Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

+ - j * ( 8 0 ) 2 + . . . ] d T .

На основами неравенства Шварца I51 первое слагаемое положительно, поскольку положительны ei и а{] третье слагаемое под интегралом также положительно, поскольку положительно К; второе слагаемое

будет положительно при условии — ■> 0, и потому имеем:

Таким образом, теорема минимума работы внутренних сил имеет место для тел, материал которых обладает упрочнением.

§14. Теорема о простом нагружении.

Впредыдущей главе путём анализа экспериментальных данных было показано, что основные законы пластичности при активном процессе деформаций, выражаемые формулами (2.3) и (2.6), имеют

место по крайней мере в том случае, когда деформация элемента тела является простой или близка к простой. Возникает вопрос, существуют ли такие нагрузки, прилагаемые к телу произвольной формы, чтобы от момента их приложения и в течение всего времени их возрастания до заданных окончательных значений направляющий

в разных точках тела. Иначе говоря, существует ли для тела сложной формы и нагрузок данного типа (любого) такой способ их возраста­

и чтобы отношение между собой главных касательных напряжений оставалось постоянным (но, вообще говоря, различным для разных точек тела).

Если напряжённое состояние тела является однородным, то ответ на поставленный вопрос очевиден: поскольку напряжения не зависят от координат тела, то и деформированное состояние, согласно (2.13), тоже является однородным; дифференциальные уравнения равновесия

поверхностными силами. Ясно, следовательно, что деформация тела будет простой, если все нагрузки возрастают от момента их приложения пропорционально одному общему параметру, например, пропорцио­ нально одной из нагрузок, и, кроме того, совершенно независимо может изменяться постоянное внешнее давление.

Для того чтобы ответ на поставленный вопрос был дан в общем случае неоднородного напряжённого состояния тела произвольной формы, необходимо решить следующие задачи. Пусть X есть пара­ метр, определяющий последовательные значения приложениях к телу внешних сил (например, время), так что внешние силы суть функции координат точки тела и этого параметра:

направляющие тензоры (или гиперболоиды) напряжений во всех точках тела неподвижны относительно материальных частиц, т. е. не Зависят от параметра X? Общего решения этих задач ещё не дано. Мы укажем ограниченное решение третьей задачи И , которое позволяет форму­ лировать следующую теорему о простом нагружении.

Для того чтобы направляющие гиперболоиды напряжений, а следовёсельно, и деформаций, были неподвижны во всех точках тела

нас диапазоне деформаций тела могла быть представлена в виде

ференциальных уравнений (2.44) при граничных условиях (2.45). Отметим звёздочкой наверху все величины, определённые этим ре-

где fx — пока неопределённая функция одного X. В таком случае из уравнений (2.44) и (2.45) по сокращении на X получаем тождества (а); т. е. уравнения равновесия в напряжениях и граничные условия удовлетворяются. Аналогичным образом из (2.3) и (2.1) по сокраще­ нии величин X и |л получим тождества (б) и (в). Последнее уравне­ ние, которому необходимо удовлетворить, чтобы убедиться, что (2.54) есть решение задачи пластичности при произвольных силах-.вида (2.52), есть (2.53); из него имеем:

движности направляющих гиперболоидов напряжений в каждой точке тела. В целом ряде частных случаев, как увидим далее, условия формулированной выше третьей задачи выполняются при совершенно произвольном виде функции oi = <S>{ei)i если только нагрузки изме­ няются во времени пропорционально общему параметру X.

Теорема о простом нагружении даёт ограниченное решение и пер­ вых двух задач. Таким образом, решение зада,ч пластичности, согласно уравнениям § 11, для тела произвольной формы при произвольных внешних силах, удовлетворяющих условию (2.52), будет физическим, т. е. будет также согласно с опытом, как согласуются с ним основ­ ные законы пластичности при однородном напряжённом состоянии цилиндрических образцов, тонкостенных труб и др., если в интере­ сующем нас диапазоне деформаций закон (2.6) может быть апрокси-

в области пластичности формула (2.53) с достаточной степенью точ­

независимость, либо слабую зависимость направляющего тензора напряжений от параметра X!— в связи со всем этим можно высказать следующий постулат: теория малых упруго-пластических деформа­ ций даёт правильные (согласные с опытом) результаты по край­ ней мере в том случае, когда процесс нагружения тела является простым, т. е. внешние силы от начала их приложения возра­ стают пропорционально общему параметру.

§ 16. Теорема о разгрузке.

Пусть для некоторого тела, находящегося при некотором значе­ нии параметра X под действием заданной системы сил A ' . . . , Av. . . , задача пластичности решена, т. е. напряжения Х а}. . . , деформации еХ9. . . и перемещения а, т>, w найдены во всех точках тела. Рас­ смотрим процесс разгрузки тела. Разгрузка элемента тела, под­

стадии активной деформации переходит в стадию пассивной деформа­ ции. Отметим волной наверху все величины, которые относятся к раз-

грузке; тогда при Х=»Х имеем:

^ X • • • I &хх — ^XX• ' •

Разгружение, подобно нагружению тела, можно назвать простым, если внешние силы в стадии пассивной деформации тела удовлетво­ ряют соотношениям (2.52); в таком случае состоянием разгрузки можно

назвать такое, при котором \ < X. Отсюда, кстати говоря, видно, что параметр X, являющийся всегда функцией времени t, не обязательно есть время, поскольку он может и убывать, но только в стадии пассивной деформации тела.

Для разгрузки уравнения равновесия (2.44) принимают вид:

Аналогично из (2.45) и (2.57) получим граничные условия:

(Хв —Хх)1-\-(Ху— Ху)ш -\-(Хг —X3)n = Xv—Хч, j

причем в последних уравнениях нужно считать, что разности напря­ жений, входящих в левые части, выражены через разности перемеще­ ний, согласно (2.22). Уравнения (2.58) с граничными условиями (2.59) имеют единственное решение, которое может быть найдено по мето­ дам теории упругости:

~дт

( 2.60)

Таким образом доказана следующая теорема о разгрузке: перемеще­

перемещений, которые возникали бы в теле, если бы -в естественном

всех внешних сил: если для тела решена задача пластичности и

задача теории упругости, т. е. тем же внешним силам соответствует

напряжения, равные разностям их значений в истинном и фиктивном состояниях. При этом, конечно, предполагается, что остающиеся напряжения в результате разгрузки вторично не выходят за предел упругости.

Поясним указанные теоремы примером. Пусть толстостенная труба находится под действием внутреннего давления р. Упругие напряжения и деформации её определяются известными формулами Ляме. Предположим, что давление р столь велико, что материал трубы частично или полностью выходит за предел упругости. При­ меняя формулы Ляме, мы найдём фиктивные деформации и напряже­ ния в трубе. Истинные напряжения и деформации можно найти путём применения уравнений пластичности, считая при этом, что

Если вместо этп ввести компоненты направляющего тензора дефор­

Условие (2.71) при тождествах (2.70) достаточно и необходимо для того, чтобы уравнения (2.69) были эллиптического типа. Особый случай имеем при ш = 1, когда уравнения (2.69) вообще теряют смысл, так как формулы (2.13) при этом не позволяют выразить напряжения через деформации. В случае <о == 0 уравнения (2.69) со­ впадают с известными уравнениями теории упругости в форме Ляме.

Обозначим через Rk (к = 1, 2 , 3 ) сумму всех членов уравнения (2.69), которые обращаются в нуль вместе с о :

Для решения задачи пластичности при активной деформации необхо­ димо найти интегралы уравнений (2.73), соблюдая граничные усло­ вия на поверхности тела (2.45). Последние, согласно (2.62), можно переписать в следующей векторной форме: