вленйй деформированной поверхности с осью х (рис. 73). В главных осях (1.2) крутка поверхности и крутящий момент равны нулю; глав ные изгибающие моменты обозначим через М \ М". Тогда из условий
равновесия элемента имеем:
|
М' + М" |
М ~ м " cost, |
|
|
|
2 |
|
|
|
жа- |
М 4- М" |
+ * |
~ M"cosb, |
(4.236) |
|
2 |
|
|
|
_ М'-г-М" |
sin 0. |
|
|
|
м1а= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя эти значения моментов в конечное соотношение, получим:
|
|
|
Ж '2— М'М" -J- Ж "2 = М 1., |
(4.237) |
||||
Условию |
(4.237) |
можно удовлетворить, введя |
новую переменную ср: |
|||||
|
|
|
Ж ' = |
2М^ |
|
|
||
|
|
|
V 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(4.238) |
||
|
|
|
|
|
Щ |
|
||
|
|
|
М " = |
Ор- Й - |
|
|||
|
|
|
у з |
|
||||
после чего из (4.236) найдём |
выражение трёх моментов Ми Ж2, Ж 13 |
|||||||
через две |
функции ср и |
0: |
|
|
|
|
||
|
|
4-г- = |
sin ф ------ i=. cos о cos 0, |
^ |
||||
|
|
Мв |
|
т |
У |
3 |
|
|
|
|
щ = |
sin <Р+ — |
» |
|
|||
|
|
COS ср cos 6, |
(4.239) |
|||||
|
|
|
|
|
|
cos <р sin 0, |
|
|
а также выражения |
Ни .Н.3 и |
Д: |
|
|
||||
|
|
|
|
4Y = c o s '<р |
|
|||
|
|
|
|
М, |
|
|
|
|
Уравнения |
(4.234) |
и |
(4.235) |
теперь можно записать через функции ср |
||||
и 0, и вместе с граничными условиями они будут определять несущую способность пластинок.
Рассмотрим простейшую задачу о несущей способности круглых пластинок при симметричной нагрузке. Решение её позволит оценить ещё раз степень точности приближённого определения максимальных нагрузок вариационным методом. Вместо уравнения (4.234) восполь зуемся более простым уравнением равновесия в полярных коорди натах (4.172):
dMx |
Mi— Mo |
r |
i J Y г • rfr, |
(4.240) |
|
dr |
г |
||||
|
|
причём ML, Л12— радиальный и тангенциальный изгибающие моменты являются главными,- и потому согласно (4.238):
I |
п |
* = |
6 ’ |
sin-}, |
(4.241) |
М* = М '= Щ в1п(< Ь + -•-).
Основные граничные условия имеют следующий вид: если край является свободно опёртым, то:
|
^ = |
0, |
|
|
= пк |
(п = 0,1). (4.242) |
|||
Если край |
защемлён (у2= 0), |
|||
т о : |
|
|
|
|
= п к — — (п = 0,1). |
(4.243) |
|||
Эллипс, |
изображающий |
конеч |
||
ное соотношение |
(4.237) или |
|||
(4.241), |
дан на рис. 74; на нём |
|||
указаны |
значения |
параметра |
||
для различных |
приво |
димые в fтабл. 12. |
|
Вместо эллипса |
можно взя' также описанный или вписанный |
в него шестиугольник.
Т а б л и ц а 12.
* 1 * II е
|
|
|
Значения |
ф, |
Щ. и т2. |
|
|
|
|
|
--ТС |
5 |
2 |
тс |
|
ТС |
тс |
тс |
тс тс 2тс |
5п |
|
“ 6 * - т * ~ 2 |
~ |
3 "“ 6 0 ~б "3 ~2 3 |
т г |
it |
||||||
0 |
1 |
— 1 |
2 |
— 1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
/ч |
|
УЗ |
У з |
Уз 0 |
Уз |
1 у з 1 |
Уз |
0 |
||||
м 2 |
1 |
1 |
т* = —- |
1 |
0 |
М8 |
У з |
Уз |
— 1
1
|1со
1
со v с
1 |
___ 1 |
1 у з 0 |
у т - 1 |
1. Кольцевая пластинка, нагруженная перерезывающей силой Р.
Предположим сначала, что наружный край защемлён (рис. 75, а). На внутренней границе r = b, МЛ— 0, и так как кривизна ха отрица тельна, то М2= “{тМ9; на наружной границе г = а, согласно (4.243),
^ |
= 2 ^ 2 = — |
Следовательно, |
возрастанию радиуса от b до а |
||||||||||||
|
|
У 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тс |
||
соответствует движение по эллипсу (рис. 74) от <|»= |
— ic д а |
||||||||||||||
у |
|||||||||||||||
против часовой стрелки или движение по шестиугольнику по AF'C'E'. |
|||||||||||||||
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ЬР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.244) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
М, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и положим |
q = 0. |
Из (4.240) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
г |
dm\ |
\ |
M |
„ |
|
|
|
|
|
(4.245) |
||
|
|
|
~SF~Tnli — ma : |
|
|
|
|
||||||||
На |
линии |
AFC' |
шестиугольника |
имеем /йа — mt = 8, Причём 8 = 1 |
|||||||||||
для |
вписанного в эллипс |
шестиугольника |
. |
2 |
описанного |
||||||||||
и 8 = |
—j= для |
||||||||||||||
шестиугольника. Интегрируя |
(4.245), |
получим: |
У 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
«1 = |
|
(3— ^ i ) l n y |
|
|
|
|
(4.2460 |
|||||
На |
участке |
шестиугольника |
ют |
точки |
С |
до |
Е' |
имеем |
тх = — 8, |
||||||
поэтому отрезок |
С Е ’ соответствует |
наружному |
контуру. |
Полагая |
|||||||||||
в (4.246') |
г = |
а, т = |
— 8, находим несущую |
способность пластинки: |
|||
|
|
|
н - 1п4ь |
/ , |
^ |
2 |
( « 4 6 ) |
|
|
kY — b- |
( ■ < » < ^ > |
||||
|
|
|
1пт |
|
|
|
|
Отсюда полная |
Сила, |
приложенная |
к |
внутреннему контуру, |
имеет |
||
следующее |
максимальное значение: |
|
|
|
|
||
|
|
2 ^ P m u= Q max = | A |
! + |
1пТ |
|
||
|
|
4 S ------ (4.246") |
|
||||
la ~b
Возьмём fenepb конечное соотношение согласно эллипсу (4.241):
= |
wa = ^ = s l n ( ( H - | ) , |
— у > < !> > — *. |
||
Уравнение (4.245) приводим |
к виду: |
|
||
/‘^ s5n(? -|)= sc°s?“‘к |
— |
?> —*+!■ |
||
и, интегрируя |
в пределах |
от |
г=*Ь, (<р = |
— л - j - y ) до г = = в » |
( ? = - - £ • + й » |
получим: |
|
|
|
(4.247')
Квадратура, входящая в это уравнение, легко вычисляется, и мы на ходим следующую формулу, определяющую несущую способность пластинки:
* i / 3
V k \ - '
2 f t i + У"3
(4.247)
2*!— 1
Значение kv даваемое этой формулой, заключено между значе-
ннями *!, согласно (4.246), при 8 = 1 и 8 ==» - ^ = , так что расчёт по
описанному шестиугольнику даёт верхнюю границу несущей способ-
ности, |
а |
по |
вписанному — нижнюю границу её. В самом деле, урав |
||
нение (4.245) |
можно записать |
в виде: |
|||
|
|
|
«1ъ |
|
|
|
|
|
_ |
Г |
dm' |
|
|
|
Ь ~ |
J |
—(/я2—т д ' |
|
|
|
т1а |
|
|
причём |
в |
нашем примере т1а= |
Г з |
||
---- 4 j - , /я1Ь = 0;. замена эллипса |
|||||
описанным шестиугольником означает, что разность т.2— mi заме няется большим значением, благодаря чему и интеграл получается
большим, т. е. при заданном |
величина кх получается большей, чем |
если бы расчёт вёлся согласно эллипсу. Замена эллипса вписанным шестиугольником приводит к обратному результату.
Рассмотрим теперь другие случаи граничных условий пластинки, причём для простоты вычислений расчёт произведём только по шести угольнику.
Если внутренний и наружный края свободны от изгибающих мо ментов (рис. 75, б), так что
г -—: о, |
г —■by |
Мх — 0, |
== —|—Ж ,, |
|
||
то решению задачи |
на шестиугольнике |
соответствует одна |
точка А, |
|||
и потому имеем из (4.245): |
|
|
|
|
||
|
Щ = |
О, |
т а = |
8, |
£ 1== 8 . |
(4.248) |
Если внутренний |
край |
(/■ = |
£) |
защемлён (рис. 75, а), а |
внешний |
|
нагружен только перерезывающей силой Р , |
то |
при |
|
|
||||
|
г = |
Ь% ха =s 0, |
2/14*2== |
== |
|
|
|
|
на наружном контуре Мх= 0, и так |
как |
х2 < 0 , то |
= |
-(- Л4в. |
||||
Таким образом для |
решения задачи необходимо использовать на шести |
|||||||
угольнике |
участок |
ЕВА. На ВА /яа = |
8, и потому из (4.245) имеем: |
|||||
причём удовлетворено условие |
г=*Ь, |
тх = Ь. Отрезок |
ЕВ |
шести |
||||
угольника |
соответствует внутреннему |
контуру |
пластинки. |
Полагая |
||||
на внешнем контуре г = а, т1— 0, находим:
k x |
(4.249) |
шестиугольника для |
расчёта воспользоваться эллипсом, этот скачок |
не имел бы места |
и в окрестности внутреннего контура происхо |
дило бы очень резкое изменение т2.
Последний случай, когда оба края пластинки защемлены (рис. 75, г),
можно |
рассчитать следующим образом: |
от г — Ь до г = г* при ко |
тором |
тх = 0, имеет место предыдущее |
решение: |
от |
г = г* |
до г = а имеет |
место первый |
из |
рассмотренных случаев, |
||
и |
потому, |
заменяя в (4.246) |
радиус |
Ь на |
г*, |
имеем: |
|
|
|
|
|
1 + |
1п4 |
|
|
|
|
61 = 8 |
‘ |
Г * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Исключая из этих уравнений г*, находим несущую способность пла стинки:
h |
ь |
а |
|
|
(4.250) |
||
kt — b |
|
Ь |
|
В табл. 13 даём значения у , |
соответствующие |
различным значе |
|
ниям у для рассмотренных четырёх случаев нагружения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
13 |
|
|
|
|
Значения а\Ь в зависимости от kjjo. |
|
|
|
|||||
*1 |
1 |
|
1,25 |
1.5 |
1,75 |
2 |
2.5 |
3 |
4 |
5 |
оо |
& |
|
||||||||||
(а |
оо |
1 |
54,6 |
7,39 |
3,79 |
2,72 |
1,95 |
1,65 |
1,39 |
1,28 |
1 |
( й |
1~оо |
|
|
|
|
не существуют |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( т ) . |
оо |
|
5 |
3 |
2,33 |
2.00 |
1,67 |
1,59 |
1,33 |
1,25 |
1 |
(а |
оо |
|
273 |
22.2 |
8,83 |
5,44 |
3,25 |
2,48 |
1,86 |
1,61 |
1 |
|
|
||||||||||
щаяся через результирующую силу Q, приложенную к внутреннему или наружному контуру:
* i _ 2 Q
8яА*588
2.Сплошная круглая пластинка, нагруженная давлением.
Пусть q0— максимальное значение нагрузки q = qqq. Обозначим
|
k — Ш . |
о = Лг |
1 |
|
|
|||
|
к |
aeh* ’ |
1 |
а ’ |
I |
|
(4.251) |
|
|
|
г |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( |
Р ) = |
/ |
ЯР dp, |
|
|
|
|
|
а уравнение (4.240) запишем в виде: |
|
|
|
|
||||
dm\ |
-f-OTj— ота = |
— 4ft/(p). |
(4.252) |
|||||
dp |
||||||||
Относительно функций |
/ ( р) |
(нагрузки |
q (r ) ) |
будем |
предполагать, |
|||
что она монотонна или |
такова, |
что |
прогиб |
не |
меняет знака н моно |
|||
тонно изменяется от центра к краю пластинки. В центре, по условию симметрии, оба момента одинаковы: m1 = ma «*=8, и потому ему со
ответствует точка В на шестиугольнике или ф «г на эллипсе (рис. 74).
Если |
пластинка |
свободно |
опёрта, |
то при |
г = |
а, |
(р = |
1), |
||
т1 = 0, |
А |
т. е. краю пластинки |
соответствует |
в этом |
слу |
|||||
чае точка |
шестиугольника |
или <{*= |
0 эллипса. |
Следовательно, |
||||||
согласно |
шестиугольнику |
на |
пластинке |
всюду конечное |
соотно |
|||||
шение имеет |
вид: |
т2 = 8. |
Интегрируя |
уравнение |
(4.252), имеем: |
|||||
J /(p )rfp + 7 ’
0 или, определяя сг по условию
тх = 0, р = 1, получаем:
щ = 8 ( i — 7 ) +
|
1 |
|
|
+ |
y J / ( P)d?. |
(4.253) |
|
|
Р |
|
|
Несущую |
способность |
пластинки |
|
находим из условия р = |
0, |
= 8: |
|
т. е. |
|
|
|
r = |
—j - i ------. |
|
(4.254) |
|
4 Г /(р) dp |
|
|
|
О |
|
|
-гс
/^ ± ± 1 Ш ± Ь ^ л
----------------------— v)b?.
-га
(at
Рис. 77.
Рассмотрим, в частности, случай симметричной равномерной на грузки, распределённой по кругу радиуса с ^ а (рис. 77, а). С о гласно (4.251) имеем:
/ ( r t = 4 r . |
IP < - f . |
р > 4 - .
и потому максимальная нагрузка определяется формулой:
я*
При |
с = а |
равномерная |
нагрузка |
распространяется |
по |
всей |
пла |
|
стинке, причём: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ft = - £ S = f |
8’ |
|
|
(4.255') |
||
Эта |
задача |
была решена |
приближенно вариационным |
методом, |
при |
|||
чём |
несущая способность |
согласно |
(4.217) определена |
формулой: |
||||
|
|
ffg2 — — |
2 22 — 1 677 |
|
|
|
||
Сравнивая эту величину с (4.2550э снова убеждаемся в очень боль шой степени точности приближённого решения вариационным мето дом. Интересно отметить, что приближённое значение 1,677 заклю чено между двумя точными решениями по описанному и вписанному около эллипса шестиугольнику, и потому оно почти точно совпа дает с решением задачи, при котором конечное соотношение между
Мг и Л4а берётся в виде эллипса. |
|
|
|
|||||||
Если пластинка защемлена по наружному контуру, |
то при р = |
1, |
||||||||
2т2 = т1= — 8 (точка £ 'н а |
шестиугольнике рис. 74). Следовательно, |
|||||||||
в пределах |
0 < |
р < у < |
1 имеет |
место решение предыдущего случая: |
||||||
|
|
|
|
Щ |
|
|
|
|
|
|
которое |
при |
р = |
0 даёт: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
T8 = 4/fe j/( p ) d p . |
(4.256) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
В пределах |
у |
р <; 1 имеет |
место соотношение |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
тя— тх = |
8, |
|
|
||
благодаря которому из |
(4.252) имеем: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
8 ln-^- — 4k J |
f |
|
|
||
|
|
|
|
m, = |
j/( p ) r f p , |
(4.257) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
причём произвольная постоянная выбрана так, что тх= |
0 при р = |
у. |
||||||||
Отрезок |
СЕ' |
шестиугольника |
соответствует границе пластинки, |
|||||||
в чём |
нетрудно |
убедиться, |
если |
допустить обратное, |
т. е. что ему |
|||||
соответствует некоторая граничная кольцевая область. |
Поэтому, |
по |
||||||||
лагая |
р = |
1 |
и т1 = — 8, из |
(4.257) имеем: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|